数学---北京八中内蒙古乌兰察布市分校2018届高三(上)期中试卷(文)(解析版)

2018-2019学年内蒙古乌兰察布市北京八中分校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．（3分）（2002•甘肃）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m≠±22．（3分）（2019•曲靖模拟）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（）A．2016B．2017C．2018D．20193．（3分）（2006•黄石）已知关于x的方程x2﹣x+1﹣2m＝0的两根分别为x1，x2，且x12+x22＝3，则关于x的不等式3﹣（2m﹣1）x≤0的解为（）A．x B．x＜C．x≥3D．x≤34．（3分）（2016秋•自贡期中）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（）A．6B．8C．10D．145．（3分）（2004•深圳）函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，3）6．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知函数y＝（m﹣1）x2﹣mx﹣m的图象如图所示，则m的取值范围是（）A．m＜B．0＜m＜C．m＜1D．0＜m＜17．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）把二次函数y x2﹣3x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（）A．y（x﹣1）2+7B．y（x+7）2+7C．y（x+3）2+4D．y（x﹣1）2+18．（3分）（2017秋•沂水县期中）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0解为（）A．x1＝﹣3 x2＝﹣1B．x1＝1 x2＝3C．x1＝﹣1 x2＝3D．x1＝﹣3 x2＝19．（3分）（2009•株洲）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 10．（3分）（2017•兰州）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）A．1B．1.1C．1.2D．1.311．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+1上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1 12．（3分）（2007•双柏县）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx 的图象可能为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2018•长春二模）关于x的方程x2+mx+16＝0有两个相等的实根，则m＝．14．（3分）（2012•深圳）二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是．15．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知x1，x2是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根，则．16．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）如果将二次函数y＝2x2的图象沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是．17．（3分）（2015•漳州）已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．18．（3分）（2015秋•丹江口市期末）如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．19．（3分）（2015秋•蒙阴县期中）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈．试求羊圈AB，BC的长．若设AB的长为x米，则根据题意列方程为．20．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c ＜0；④若，、，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤＞（其中m）．其中说法正确的是．三、解答题（本大题共7小题，共60分）21．（8分）（2014秋•芜湖县期中）解方程：（1）2x2+6x﹣3＝0；（2）（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．22．（6分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知二次函数y x﹣3．（1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；（2）在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．23．（8分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．24．（8分）（2018秋•潮南区期末）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．25．（8分）（2011•东莞市校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．26．（10分）（2018秋•察右前旗校级月考）某公司生产某种产品的成本是200元/件，售价是250元/件，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费用x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足二次函数关系：y＝﹣0.001x2+0.06x+1（1）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式（无需自变量的取值范围）（2）如果公司年投入的广告费不低于10万元且不高于50万元，说出公司获得的年利润的变化情况以及年利润S的最大值；（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间（含端点），请从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围．27．（12分）（2017秋•保定期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．2018-2019学年内蒙古乌兰察布市北京八中分校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．（3分）（2002•甘肃）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m≠±2【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：m＝2．故选B．2．（3分）（2019•曲靖模拟）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（）A．2016B．2017C．2018D．