数学归纳法证题步骤与技巧
1.数学归纳法的范围
因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然数n 有关的猜想的正确性。 2.数学归纳法两个步骤的关系
第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可。 3.第一、二数学归纳法
第一数学归纳法可以概括为以下三步：(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；(2)归纳假设：假设n=k 时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。从而就可断定命题对于从所有正整数都成立 第二数学归纳法的证明步骤是： 1、证明当n=1时命题是正确的；
2、k 为任意自然数，假设n ＜k 时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。
2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2
=42n n ,2
+则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上( )(A)k 2
+1(B)(k+1)2
(C)
()()42
k 1k 12
+++(D)(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2
4.若数列{a n }的通项公式a n =
()
2
1
n 1+(n ∈N *
),记f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )，
试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为( ) (A)
n 2n 3++ (B)n 22n 2++(C)n 2
2n 1
++ (D)
n
2n 1
+ 5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n
+y n
能被x+y 整除”，当
第二步假设n=2k-1(k ∈N *
)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.
6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2
，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是______ _____________________________. 7.用数学归纳法证明：21111n n 1n 2n
+++⋯+++＞1(n ∈N *,n ＞1).
8.求证：()()()()
222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++⋯+=
⨯⨯-++,(n ∈N *
)
9.用数学归纳法证明a n+1+(a+1)2n-1能被a 2+a+1整除(n ∈*N )
答案解析
2.【解析】选D.当n=k 时，左端=1+2+3+…+k 2
，
当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2
,
故当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2
,故应选D.
4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ), f(1)=1-a 1=1-
13,44
= f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)×(1-19)=3824,4936
⨯== f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=()12155
f 2(1).163168
⨯-=⨯=
根据其结构特点可得：f(n)=
()
n 2
.2n 1++故选B.
5.【解析】因为n 为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真. 答案：2k+1
6.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.
【解析】∵f(k)=12+22+…+(2k)2
,
f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2
，
∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2
，
即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
.
答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
7.【证明】(1)当n=2时，左边=
11113.23412
++= 右边=1，不等式成立.
(2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N *
)时，不等式成立，即
21111k k 1k 2k
+++⋯+++＞1. 那么当n=k+1时，
()
()()()()()()
()
2
222222222
22
2
111111
k 1k 2k k 1k 2k 111111111()k k 1k 2k k 1k 2k 2k 1k 1112k 1k 2k 1k
2k 1k k 1k k 111.
k k 1k k 1++⋯++++⋯++++++=+++⋯++++⋯+-++++++++-
+++-+--=+=+
++＞
∵k ≥2,∴k 2
-k-1＞0,1+
()
22
k k 1k k 1--+＞1.
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n 都成立. 【变式训练】用数学归纳法证明：2221113n 123n 2n 1
+
++⋯+≥+(n ∈N *
). 【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；
