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[1 a (x b )2 ]1,1 x 3
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中a, b , a,b 为待定常数．
计算得 a 1.1086, b 0.8942, a 0.3915, b 0.3699。
则
f
(
x)
1
是无量纲的指标观测值。
, n; j 1, 2, , m) ， , m) 。则 xij [0,1]
（3）功效系数法:
令 xij
c xij mj M j mj
d
(i 1,2,
,n; j 1,2,
,m) ，
其中c, d 均为确定的常数。c 表示“平移量”d， 表示“旋转量”，即
表示“放大”或“缩小”倍数，则xij [c, c d ] 。
2、 构成综合评价问题的五个要素
构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对 象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。
（1）被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为 系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类
的，且个数要大于 1，不妨假设一个综合评价问题中有n 个 被评价对象（或系统），分别记为 S1, S2, , Sn (n 1) 。
（1）标准差方法:
令xij
xij x j sj
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
, m) ，
其中 xj
1 n
n i 1
xij , s j
[1 n
n i 1
( xij
x
j
)
2
]
1 2
(
j
1, 2,
, m) 。
显然指标 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 的均值和均方差分别为 0
据实际情况可构 造其他的隶属函数。 如取偏大型正态分布。
二、评价指标的规范化处理
2. 评价指标的无量纲化
在实际中的评价指标 x1, x2 , , xm (m 1) 之间，往往都存
在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可 公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标 建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。
1.1086(
x
0.8942)
2
1 ,1 x 3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
f
(x)
1
1.1086( x
0.8942)
2
1 ,1 x 3
0.3915ln x 0.3699 ,
3 x5
根据这个规律，
对于任何一个评价值， 都可给出一个合适的 量化值。
和 1，即 xij [0,1] 是无量纲的指标，称之为xij 的标准观测值。
2. 评价指标的无量纲化
（2）极值差方法:
令 xij
xij mj M j mj
(i 1, 2,
其中 M j m1iaxn {xij}, m j m1iinn{xij}( j 1, 2,
三三、、综综合合评评价价模的型数的学建模立型方法
1. 线性加权综合法
m
线性加权综合法: 用线性加权函数 y wj xj j 1
作为综合评价模型，对n 个系统进行综合评价。
线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间 相互独立。
对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将 导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观 地反映实际。
来刻画。如果用wj 来表示评价指标x j ( j 1, 2, , m) 的
m
权重系数，则应有 wj 0( j 1, 2, , m) ，且 wj 1 。 j 1
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后， 问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了， 即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果 的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。
（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提 出了如何使指标一致化的问题；
• （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除 指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值 大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指 标进行无量纲化处理——计算单项评价值。
4．确定各个评价指标的权重 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。xຫໍສະໝຸດ 11,a c
x
,
xa a xb
1
x
b c
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
1.4 定性指标的量化处理方法
在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指 标的定量处理问题。
[1 a (x
b )2
]1 ,1
x
3
a ln x b , 3 x 5
其中 a , b , a,b 为待定常数．
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) 1；
当“较满意”时，则隶属度为0.8，即 f (3) 0.8；
当“很不满意”时，则隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01．
（4）综合评价模型
对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合 成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据， 从而得到相应的评价结果。
不 妨 假 设 n 个 被 评 价 对 象 的m 个 评 价 指 标 向 量 为 x (x1, x2, , xm )T ，指标权重向量为w (w1, w2, , wm )T ， 由此构造综合评价函数为 y f (w, x) 。
2、 构成综合评价问题的五个要素
（2）评价指标
评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的 基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从 不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。
一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中 每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的 指标体系。
- 定性指标
1、评价指标类型的一致化
1.1 将极小型化为极大型
倒数法：
xj'
1 xj
平移变换法 xj' M j xj
其中
M j
max
1in
xij
1.2 将居中型化为极大型
对于居中型指标 x j
x
取中间值
j
M
j
2
m
j
为最好，要将其化为极大型指标，令
综合评价方法及其应用
一、什么是综合评价问题
历年竞赛题
（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题； （2）CUMCM2001-B:公交车调度问题； （3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； （4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题； （5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题； （6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题； （7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题； （8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题； （9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题； （10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题； （11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，
D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为
{很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意}
将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。
这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函
数作为隶属函数：
f
(x)
1. 线性加权综合法
线性加权综合法的特点： （1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性
补偿，保证综合评价指标的公平性； （2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明
1、综合评价的目的
综合评价一般表现为以下几类问题：
ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类， 但不同于复合分组（重叠分组）；
ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或 在分类基础上对各小类按优劣排序）；
ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一 事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。
如 果 已 知 各 评 价 指 标 的 n 个 观 测 值 为 {xij}(i 1,2, ,n; j 1, 2, , m) ，则可以计算出各系统的综合评价值 yi f (w, x(i) ) ， x(i) (xi1, xi2, , xim)T (i 1, 2, , n) 。根据 yi (i 1, 2, , n) 值的大小 将这n 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。
x
' j
2(x j m j )
Mj 2(M
j
m x
j j
)
M j m j
,mj M ,
xj M j
j mj 2
xj
mj 2
M
j
其中M j＝max(xij ),m j min(xij )
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
二、评价指标的规范化处理
1. 评价指标类型的一致化
一般说来，在评价指标x1, x2 , , xm (m 1) 中可能包
含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和 “区间型”指标。
