锐角三角函数知识点总结与复习.docx
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锐角三角函数知识点总结与复习
直角三角形中 I锐角三 _解直角
实际问题
的边角关系 角函数 丨三角形
2、如下图，在 Rt ZABC中，/C为直角,
则∠A的锐角三角函数为（∠A可换成∠B）:
X 定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 ZA的对边 Sin A = ——— ----
斜边 a Sin A =— C OvSin A <1
（ZA为锐角） Si nA = cosB
COSA = Sin B
Sin2 A + cos2 A = 1 余弦 ZA的邻边
COS A =———— --
斜边 A b cos A =_ C OC COSA £ 1
（ZA为锐角）
正切 X A ZA的对边 tan A= 厶― ZA的邻边 tan A =∙α b tan AAo
（ZA为锐角） tan A=COtB cot A = ta n B
1
tan A — ------ （倒数） cot A
tan A COtA = I
余切 ZA的邻边
Cot A - ZA的对边 .λ b cot A = _ a COtAAo
（ZA为锐角）
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值; 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
由.A ∙ B =90 得B =90 _ A
Sin A=CoS（90 -A）
CoSA=Sin（90 -A） 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边C的平方 a2 +b2 = C2
Sin A= CoSB
COSA=S in
B B
对
边
C
由 Z A+NB = 90° 得 Z B = 90。-ZA
tan A=COtB
tan A = cot(90° - A)
cot A =ta nB cot A = tan(90^-A)
5、0 °、30 °、45 °、60 °、90 °特殊角的三角函数值（重要）
三角函数 0 ° 30 ° 45 ° 60
° 90 °
Si nα 0 1
T √2 ^~2^ √3
2 1
COSa 1 √3
2 √2
2 1
2 0
0 √3 1 √3
tana 3 不存在
√3 1 √3
3 0 COta 不存在
6、正弦、余弦的增减性:
0° ≤ ≤90°时，Sin 随〉的增大而增大，cos 随〉的增大而减小
7、正切、余切的增减性： 当 0 o
°时,tanα随α的增大而增大，CotG
随〉的增大而减小
一、知识性专题
专题1:锐角三角函数的定义
分析 在 Rt ZABC 中，BC = AB2-AC2 =冷52 -42 = 3 ,「.sin A = BC 二总.故填-. AB 5 5( )A. Sin A = -3 B
. tan A=- C . CoS B =—— D. tan B= 3
2 2 2
分析 .A BC SinA=
tan A = BC =—3 , CoS B = BC 1 .故选 D.
AB 2 AC 3 AB 2
例2 在ZABC中， ZC = 90 ° ,os A = 3
-,则tan A等于
分析 在 Rt ZABC 中, 例1 在 Rt △ABC 中，∠ ACB = 90 ,BC = 1 , AB = 2 ,则下列结论正确的是
5
设AC = 3k, AB = 5k,贝U BC = 4k,由定义可知 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值; 任意锐角的余切值等于它的余角的正切
BC =44
AC 3k 3 tan A = 根据余切定义就可以求出 CtanA的值.【解析】（1）设BC=1, - α30?
例 3（ 12 •哈尔滨）在 Rt△KBC 中，∠C=90° ,AC=4 ,AB=5 ,则 SinB 的值是
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义•解题思路： 在直角三角形中，锐角的正弦等于对
4
边比邻边，故SinB=.
5
例4（2012内江）如图4所示，Δ∖BC的顶点是正方形网格的格点， 则SinA的值为
A A
力 f .U /
/ J B C B C
图4 图4
【解析】欲求SinA，需先寻找∠ A所在的直角三角形，而图形中∠ A所在的△ ABC并不
是直角三角形，所以需要作高•观察格点图形发现连接 CD （如下图所示），恰好可证得CD 山B ,于是有SinA = CC =埠=T •
2
例 5 （ 2012 宁波），Rt△XBC, ∕C=900,AB=6,cosB= - ,则 BC 的长为
3 -------
BC 2
【解析】COSB=AB =3 ,又-AB=6∙∙BC=4
例6 （2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形 ABC中，锐角〉的邻边与对边的
的值.
