[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练14空间中的平行与垂直理

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 专题能力训练14 空间中的平行与垂直

能力突破训练

1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是( )

A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1

2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )

A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心

C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心

(第1题图)

(第2题图)

3.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)

4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .

5.下列命题中正确的是

.(填上你认为正确的所有命题的序号)

①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;

②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;

③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为

a2;

④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.

6.

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 在正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中点,BC= BB1.设B1D∩BC1=F.

求证:(1)A1C∥平面AB1D;

(2)BC1⊥平面AB1D.

7.

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.

(1)求证:PC⊥AD;

(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;

(3)求点D到平面PAM的距离.

8.

(2017山东青岛统一质检)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=3,F是棱PA上的一个动点,E为PD的中点. 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 (1)求证:平面BDF⊥平面PCF;

(2)若AF=1,求证:CE∥平面BDF.

思维提升训练

9.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

10.

如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= ,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.

(1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF;

(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.

11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题: 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持

(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;

(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.

12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1= ,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.

(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1;

(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的

?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.

13.如图,在四边形ABCD中(如图①),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC= ,AB=AD= .将△ABD(如图①)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60°(如图②). 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持

(1)求证:AE⊥平面BDC;

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;

(3)求点B到平面ACD的距离.

参考答案

专题能力训练14 空间中的平行与垂直

能力突破训练

1.D 解析易知A1C1⊥平面BB1D1D.

∵B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.

2.A 解析如图,易知PA,PE,PF两两垂直,

∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,

而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,

∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.

同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,

∴O为△AEF的垂心.

3.②③④ 解析对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④.

4 解析 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持

如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.

设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.

又GH∥SO,

∴GH⊥平面ABCD,

∴AC⊥GH.

又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.

故点P的轨迹是△EFG,其周长为

5.②③④ 解析①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=

a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB.

6.证明(1)连接A1B,设A1B交AB1于点E,连接DE.

∵点D是BC的中点,点E是A1B的中点,

∴DE∥A1C.

∵A1C⊄平面AB1D,DE⊂平面AB1D,

∴A1C∥平面AB1D.

(2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点,

∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B1BCC1,平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD⊂平面ABC,

∴AD⊥平面B1BCC1.

∵BC1⊂平面B1BCC1,∴AD⊥BC1.

∵点D是BC的中点,BC= BB1,

∴BD=

BB1.

,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1,

∴∠BDB1=∠BC1C.

∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°.

∴BC1⊥B1D.

∵B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.

7.(1)证法一取AD的中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,

所以OC⊥AD,OP⊥AD.

又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,

所以AD⊥平面POC. 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.

证法二连接AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形.

因为M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC.

又AM∩DM=M,AM⊂平面AMD,DM⊂平面AMD,

所以PC⊥平面AMD.

因为AD⊂平面AMD,所以PC⊥AD.

(2)证明当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:

取棱PB的中点Q,连接QM,QA.

因为M为PC的中点,所以QM∥BC.

在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD,所以A,Q,M,D四点共面.

(3)解点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.

由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,

所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.

在Rt△POC中,PO=OC= ,PC= ,

在△PAC中,PA=AC=2,PC= ,边PC上的高AM= -

,

所以△PAC的面积S△PAC=

PC·AM=

设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得

S△PAC·h=

S△ACD·PO.

因为S△ACD=

22= ,所以

h=

,解得h=

,

所以点D到平面PAM的距离为

8.证明(1)连接AC交BD于点O.

∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.

∵PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,

∴BD⊥平面PAC,

∴BD⊥平面PCF.

∵BD⊂平面BDF,

∴平面BDF⊥平面PCF.