“错误”是一种课程资源

赖国强（福建省宁化第一中学）　课程资源是形成课程的要素来源及实施课程的必要而直接　的条件，数学教学过程是一个动态生成数学资源、提升资源的　过程．在数学教学过程中，教材编写者、教师、学生根据自身已　有的知识、经验和理解水平尝试解释和探索问题时，发生偏差　或失误，并通过多边互动，在集体“识错”、“思错”和“纠错”　过程中动态生成的课程资源，我们称之为“错误资源”．“错误资　源”大致可分为两大类：一类是真实性错误资源；另一类是艺　术性错误资源．真实性错误资源是由于教材编写者、教师、学生　主观认识的偏差或失误而形成的错误资源，这种错误资源其中　可能包含合理、创造性的成分；而艺术性错误资源是指教师或　命题者为实现教学目标精心设计而形成的资源，这种资源的合　理利用有利于激发学生认知兴趣，有利于考查学生的思维过程，　更能体现教学过程中学生的主体性．数学教学中重视“错误资　源”的意义就在于它不仅有利于学生暴露知识的漏洞，给予学　生易引起注意、印象深刻的强刺激，而且有利于学生自觉地知　错、改错、防错，提高数学思维品质和解决问题的能力．　一、诱发错误。激发兴趣　从认知角度分析，犯错误是学生特有的权力，学生也是在　不断犯错再不断纠错中长大的．正是有了错误，学生才会变得更　加成熟、更有经验．皮亚杰的发生认识论指出：认知冲突是人的　原有图式与新感受到的事件或客体之间的对立性矛盾．学生学习　新知识时，总是试图以原有认知结构来同化对新知识的理解．当　新知识与原有的认知结构产生无法包容的矛盾即存在认知冲突　时，就会引起学生认知结构上的不平衡，从而激发学生强烈的　探索愿望和学习兴趣，促使他们自觉地解决认知冲突，并对认　知结构进行新的同化和顺应，以达到新的平衡．因此在数学教学　中，若能注意激发学生的认知冲突，即诱发学生的错误，就有　利于激发学生的认知需要，使学生的学习内驱力达到高峰，激　发学生的学习兴趣．　例如，在指数式化简教学的引入一例中，已知ａ＋ｂ＝一５，　ｒ—一ｒｉ一　＝ｌ，求、／旱ｎ＋、／　的值？不少学生不加思考地去化简得：　＋　＝　＋　：　＋　６＿：　．　、／　ｂ　ａ　ｆ　１＋　１＿、／　・旦　：一５．　＼ｔ９　ａ／　ｎ６　两个数的算术平方根之和等于“一５”？这一错误结论引发了　学生对以上问题的主动积极思考，极大地调动了学生们的思维　热情，学生在“欲罢不能”浓浓探究氛围中开始了对新课程的　学习．因此，教师可以在课堂上有意制造一点“错误”，给学生　一些“包袱”，触发认知冲突，活跃学生思维．　二、反思错误，优化思维　建构主义学习观认为，学生的错误不可能依靠正面的示范　和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而　“自我否定”是以“自我反省”，特别是内在的“观念冲突”作　为必要的前提．元认知就是主体对于自身所从事的认知活动的自　我意识、自我评价、自我调整．其涉及的对象不仅指具体的认知　活动，而且包括整体性的认知结构图和认知策略．这是思维活动　的更高层次，利用学生的错误资源，引发“观念冲突”，能促使　学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考．　例如，在数列教学中一例：已知数列｛ｎ，Ｉ｝中，ａｌ＝１，前ｎ项　和为Ｓ　，对任意自然数ｎ≥２，％是３Ｓ　一４与２一丢Ｓ　的等差　中项，求ａｅ及通项　．部分学生求解如下：先可求啦＝　１，又　由２ｏ，＝３Ｓ　一÷５　一２　≥２）得，２％一ｌ＝３Ｓ　一÷｜ｓ　一２，两　式相减得％：一　一　≥２），　＝（一下１　ｒ　．将结果代入却得　ｏ２＝－｝　这必将引起学生的反思，寻找错误在哪，从而促使学生对　思维过程进行自我评价，通过反思意识到“错误”的根本原因．　因此对已形成的认识从另一角度以另一种方式进行再思考，以　求得新的深入认识，这既有利于问题的解决，又培养了学生的　反思能力，促进了学生元认知的发展．　三、显化错误，突出主体　错误是在教学过程中动态生成的，作为珍贵的教学资源是　可遇不可求的，也是稍纵即逝的．教师要敏于捕捉学生认知过程　—　甄车教吾ｉ２ｏｏ９年第１２期ｊ　１　