2019【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2018﹣1＝2017．故选：B．3．（3分）（2006•黄石）已知关于x的方程x2﹣x+1﹣2m＝0的两根分别为x1，x2，且x12+x22＝3，则关于x的不等式3﹣（2m﹣1）x≤0的解为（）A．x B．x＜C．x≥3D．x≤3【解答】解：关于x的方程x2﹣x+1﹣2m＝O的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝1，x1x2＝1﹣2m．∵x12+x22＝3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1﹣2（1﹣2m）＝3，由此可得（2m﹣1）＝1．把（2m﹣1）＝1代入3﹣（2m﹣1）x≤0得，3﹣（2m﹣1）x＝3﹣x≤0，解得，x≥3．故选C．4．（3分）（2016秋•自贡期中）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（）A．6B．8C．10D．14【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，∴（x﹣6）（x﹣8）＝0，∴x＝6或8；∴两直角边为6和8，∴此三角形的斜边长10，故选：C．5．（3分）（2004•深圳）函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，3）【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，故顶点的坐标是（1，2）．故选：C．6．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知函数y＝（m﹣1）x2﹣mx﹣m的图象如图所示，则m的取值范围是（）A．m＜B．0＜m＜C．m＜1D．0＜m＜1【解答】解：由抛物线开口向下可知，a＝m﹣1＜0，即m＜1；由对称轴x＜0，＜0，得0＜m＜．故选：B．7．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）把二次函数y x2﹣3x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（）A．y（x﹣1）2+7B．y（x+7）2+7C．y（x+3）2+4D．y（x﹣1）2+1【解答】解：把抛物线的表达式化为顶点坐标式，y x2﹣3x（x+3）2+4．按照“左加右减，上加下减”的规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到y（x ﹣1）2+7．故选A．8．（3分）（2017秋•沂水县期中）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0解为（）A．x1＝﹣3 x2＝﹣1B．x1＝1 x2＝3C．x1＝﹣1 x2＝3D．x1＝﹣3 x2＝1【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，∴二次函数的图象的对称轴方程为直线x＝1，∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0解为x1＝﹣1 x2＝3，故选：C．9．（3分）（2009•株洲）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c．故选：A．10．（3分）（2017•兰州）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）A．1B．1.1C．1.2D．1.3【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，故选：C．11．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+1上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【解答】解：抛物线y＝﹣2x2﹣8x+1的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线开口向下，因为点（﹣2，y2）为顶点，点（﹣4，y3）到直线x＝﹣2的距离最远，所以y3＜y1＜y2．故选：C．12．（3分）（2007•双柏县）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx 的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2018•长春二模）关于x的方程x2+mx+16＝0有两个相等的实根，则m＝±8．【解答】解：∵方程x2+mx+16＝0有两个相等的实根，∴△＝m2﹣4×1×16＝m2﹣64＝0，解得：m＝±8．故答案为：±8．14．（3分）（2012•深圳）二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是5．【解答】解：y＝x2﹣2x+6＝x2﹣2x+1+5＝（x﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．故答案为：5．15．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知x1，x2是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根，则．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根，∴x1+x2，x1x2，∴．故答案为：．16．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）如果将二次函数y＝2x2的图象沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是y＝2（x﹣3）2﹣1．【解答】解：二次函数y＝2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位所得对应点的坐标为（3，﹣1），所以所得图象的函数解析式y ＝2（x﹣3）2﹣1．故答案为y＝2（x﹣3）2﹣1．17．（3分）（2015•漳州）已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小．【解答】解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x＝2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．18．（3分）（2015秋•丹江口市期末）如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1＝﹣1，x2＝5．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一交点是（5，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1＝﹣1，x2＝5．故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．19．（3分）（2015秋•蒙阴县期中）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈．试求羊圈AB，BC的长．若设AB的长为x米，则根据题意列方程为（100﹣4x）x＝400．【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，故答案为：（100﹣4x）x＝400．