【分析】（1 ）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便） ，然后在计算出其它
3
边长，根据余切定义进而求出 Ctan30 ?。（ 2）由tanA= 为了计算方便，可以设BC=3 AC=4 4
_ ACL 3
∙'AB=2 .∙∙由勾股定理得：AC= . 3 Ctan30 ?= = . 3(2) ^tanA=—
BC 4
AC 4
• •设BC=3 AC=4 ∙ ∙ CtanAz =
BC 3
例7 (2012山东滨州)把厶ABC三边的长度都扩大为原来的 3倍，则锐角A的正弦函
1
数值( )A .不变B.缩小为原来的 C .扩大为原来的3倍D .不能确定
3
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的 3倍所得的三角形与原三角形相似， 所以锐
角A的大小没改变，所以锐角 A的正弦函数值也不变.【答案】选 A.
例8 (2012湖南)观察下列等式
① Sin30 ° = cos60 ° =② sin45 °=二 cos=45 °=匕③ Sin60 ° =； 2 Ξ Ξ Ξ Ξ
根据上述规律，计算 Sin2a+sin 2 (90° G = ________ .
解析：根据①②③可得出规律，即 Sin2a+sin2 (90° a^ =1 ,继而可得出答案.
答案：解：由题意得， Sin230° +sir? (90°— 30 =1; Sin245° +si∣2 (90°— 45 =1;
Sin260° +sir2 (90°— 60 =1;故可得 Sin2a+sin 2 (90°— =1 .故答案为：1 .
点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目， 注意根据题意总结，另外
Sin 2a+sin 2 (90° — =1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用.
例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的 A, B两点之间的距离，根据实际情况，作出
如下图形，其中 AB _ BE , EF _ BE , AF交BE于D, C在BD上.有四位同学分别测
量出以下四组数据：① BC ,ZACB ; ②CD , ZACB , ZADB ;③EF , DE, BD :④ DE, DC ,
BC .能根据所测数据，求出 A, B间距离的有哪 组 COS30°=
EF=2 , BC=5 CD=3 则 tanC 【解析】对于①，可由公式 AB=BC ×an ZACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设 AB
知ADEF FBA ,则,可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组
【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定. 在直角三角形中至少要有已知
一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有： AA , SAS , SSS ,两直
角三角形相似的判定还有 HL .
例10 （2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D
都在这些小正方形的顶点上， AB、CD相交于点P,贝U tan ZAPD的值是 _________ .
【解析】 要求tan ZAPD的值，只要将∠ APD放在直角三角形中，故过 B作CD的垂线,
然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可.
Jn 【答案】作BM JCD , DN IAB垂足分别为 M、N ,贝U BM=DM=匚 2
PM=X ,贝V PD= -X , 由厶DNP SAMP ,得： PN DN PN
,即 -U ^-1θ- , ∙∙PN= √5 ----X,
2 PM BM X -2 5
2
由 DN2+PN2=PD2 ,得: 1 1 2 / 2、2
+ X2=( -X)2, 解得： X1 = 2 X2= ■2 （舍去）， ∙'∙tan /
10 5 2 4
的长为X ,则BC= X
tan∠ BD= X
tan∠ BD-BC=CD ,可解出 AB .对于③，易
L10
易得：DN=J0 ,设
10
APD= BM
PM
例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形 ABCD 中，E、F分別是 AB、AD的中点，若
BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解.
解答：解：连接 BD . VE、F 分別是 AB、AD 的中点.∙ BD=2EF=4 ∙.BC=5 , CD=3 •△CD
是直角三角形.∙∙∙ tanC=
例12 （2011山东日照）在 Rt△ ABC中，∠ C=90°,把∠A的邻边与对边的比叫做∠A 的
K
余切，记作CotA=—.则下列关系式中不成立的是（ ）
a
A. tanA?CotA=I B . SinA=tanA?CoSA C. COSA=CotA?SinA D . tan2A+cot 2A=I
解答：解：根据锐角三角函数的定义，得
a — a a — a
A、tan A?CotA= =1，关系式成立；B、SinA= , ta nA?CoSA= ，关系式成立；
—a C — C C
a — — a —
C、COSA=-，CotA?SinA= ,关系式成立；D、tan 2A+cot 2A= ( ) 2+ ( ) 2 ≠
1,
C CaC — a
关系式不成立.故选 D .点评：本题考查了同角三角函数的关系.（ 1）平方关系:
Sin 2A+COS 2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角
Sjn A
的正弦与余弦的比，即tanA= 或SinA=tanA?CoSA .（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1 CoSB 分析：根据三角形的中位线定理即可求得 BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△
Ii