教学篇誗教学反思“错”落有致，“误”尽其用———浅谈错误资源在初中数学课堂中的有效利用周媛媛（浙江省浦江县堂头中学）摘要：在各种新的课堂模式应运而生的今天，我们的课堂倡导以学生为主体，学生是课堂的主人，我们不再认为设计完美无缺、学生从不犯错的课是一堂好课，在数学课堂上，理应有学生出错，因为数学实践中学生出现的错误是美丽的，是他们最朴实的思想最真实的暴露。关键词：初中数学课堂；错误资源；有效利用教师要善于捕捉学生错误，及时记录整理错误资源，将错误资源加以设计和利用，做到“错”落有致，“误”尽其用，打造高效的数学课堂。一、以错固正曾有人说：“失败是成功之母，错误是正确之父。”对学生的学习来说，错误是正确的先导、成功的开始。教师可以通过对学生错题的研究，弄清错误背后学生所欠缺的能力，采取相应的纠正措施，让学生在改正错题的过程中掌握知识，积累经验。【案例1】为了加深“因式分解”这一概念的理解，我有意识地出示下列几道题：让学生判断是否正确，并说明理由：例1：因式分解：a2-2a+1解：原式=a（a-2）+1（错解分析：错误的原因是只对部分进行了分解，没有将原整式化成乘积的形式。）例2：因式分解：x3-x解：原式=x（x2-1）（错解分析：因式（x2-1）还可以因式分解为（x+1）（x-1），致使分解不彻底。）例3：因式分解：12x2-xy+12y2解：原式=x2-2xy+y2=（x-y）2（错解分析：在因式分解时，将恒等式的变形与方程的变形混淆，错误地进行了去分母，从而破坏了因式分解的恒等变形这个原则。）学生正确理解因式分解的概念，是学好因式分解的前提，如果学生能辨析以上三个经典“易错题”的错误原因，那么在解因式分解的习题时定能举一反三，融会贯通。在数学教学中，用错误反向对比正确，是我们平时纠正错误、巩固知识的有效手段，以错固正对帮助学生正确地掌握知识，提高学生对错误的免疫力很有效。二、以错重构从学生错题出发，重构教学内容。针对学生的弱点,结合学生对知识理解偏差或者片面的情况，教师可故意将典型错题呈现，“反面教材”更能激发学生纠错的欲望和对知识的重构，朝更有利于学生自我发展的方向前进，使学生理解和掌握重要的数学规律和方法，提高分析和解决问题的能力。【案例2】在三角形ABC中，BC边上的高线是AD，M是BC边上的中点，且MF彝BC交AC于F，若BD=4，CD=10，AC=15，那么FC=。此题大部分同学的答案都只有一个，没有考虑到在作图时BC边上的高有两种情况。我没有直接告诉学生应该怎么做，而是让学生自己反思出错的原因，找到此类问题出错的关键。学生经过反思和讨论，终于发现出错的原因，并且总结可以通过对D位置的不同来进行分类。教师要引导学生养成纠错质疑的习惯，加强思维严谨性训练，对思维过程中出现的段落点，进行批判性回顾、分析和检查，在反思纠错的过程中重构知识，培养学生运用数学方法（如观察、猜想、化归、构造函数等）来解决问题的能力，同时通过剖析错因，渗透一些常用的数学思想方法。三、以错迁移现代认知心理学把知识的迁移看成是先前学习的知识在后继学习中的运用。教师可以把学生的错误作为教学的起点，站在学生的角度，顺应他们的认知，掌握其错误思想运行的轨迹，摸清其错误源头，将知识结构进行有效的迁移。【案例3】已知关于x的分式方程a-1x+2=1有增根，则a=。某学生回答：“方程有增根意味着x=-2，接着把x=-2代入原方程中求a的值。”她的回答引起其他学生的疑问，代入后使分母为0了还怎么求a的值呢？不长时间就有学生站起来回答说：“先把这个分式方程转化为整式方程再代入就没有以上问题了。”笔者又适时对此题加以变式：已知关于x的分式方程a-1x+2=1解是非负数，求a的取值范围。有了之前的错误经历，学生马上想到应该先去分母化整式方程再去研究解是非负数。在教学过程中，教师要找准知识的生长点，让学生始终处于主动积极、探索进取的状态。将课堂的主动权交给学生，让学生在辨错的过程中发现了知识的联系点，相信学生在今后的学习中碰到类似的问题一定可以避免重蹈覆辙。四、以错求真学生受已有知识、经验的影响，在解决问题时，常常陷入思维定式而误入歧途。在教学中，教师如能利用典型错误组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，就可以打破思维局限，获取真知。【案例4】在“探究路径最短问题”专题复习课中的教学片断回顾如下：如图1，在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=4km，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水，问如何铺设能使得管道长度最短？ABlAABPlA忆BPl图1图2图3问题一出，学生不约而同地说这是“将军饮马”类问题，我不打断他们，让他们按照自己的思路进行计算。经计算得到此最短距离为210姨。此时教师只需问真的是这样吗？就有同学说：我发现一种情况，如图3，AB+BP=6，此时应该是管道长度最短的情况。此题给学生创造了一个寻找“错误”的机会，学生很自觉地去寻找自己出错原因。教师在教学环节上设置的“陷阱”，诱使学生陷入歧途，制造了思维冲突，同时也打破了学生的固定思维，获得了真知。错中有序，错中存真，以学生的发展为本，正确对待学生在学习中出现的错误。“错”落有致，“误”尽其用，巧妙、合理地用好学生的“错误”这一教学资源，打造高效课堂。参考文献：［1］谢国琴.“错误”：学习的动力和源泉［J］.新课程学习（中），2014（10）.［2］施景辉.误中悟：浅谈错误资源在数学教学中的应用［C］.大兴区“教师教育教学思想论坛”，2009.誗编辑高