20．（3分）（2018秋•察右前旗校级月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c ＜0；④若，、，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤＞（其中m）．其中说法正确的是①②④⑤．【解答】解：①由抛物线的开口可知：a＜0，又抛物线与y轴的交点可知：c＞0，对称轴＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②将（2，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），∴4a+2b+c＝0，∵，∴a＝﹣b，∴﹣4b+2b+c＝0，∴﹣2b+c＝0，故②正确；③由②可知：4a+2b+c＝0，故③错误；④由于抛物线的对称轴为x，∴（，y1）与（，y1）关于x对称，由于x＞时，y随着x的增大而减小，∵＞，∴y1＜y2，故④正确；⑤由图象可知：x时，y可取得最大值，且最大值为a b，∴m∴a b+c＞am2+bm+c，∴＞，故⑤正确；故答案为：①②④⑤；三、解答题（本大题共7小题，共60分）21．（8分）（2014秋•芜湖县期中）解方程：（1）2x2+6x﹣3＝0；（2）（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．【解答】解：（1）a＝2，b＝6，c＝﹣3，△＝36﹣4×2×（﹣3）＝60，x1，x2；（2）提公因式得（x+3）（x+3﹣2x）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝3．22．（6分）（2018秋•察右前旗校级月考）已知二次函数y x﹣3．（1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；（2）在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．【解答】解：（1）∵y x﹣3，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣4），对称轴是直线x＝2，图象的开口向上；（2）y x﹣3（x2﹣4x﹣12），∴当x＝6时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝0，∴该函数过点（﹣2，0），（6，0），（2，﹣4），函数图象如右图所示．23．（8分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，∴，∴a，b，c＝﹣1，∴二次函数的解析式为y x2x﹣1；（2）当y＝0时，得x2x﹣1＝0；解得x1＝2，x2＝﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．24．（8分）（2018秋•潮南区期末）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，解得：m．（2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根，∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2．∵（x1+1）（x2+1）＝8，∴x1x2+（x1+x2）+1＝8，∴m2+2+2（m+1）+1＝8，整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1，∴m的值为1．25．（8分）（2011•东莞市校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根x1＝1，x2＝3；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集1＜x＜3；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x＞2．【解答】解：（1）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；（2）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴1＜x＜3；（3）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．26．（10分）（2018秋•察右前旗校级月考）某公司生产某种产品的成本是200元/件，售价是250元/件，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费用x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足二次函数关系：y＝﹣0.001x2+0.06x+1（1）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式（无需自变量的取值范围）（2）如果公司年投入的广告费不低于10万元且不高于50万元，说出公司获得的年利润的变化情况以及年利润S的最大值；（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间（含端点），请从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：S＝（250﹣200）•10y﹣x＝500（﹣0.001x2+0.06x+1）﹣x x2+29x+500；（2）∵S（x﹣29）2+920.5（10≤x≤50），∴当10≤x＜29时，S随着x的增大而增大；当29＜x≤50时，S随着x的增大而减小；当S＝29时，S有最大值920.5．故年利润S的最大值为920.5万元；（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间，即：776≤s≤908，则：776x2+29x+500≤908，由于x＜29时，S随着x的增大而增大，而最大利润是920.5，所以x＜29，解不等式得：12≤x≤24．答：从节约支出的角度得广告费x的取值范围为12≤x≤24．27．（12分）（2017秋•保定期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：，解得：，则该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：y＝kx+d，将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：，解得：，故直线BC解析式为：y＝2x+8，直线BC与抛物线对称轴x＝﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．解方程组得，则点Q（﹣1，6）即为所求；（3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO﹣16若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOCBE•PE OE（PE+OC）（x+4）（﹣x2﹣2x+8）（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）＝﹣2（x+2）2+24，当x＝﹣2时，S四边形BPCO最大值＝24，∴S△BPC最大＝24﹣16＝8，当x＝﹣2时，﹣x2﹣2x+8＝8，∴点P的坐标为（﹣2，8）．。

