类型二：用待定系数法求解析式
例2：一条抛物线经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求它的解析式。
[点拨] 明确用待定系数法求抛物线解析式的三种类型
[解答]
[变式] 如图，抛物线与X 轴交于A )0,(1x ，B )0,(2x 两点，且21x x <，与Y 轴交于点C （0，－４），其中21,x x 是方程01242=--x x 的两个根，求它的解析式。
类型三：用图象法解方程与不等式
例3：如图是二次函数++=bx ax y 2的图象的一部分，其对称轴为直线
1=x ，若其与X 轴一交点为A （3，0），则由图象可知不等式0
2<++c bx ax 的解集为 。
[点拨] 运用抛物线的对称性，观察图象求解。
[解答]
[变式] 已知二次函数++=bx ax y 2的图象如图，对称轴为直线1=x ，
则方程02=++c bx ax 的两根为 。
类型四：求顶点在抛物线上的三角形的面积问题
例4：如图，二次函数m x x y ++-=22的图象与X 轴一个交点
为A （3，0），另一个交点为B ，且与Y 轴交通于点C 。
①求m 值与B 点坐标。
②抛物线上有点D ),(y x （其中0,0>>y x ），使ABC ABD S S ∆∆=，
求D 点坐标。
[点拨] 抓住面积相等明确C 、D 点的关系
[解答]
[变式] 二次函数3)3(2--+=x m mx y )0(>m 的图象与X 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与Y 轴交于点C 。
①求点A 的坐标。
②当∠ABC=45°时，求m 的值。
类型五：抛物线与几何综合运用
例5：抛物线221-+=bx x y 与X 轴交于A 、B 两点，与Y 轴交于点C ，且A （－１，0）。 ①求抛物线的角析式及顶点D 的坐标。
②判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
③点M （m ，0）是X 轴上的一个动点，当CM ＋DM 的值最小时，求m 值。
[点拟] 对于②判定△ABC 的形状，先观察出结论，再运用相应定理证明。对于③运用对称性找到满足条件的M 点。
[解答]
[变式] 直线33+=x y 交X 轴于A 点，交Y 轴于B 点，过A 、B 两点的的抛物线交X 轴于另一点C （3，0）。
①求抛物线的解析式。
②在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 为等腰△？若存在Q 点坐标；若不存在请说明理由。
类型六：实际问题中的二次函数
例6：为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度如下表所示（单位：万元）： 型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备 投资金额X X 5 X
2 4
投资金额Y kx y =1
（k ≠0） 2 bx ax y +=22 )0(≠a 2.4 3.2
①分别求出1y 和2y 的函数解析式。
②有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出最大补贴金额。
[点拨] 建立二次函数模型求函数最大值。
[解答]
[变式] 用长度20m 的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为x 2m 。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？并求出金属框围成的图形的最大面积。
培优训练
1、把抛物线c bx x y ++=2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则b= ,c= .
2、函数b ax y +=和c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A B C D
3、二次函数5
12-+-=x x y ，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m －,m ＋1时对应的函数值为21,y y ，则21,y y 满足（ ）
A 、0,021>>y y
B 、0,021<C 、0,021>D 、0,021<>y y
4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（－１，0），（1，－２），该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为 。
5、关于x 的方程012)31(2=-+--a x a ax 。
①当a 取何值时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是2-=x 。
②求证：a 取任何实数时，方程a 012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根。
6、已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点。 ①求C 的取值范围。
②试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由。
7、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根21,x x ，且211x x <<，那么a 的取值范围是 。
竞赛训练
1、不论m 取任何实数，抛物线1222-+++=m m mx x y 的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为 。
2、关于x 的函数a x a x a y 4)14()3(2+---=的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为 。
3、已知正△AOB 的三个顶点都在抛物线22
1x y =上，其中O 为原点，则_______=∆AOB S 4、如图，已知边长为4的正方形截去一个角后变成五边形ABCDE ，其中AF=2，
BF=1，试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积。