浅谈对数学课堂教学中一些问题资源的有效利用

龚 兰

一段人生，如果太过顺利，没有半点挫折和不顺，那这段人生也许不能算是完整的人生；

一篇文章，如果从头至尾水平如镜，波澜不兴，那么读这篇文章也许就像在嚼蜡，又像在喝白开水；

一节数学课，如果从开始到结束，非常顺利，一点“问题”都没有，那我们认为它或许并不是一节真实的课堂教学，也谈不上是有效的课堂教学。

其实，在许多情况下，数学课堂因有“问题”而精彩。这里提的“问题”不是教师的教学失误，更不是教师因专业不精而在课堂上发生的科学性错误。它是教师厚积博发后的意外收获，也是教师在课堂上“无心插柳” 而成的“荫”。

有效地利用课堂教学资源能极大地提高课堂教学质量，并有力地改善课堂中师生的生存状况。而课堂教学资源的利用有多个着力点，其中，课堂教学中的问题资源是不可忽视的隐性课堂教学资源。 这里的“问题” 指的是学生在课堂教学中学生出现的疑问，提出的问题，也指课堂教学中的突发或偶发事件，也包括教师在课堂教学中有意或无意的教学“错误”。这些问题如果处理不当，将会给教学带来困难或者是意想不到的“麻烦”，而如果巧妙地加以利用，就有可能把它们融入课堂教学，成为支持课堂教学的资源，并给课堂教学带来积极的影响。

一、学生提出的问题。

爱因斯坦曾经说过：“提出问题比解决问题更重要”。《数学课程标准》的总

体目标指出：“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。”由此可见，学生提问题本身就具有十分重要的价值。