2018-2019学年内蒙古乌兰察布市北京八中乌兰察布分校高一下学期调研（四）数学试题一、单选题 1．()cos 2040-= （ ）A ．12B ．2C ．D ．12-【答案】D【解析】利用诱导公式即可求出． 【详解】 解：()()1cos 2040cos 2040+3606=cos(120)cos(180120)cos602-=-⨯=--=-=-故选：D ． 【点睛】本题考查利用诱导公式求特殊角的三角函数值，是基础题． 2．已知向量(,3)a x =,(2,2)b =- ,且a b ⊥,则a b +=( ) A ．5 B ．26C ．25D ．10【答案】B 【解析】【详解】因为a b ⊥所以，260,3,x x -==a b +25==+=,故选B.3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()2ln x f x x =+，则()2019f =A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】A【解析】先根据()()4f x f x +=可得函数周期，结合奇函数及解析式可得()2019f .【详解】因为()()4f x f x +=，所以周期为4，所以()()20191f f =-；因为()f x 为奇函数，所以()()20191(1)f f f =-=-.因为当(]0,1x ∈时，()2ln xf x x =+，所以(1)2f =，即()20192f =-，故选A.【点睛】本题主要考查函数性质的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 4．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．1344AB AC - B ．3144AB AC - C ．1344AB AC +D ．3144AB AC +【答案】B【解析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【详解】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，1211()223144EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⨯+=-，故选：B ． 【点睛】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题． 5．向量1,tan ,(cos ,1)3a a b a ⎛⎫==⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A．B ．13C ．13-D． 【答案】C【解析】先根据//a b 求出sin α的值，再利用诱导公式化简cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即得解. 【详解】 因为//a b ，所以11sin tan cos 0,cos 033cos ααααα-=∴-⋅=， 所以1sin =3α.所以1cos =sin 23παα⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ ）．A ．14B ．34C ．45D ．25【答案】C【解析】【详解】试题分析：2222sin cos 2tan 4tan 2,sin 2sin cos 1tan 5θθθθθθθθ====++，选C.【考点】二倍角公式7． 若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y －3＝0【答案】D【解析】圆心C (1,0)，k PC ＝0(1)12---＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D.8．将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数解析式为（ ）A.3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.12sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.13sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.123sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据三角函数左右平移变换、伸缩变换的原则依次变换即可得到结果.【详解】 向左平移3π个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 横坐标扩大到原来的2倍得：1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭纵坐标扩大到原来的3倍得：13sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题正确结果：C 【点睛】本题考查求解三角函数图象变换后的解析式，涉及到相位变换和伸缩变换，属于常考题型.9．下列直线中，是函数()sin 2cos 2f x x x =-图象的对称轴的是（ ） A ．直线38x π= B ．直线8x π=C ．直线4x π=D ．直线6x π=【答案】A【解析】先利用两角和公式对函数解析式化简，进而令2,42x k πππ-=+求得函数的对称轴方程，对四个选项验证即可． 【详解】解：()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=-=-，令32,,4228k x k k Z x πππππ-=+∈=+∴， ∴函数的对称轴方程为328k x ππ=+,,k Z ∈ 故只有A 项中说法正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质．正弦函数和余弦函数图象的对称轴的位置都在函数取得最大或最小值的位置上．10．在区间[]0,2上分别任取两个数,m n ，若向量(),a m n =， ()1,1b =，则1a b -≤的概率是（ ） A ．4π B ．2π C ．3π D ．8π 【答案】A【解析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤的,m n 所满足的条件，结合,m n []0,2∈，数形结合得答案．【详解】解：由(),a m n =， ()1,1b =，得(1,1)a b m n -=--由1a b -≤，得1，即22(1)(1)1m n -+-≤．,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩．作出图形如图：圆22(1)(1)1m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4．则1a b -≤的概率是4π． 故选：A ． 【点睛】本题考查几何概型，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 11．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C = ，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】利用降次公式、三角形内角和定理、诱导公式以及两角和与差的余弦公式对题目所给已知条件进行化简，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意1cos sin sin 2AB C +=，()2sin sin 1cos B C B C =-+，cos cos sin sin 1B C B C +=,()cos 1,0,B C B C B C -=-==，故三角形为等腰三角形，故选C. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查诱导公式以及三角形形状的判断，属于中档题. 