第四讲不等式与不等式组

不等式与不等式组的知识点不等式与不等式组的知识点一、不等式的定义不等式是数学中用来表示两个数之间的大小关系的一种符号，他们通常使用箭头或相等号和符号连接。

在不等式中，将数字分为“左边”和“右边”，而箭头或符号则指示左边的数字要大于、小于、等于或不等于右边的数字。

例如，5<7表示5小于7，3>2表示3大于2，4≠8表示4不等于8，以及6≤9表示6小于或等于9。

二、不等式组的定义不等式组是指多个不等式组成的数学结构，能够用来描述一个特定的解决方案。

例如，在x + 2y ≥ 6 和 x - y ≤ 4 的不等式组中，每个不等式都有一个独立的变量，即x和y，并且它们之间具有相互作用，即它们可以用来确定一个特定的解决方案。

三、不等式与不等式组的解决方法1.解不等式解不等式是指求出满足不等式的所有可能的解的过程。

首先，需要确定不等式的类型，因为不同类型的不等式有不同的解决方法。

其次，需要对不等式进行消去或求解，使其右边的数字变为0。

最后，根据不等式的类型，求出所有可能的解。

2.解不等式组解不等式组是指求出满足不等式组中所有不等式的解的过程。

首先，需要将不等式组中的不等式进行消去或求解，使其右边的数字变为0。

其次，根据消去后的不等式，对不等式组中的变量进行求值，以确定其解。

最后，需要检查求得的解是否满足不等式组中的所有不等式，如果满足，则该解即为不等式组的解。

四、不等式与不等式组的应用1.不等式的应用不等式在日常生活中有着广泛的应用，例如可以用来确定某个数字是否在一定范围之内，也可以用来确定某个数字是否等于另一个数字。

例如，可以使用不等式来判断温度是否低于20度，由此可以判断是否需要加衣服。

此外，还可以使用不等式来确定某个数字是否等于另一个数字，例如可以用来判断两个数字是否相等。

2.不等式组的应用不等式组在商业、金融、经济和其他领域的应用非常广泛，例如在金融领域，可以使用不等式组来判断投资是否能够获得最大的收益；在经济领域，可以使用不等式组来判断某项投资是否会产生最大的利润等。

不等式与不等式组不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示数值的大小关系。

不等式由两个表达式通过不等号连接而成，不等号的方向表示数值的大小关系。

在解不等式时，需确定不等式的解集，即满足不等式条件的数值集合。

解不等式可通过一系列基本操作来实现，例如移项、合并同类项、消去分母等。

不等式组是由若干个不等式联立而成的集合，每个不等式都是不等号连接的两个表达式。

解不等式组要找到满足所有不等式条件的数值集合，即符合所有不等式的交集。

解不等式组的方法有图解法、代入法、逐个方程法、消元法等。

不同方法适用于不同类型的不等式组，所以在解题时需根据具体情况选取合适的解题方法。

在解不等式和不等式组时，需要注意一些常见的规律和性质，例如：1. 加减性质：如果对不等式的两边加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。

2. 乘除性质：如果对不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. 双边性和单边性：对于等式来说，可以对两边同时进行操作；但对于不等式来说，只能对两边同时进行相同的操作。

4. 绝对值不等式：当不等号的右边是一个绝对值表达式时，需对绝对值取正负两个方向进行讨论。

除了以上的性质和规律外，还需注意一些典型的不等式类型，例如一次不等式、二次不等式、绝对值不等式等。

针对特定的不等式类型，需要掌握相应的解题方法和技巧。

在解不等式和不等式组时，可以通过数学符号、图形、表格等方式来表示解集。

解集可用区间表示、集合表示或图示的方式来展示。

总之，不等式与不等式组在数学中具有重要的意义，解不等式和不等式组可以帮助我们分析问题、做出决策，对于数学建模、优化问题等领域也有着广泛的应用。

理解和掌握不等式与不等式组的相关知识和解题方法，对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。

不等式与不等式组讲义不等式与不等式组⼀.知识梳理1.知识结构图(⼆).1．不等式常见的不等号有五种：“≠”、“≥”、“≤”．2不等式的解集可以在数轴上直观的表⽰出来，具体表⽰⽅法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实⼼圆点；不包含边界点，则是空⼼圆圈；再确定⽅向：⼤向右，⼩向左。