案例：记得上学期初三总复习时碰到了这样一道题目：

如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分

小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是___________．

师：我先给你们足够的时间思考，想到方法的可以举手。 FHDCBA E G

看他们思考的时候不少人苦思冥想不得其解，我就先说了我想到的方法：

教学实践　教育科学　２０１　０年第９期　错误是学生在学习认知过程中普遍存在的一　种现象，尤其是在小学语文教学中，学生在读写　方面的错误很明显。当然，按照辩证法的观点，　任何事物都有两面性。教师们通常更多看到的是　错误的消极方面，在平时教学中对待错误可谓是　“恨之入骨”，或表情冷漠，或斥责批评，却不　但没有使学生的错误得到改善，反而挫伤了学生　的积极性和自尊心。在当前新课改的前提下，这　些教师的做法是不可取的，如何化被动为主动，　合理运用教学过程中的“错误资源”是每位语文　老师亟待思考的问题。在此，我谈一些自己的看　法。　一、树立“错误”资源化意识　新的课程改革倡导新的课程观，它要求教师　要充分挖掘课程资源，教学中的“错误”就是一　种重要的课程资源，善于挖掘并运用形形色色的　“错误”，将会给课堂教学带来蓬勃的生机与活　力。叶澜教授就曾断言：“学生在课堂活动中的　状态，包括他们的学习兴趣、积极性、注意力、　学习方法和思维方式、合作能力与质量、发表的　意见、建议、观点，提出的问题与争论乃至错误　的回答等，无论是以言语，还是以行为、情绪方　式的表达，都是教学过程中的生成性资源。”差　错，正是被忽视又亟待开发的宝贵的教学资源。　每一个“错误”的演变过程，都是学生积　极思维的结果，它体现了学生的思维轨迹。特级　教师华应龙多年研究“差错资源化”，他主张　“课堂因差错而精彩”。恩格斯说：“最好的学　习就是在错误中学习。”让学生经历错误，认识　错误，纠正错误才可能更好地防止错误。学生的　错误是极有价值的，正好能引起教师的思考。放　弃经历错误也就意味着放弃经历复杂性，远离谬　误实际上就是远离创造。过度地防错、避错，缺　乏对错误的欣赏与容纳，大大减少了学生扩展认　知范围、接触新发现的机会，使他们天然的好奇　心、求知欲以及大胆尝试的探索意识被压抑乃至　被扼杀，创造力遭到毁灭。　二、“刨根问底”，从现象看本质，追根溯源　在小学语文教学中，错别字的出现可以说是家常便饭，司空　见惯。学生在平时的阅读和写作中，碰到不认识或不会读、不会　写的字要么读半边字，要么用形声字、同音字代替，写时亦然。　如“再接再厉（励）”“难道（到）”等。从心理学的角　度来看，有意注意和无意注意均主导着学生识字。在平时的教学　中，绝大多数是有意注意起主导作用。因为在有意注意中，学生　不易持久，因而对一些字的印象不够深刻，再加上小学生年龄　小，在脑中留下的印象比较淡薄，第一印象记不牢，所以时间～　长，学生便形成思维定势，容易写错别字。　另外，小学生生性活泼好动，自制力差。有多少学生能安稳　地坐一堂课，能静下心来用良好的心态认真完成一次作业呢？于　是练字的时候是一种字体，写作业的时候又是～种字体，即便是　低年级学生也是如此，课外作业是无法与课堂作业媲美的。大多　数学生在课外作业中写起字来不是缺胳膊少腿，就是笔走龙蛇、　龙飞凤舞。随着学生年级的升高，知识的不断加深和拓展，语文　教学的重点转向了对课文的理解、感悟，对学生的“小问题”就　忽略不计了。然而，常言道：　“勿以恶小而为之，勿以善小而不　为”。所以，对待学生的错误不能等闲视之，听之任之，要将学生　在学习产生的错误资源转化为新课程有利于学生成长的有效因子，　促进学生向健康的方向发展。　三、“殊途同归”，从低迷到精彩　课堂上会遇到这样或那样的意想不到的问题，教师要善于因　势利导，巧妙应对，化尴尬为舒畅，化沉沦为精彩，使课堂焕发　生机。精彩可以预约，但没有预约的精彩更让人眼前一亮，为之～　振！一句“老师，他读错了！”启开了学生思维的闸门，学生在探　究中进发了智慧的火花，从简单读错词中揭开了文章的深刻含义　教师在一次次诙谐的纠错中引导学生体会作者用词的准确传神，既　深化了学生对文本的感悟，又训练了学生的语感。　《语文课程标准》强调语文教师“要有强烈的资源意识，　去努力开发，积极利用。”课堂上，因为一个词学生读错了，只　要把读错的地方改正，然后继续上课，这也未尝不可。但在学生　大声指出后，教者不是简单地予以制止，而是因势利导，鼓励学　生表达各自的见解，师生互动，研究作者的遣词，体会其匠心，　学生就会受益良多。在课堂激烈的辩论中，又是一次学生智慧火　花的大碰撞。教师要抓住这个有利契机，巧妙地开发利用这一资　源，是课堂教学中教学机智的反映。　四、“扬汤止沸”，从挫折到能力　苏霍姆林斯基说过：　“任何一种教育现象，孩子在越少感觉　到教育者的意图时，它的教育效果就越大。我们把这条规律看做　是教育技巧的核心。”所以，教师在教学中根据教学内容的需要　和学生的认知特点，利用教育心理学中的“尝误原理”，多创设　一些错误情景，让学生去尝试错误，以增强对知识的体验、理解　与巩固，培养学生的批判性思维和承受挫折的能力。在教学中，　教师要有意识地通过创设特定的问题情境，引导学生在解决面　临的问题中，主动获取和运用知识、技能，激发学生学习的主动　性、自主学习能力和创造性解决问题的能力。　如果教师把学生的错误当作是一种资源看待，在纠正错误　中，向学生反馈错误，就能达到深化教育功能，真正起到变废为　宝，化不利因素为有利因素，着实为教学服务。面对一次次的错　误，在一次次的纠错中磨炼学生的信心和意志，表面上看，是教　师在制造障碍，其实是在磨炼学生们性格，在错误中挖掘他们智　慧的闪光点，这将会让学生受益终生。