12．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A.2 B.52C.3D.72【答案】B【解析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题 13．已知4(,0),cos ,25x x π∈-=则tan 2x 等于___________ 【答案】247-【解析】由4(,0),cos ,25x x π∈-=，可得sin sin ,tan cos x x x x=．即可得出22tan tan 21tan x x x=-． 【详解】解：4(,0),cos ,25x x π∈-= 33sin ,tan 54x x ∴=-∴=-．则22322tan 244tan 21tan 7314x x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：247-． 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系及倍角公式，属于基础题．14．已知()1,2a =，(),1b x =，若a →与b →的夹角是锐角，则x 的取值范围为______．【答案】{2|x x >-且1}2x ≠【解析】由题意可得a →0b →⋅>，且a →与b →不平行，由此求得x 的范围 【详解】解：己知()1,2a =，(),1b x =，a →与b →的夹角是锐角，则a →0b →⋅>，且a →与b →不平行， 即20x +>，且120x -≠， 解得2|x x >-且12x ≠故答案为：{2|x x >-且1}2x ≠ 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量平行的性质，是基础题． 15．已知向量a ，b 满足2a =，2b =，向量a 在向量b 方向上的投影为1，则2a b -=______.【答案】【解析】由投影求得a b ⋅，再由模长公式求解即可 【详解】因为向量a 在向量b 方向上的投影为1则cos 12a b a a b bq ==\=，∴|2a b-|=2244aa b b -⋅+=＝ 故答案为【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，考查模长公式，，注意平面向量的数量积公式的灵活运用．16．已知向量a ＝sin ,16πα⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4,4cos b α=，若a ⊥b ，则4sin 3a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________． 【答案】14-【解析】由a ⊥b 可得0a b ⋅=，由向量的数量积的坐标表示整理可得1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而所求4sin 3a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin 3πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求出结果．【详解】 解：a ⊥b ，0ab ∴⋅=4sin 4cos 066cos 0παααα⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭∴+=即3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭1sin 34πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，4sin 3a π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭=sin 314πα⎛⎫-+= ⎪⎝-⎭ 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，三角函数的辅助角公式及诱导公式的应用，属于基础题三、解答题17．已知3a →=，(1,3)b =-,a →与b →的夹角为60°，35c a b =+,3d ma b =- (1)当m 为何值时，c →与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c →与d 共线? 【答案】（1）2914；（2）－95.【解析】（1）若c →与d 垂直，则0c d ⋅=，化成关于m 的方程并解出m 即可. （2）若c →与d 共线，根据向量共线定理，存在λ，使c d λ=，再根据向量相等概念解出m 即可. 【详解】解：（1）0c d ⋅=，则(35)(3)0a b ma b +⋅-=, 即223||15||(59)0m a b m a b -+-⋅=解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c d ⊥.(2)令c d λ=，则35(3)a a ma b λ+=- 即(3)(53)0m a b λλ-++=， ∵,a b 不共线，∴30530m λλ-=⎧⎨+=⎩解得5395m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故当m ＝－95时，c →与d 共线．【点睛】本题考查向量数量积、夹角的计算，向量共线、向量垂直的条件及判定．是向量中的基本知识，本题属于基础题．18．已知α，β均为锐角，且3sin(),sin()5πααβ-=-= （1）求3sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求cos β的值．【答案】（1）725-（2 【解析】（1）由题意可得，3sin()sin 5παα-==利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出3sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可 （2）利用cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-，即可求出cos β的值．【详解】 解: （1）3sin()sin 5παα-==sin()cos sin πααα∴+=-=-=-2372221225（2）cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-()4351051050=⋅+⋅-=【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，考查角的变换.正确运用公式是解题的关键. 19．已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-，(1,2)b =. （1）若//a b ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =，0θπ<<，求θ的值.【答案】（1）465（2）2π或34π【解析】（1）由题得1tan 4θ=，再求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =，得22sin (cos 2sin )5θθθ+-=，解方程即得解.