说明：不等式的解与⼀元⼀次⽅程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是⼀个范围，⽽⼀元⼀次⽅程的解则是⼀个具体的数值．3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同⼀个数或同⼀个整式．不等号的⽅向不变．如果a b>，那么__a cb c±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同⼀个正数，不等号的⽅向不变．如果,0a b c>>，那么__ac bc （或___a bc c）（3)不等式的两边都乘以(或除以)同⼀个负数，不等号的⽅向改变．如果a b>,0c<那么__ac bc （或___a bc c）说明：常见不等式所表⽰的基本语⾔与含义还有：①若a －b ＞0，则a ⼤于b ；②若a －b ＜0，则a ⼩于b ；③若a －b ≥0，则a 不⼩于b ；④若a －b ≤0，则a 不⼤于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b<，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的⼤⼩关系：①a -b>O ?a>b ；②a -b=O ?a=b ；③a-b不等号具有⽅向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

4．⼀元⼀次不等式（重点）只含有⼀个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做⼀元⼀次不等式．注：其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．5．解⼀元⼀次不等式的⼀般步骤（重难点）(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．说明：解⼀元⼀次不等式和解⼀元⼀次⽅程类似．不同的是：⼀元⼀次不等式两边同乘以(或除以)同⼀个负数时，不等号的⽅向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地⽅．例：131321≤---x x 解不等式： 6．⼀元⼀次不等式组含有相同未知数的⼏个⼀元⼀次不等式所组成的不等式组，叫做⼀元⼀次不等式组．说明：判断⼀个不等式组是⼀元⼀次不等式组需满⾜两个条件：①组成不等式组的每⼀个不等式必须是⼀元⼀次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数⾄少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．7．⼀元⼀次不等式组的解集⼀元⼀次不等式组中，⼏个不等式解集的公共部分．叫做这个⼀元⼀次不等式组的解集．⼀元⼀次不等式组的解集通常利⽤数轴来确定．8. 不等式组解集的确定⽅法，可以归纳为以下四种类型（设a>b ）（重难点）取中间）⽆解（⼤⼩分离解为空）9．解⼀元⼀次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利⽤数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．（三）常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类定义类1.下列不等式中，是⼀元⼀次不等式的是（）A.x1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的⼀元⼀次不等式，则该不等式的解集为 .⽤不等式表⽰a 与6的和⼩于5； x 与2的差⼩于－1；数轴题1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所⽰：⽤“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所⽰，则下列式⼦正确的是（）A 、ab ＞0B 、a b >C 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞0同等变换1.与2x <6不同解的不等式是（）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6(这类试题在中考中很多见)1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1x x +?---15312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表⽰出来． 3.（2006年绵阳市）12(1)1,1.23x x x -->-≥?? 此类试题易错知识辨析（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a<）当0a <时，b x a <（或b x a>）当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满⾜( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜15 若m ＞5，试⽤m 表⽰出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（）A.m >2B.m <2C.m =2D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3-a b ，那么a 的取值范围是________.1.不等式3(x －2)≤x +4的⾮负整数解有⼏个.（）A.4B.5C.6D.⽆数个2.不等式4x －41141+1. 不等式|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________.1.已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当a ＞0时，x ＜2D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时， x ＞21. 若x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1）x ＋y ＞0，（2）y －x ＜0，（3）xy ≤0,（4）y x ＜0中，正确结论的序号为________。

明士教育格式化备课课题:第四讲不等式（组）课型：备课人：备课时间: 科目：本备课适合学生：教学目标：教学内容：考点一、不等式的概念考点二、不等式基本性质考点三、一元一次不等式考点四、一元一次不等式组重点难点：教学策略与方法：教学过程设计：本备课改进：第四章不等式（组）考点一、不等式的概念（3分）1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3~5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考试题型：考点三、一元一次不等式（6~8分）1、一元一次不等式的概念本备课改进：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

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