【详解】(1)因为a b ∥，所以2sin cos 2sin θθθ=-，于是4sin cos θθ=； 当cos 0θ=时，sin 0θ= ，与22sin cos 1θθ+=矛盾，所以cos 0θ≠，故1tan 4θ=， 所以2222sin cos sin cos tan 413cos sin 4cos tan 465θθθθθθθθθ⋅⋅===+++ (2)由||||a b =r r知，22sin (cos 2sin )5θθθ+-= ，即214sin cos 4sin 5θθθ-+=，从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos21θθ+=-，于是sin 242πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又由0θπ<<知，92444πππθ<+<， 所以5244ππθ+=或7244ππθ+=，因此2πθ=或34πθ=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和求值，考查三角方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．【答案】（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35. 【解析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率． 【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人， ②第3组的频率为300.300100=， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组： 306360⨯=人， 第4组：人，第5组：106160⨯=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93155=． 【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．21．已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于,A B 两点。

P（ A） =
=
=，
故选： B．
由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：
P（ A） =
=
本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题． 4. 【答案】 A 【解析】 解：函数 f （ -x ） =-xcos （ -x ） - （ -x ）3=-xcosx+x 3=-f （ x）， 则函数 f （x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D，
解得 q=1 或 3；
又 a2-a 1=2，即 a1（ q-1 ）=2，则 q=3， a1=1， 则 an=3n-1 ，则有 a4=33=27；
故 的公比为 q，由 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项，可得 2×2a2=3a1+a3，
利用等比数列的通项公式代入化简为
= ，得解．
f （ ） = cos - （ ） 3=- （ ） 3＜ 0，排除 B，
故选： A．
判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断， 利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值， 结合排
除法是解决本题的关键．
5. 【答案】 B
【解析】
解：根据题意，设等比数列 {a n } 的公比为 q， 若 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项，则有 2×2a2=3a1+a3，变形可得 4a1q=3a1+a1q2，即 q2-4q+3=0 ，
8. 《九章算术》 是我国古代的数学名著， 体现了古代劳动人民的数学智慧， 其中第六章 “均
输 ”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，
若输出 m的值为 67，则输入 a 的值为（

北京八中乌兰察布分校2017-2018学年第一学期期末考试高二年级文科数学试题一、选择题：（本大题共12小题。

每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。

）1. x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） A. 3x > B. 3x < C. 1x < D. 1x >【答案】D 【解析】本题的题意等价于四个选项中的一个可以得出2x > ,而2x >不能得出四个选项中的一个.只有1x > 符合. 故选C.2. 经过椭圆2212x y +=的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于,A B 两点．设O为坐标原点，则OA OB ⋅等于（ ） A. 3- B. 13-C. 3-或13-D. 13±【答案】B 【解析】 【分析】由方程2212x y +=可求椭圆的焦点为()10±，，先不妨设所作直线l 过右焦点，于是得到直线方程为1y x =-．与椭圆方程联立后可求得点,A B 的坐标，然后由1212OA OB x x y y ⋅=+可得所求．【详解】由2212x y += ，得22222211a b c a b ===-=，， ，焦点为()10±， 设直线l 过右焦点，倾斜角为45︒ ，直线l 的方程为1y x =-．代入2212x y +=得()222120x x +--=， 即2340x x -=． 设()()1122A x y B x y ，，，，则1212403x x x x ⋅=+=，， ()()()1212121241111133y y x x x x x x =-⋅-=-++=-=-， 121211033OA OB x x y y ⋅=+=-=-．同理当直线l 过左焦点时，13OA OB ⋅=-．故选：B【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，直线方程与椭圆方程联立韦达定理的应用，解答本题的关键是方程联立由韦达定理得到1212403x x x x ⋅=+=，，再由数量积得出1212OA OB x x y y ⋅=+，将韦达定理代入即可，属于基础题.3. 抛物线x 2＝－2y 与过点P(0，－1)的直线l 交于A ，B 两点，如果OA 与OB 的斜率之和为1，则直线l 的方程是( ) A. Y=－x －1 B. Y=x ＋1 C. Y=x －1 D. Y=－x ＋1【答案】C 【解析】由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()()11221,,,,,y kx A x y B x y =-∴联立直线与抛物线22x y =-，可得2220x kx +-=，12122,2x x k x x ∴+=-=-，OA 和OB 的斜率之和为1，即12121y y x x +=，121212*********kx kx x x k k k x x x x --+-∴+=-=-=-，1k ∴=，∴直线l 的方程为1y x =-，故选C.4. 设P 是双曲线22x a－29y ＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝5，则|PF 2|等于( ) A. 1或5 B. 1或9C. 1D. 9【答案】D 【解析】因为双曲线22x a－219y =的一条渐近线方程为33320,,22x y a a -=∴=∴=由双曲线的定义可得2114,5,PF PF PF P -==∴在双曲线的左支上，29PF ∴=，故选D.5. 椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，有两顶点的坐标是(40)(02)，，，，椭圆的方程是 A. 221416x y +=或221164x y +=B. 221416x y += C. 221164x y +=D. 2211620x y += 【答案】C 【解析】解：因为椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，有两顶点的坐标是(40)(02)，，，，则可知a=4,b=2,则根据焦点在x 轴上，则椭圆的方程是221164x y +=，选C6. 设动点C 到点M(0,3)的距离比点C 到直线y ＝0的距离大1，则动点C 的轨迹是( ) A. 抛物线 B. 双曲线C. 椭圆D. 圆【答案】A 【解析】因为动点C 到点()0,3M 的距离比点C 到直线0y =的距离大1，所以点C 到直线1y =-的距离与它到点()0,3的距离相等，∴点C 的轨迹是以M 为焦点，直线:1l y =-为准线的抛物线，故选A.7. 已知曲线y ＝2x 2上一点A(2,8)，则在点A 处的切线斜率为 ( )． A. 4 B. 16 C. 8 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，由切点坐标，令2x =，即可得到切线的斜率.【详解】由()22f x x =可得()'4f x x =，根据导数的几何意义可得，在点A 处的切线斜率为()'2428f =⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查幂函数的求导公式以及利用导数的几何意义求切线斜率，属于简单题.8. 函数y ＝xlnx 在(0，5)上是( )A. 单调增函数B. 在1(0,)e 上单调递增，在1(5)e，上单调递减C. 单调减函数D. 在1(0,)e 上单调递减，在1(5)e，上单调递增 【答案】D 【解析】ln ,'ln 1y x x y x =∴=+，由'ln 10y x =+=，得极值点()1,0,5,x x e =∈∴当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数是单调递减函数；当1,5x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数是单调递增函数，即函数ln y x x = 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在15e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故选D. 9. a 、b 为非零向量．“a b ⊥”是“函数()()?()f x xa b xb a =+-为一次函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 分析：先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到 a b =0，则a ⊥b 成立，再判断充分性是否成立，由a ⊥b ，不能推出函数为一次函数，因为a = b 时，函数是常数，而不是一次函数．解：f(x)=(x a +b )(x b -a ) =a ?b x 2+(b 2-a 2)x-a ?b ， 如a ⊥b ，则有a ?b =0，如果同时有a =b ，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分， 而如果f （x ）为一次函数，则a ?b =0，因此可得a ⊥b ，故该条件必要． 故答案为B ．10. 已知e 为自然对数的底数,设函数()()()()e 1?11,2kxf x x k =--=,则( )．A. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【答案】C 【解析】当k=1时，函数f(x)=(e x −1)(x −1).求导函数可得f ′(x)=e x (x −1)+(e x −1)=(xe x −1) f ′(1)=e −1≠0，f ′(2)=2e 2−1≠0， 则f(x)在在x=1处与在x=2处均取不到极值， 当k=2时，函数f(x)=(e x −1)(x −1)2.求导函数可得f ′(x)=e x (x −1)2+2(e x −1)(x −1)=(x −1)(xe x +e x −2)∴当x=1，f ′(x)=0，且当x>1时，f ′(x)>0，当x0<x<1时(x0为极大值点)，f ′(x)<0，故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；在(x 0,1)上是减函数，从而函数f(x)在x=1取得极小值．对照选项． 故选C.11. 若x 2＋y 2＞2，则|x|＞1或|y|＞1的否命题是( ) A. 若x 2＋y 2≤2，则|x |≤1且|y |≤1 B. 若x 2＋y 2＜2，则|x |≤1且|y |≤1 C. 若x 2＋y 2＜2，则|x|＜1或|y|＜1 D. 若x 2＋y 2＜2，则|x |≤1或|y |≤1【答案】A 【解析】因为否命题既否定条件又否定结论，所以，若“222x y ”，则“1x >或1y >”的否命题是，若“222x y +≤”，则“1x ≤且1y ≤”，故选A.12. 已知命题p ：a 2≥0（a∈R），命题q ：函数f （x ）＝x 2－x 在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p∨q B. p∧qC. （┐p）∧（┐q）D. （┐p）∨q 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】命题()2:0p a a R ≥∈，是真命题，命题q ：函数()()22211f x x x x =---=在区间[)1,+∞上单调递增，在区间[)0,+∞上不单调，因此是假命题，所以p q ∨为真命题，故选A. 【思路点睛】本题主要考查二次函数的单调性，以及且命题、或命题、非命题真假的判断，属于中档题.解答本题的基本思路是，先判断命题p 为真命题，再根据二次函数的性质可判断命题q 为假命题，于是p ⌝ 为假命题，q ⌝ 为真命题，然后根据真值表，分别判断各选项命题的真假即可得结果.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________． 【答案】5 【解析】设线段1PF 的中点为M ，另一个焦点2F ，由题意知，OM b =，又OM 是21F PF ∆的中位线，221,22OM PF b PF b ∴===，由椭圆的定义知，12222PF a PF a b =-=-，又()11112222MF PF a b a b ==-=-，又1OF c =，直角三角形1OMF 中，由勾股定理得，()222a b b c -+=，又222a c b -=，可得23a b =，故有()22222249959a b a c a c ，==-=，由此可求得离心率5c e a ==5【 方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据椭圆的定义及勾股定理，可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出,a c 之间的关系，求出离心率e ．14. 已知c ＞0，设p ：函数y ＝cx 在R 上递减；q ：函数f(x)＝x 2－cx 的最小值小于－116.如果“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数c 的取值范围为________． 【答案】(0，12]∪[1，＋∞) 【解析】因为0c >，所以命题:p 函数x y c =在R 上单调递减为真命题时01,c p <<假时：1,:c q ≥函数()2f x x cx =-的最小值小于211,16416c -∴-<-，解得12c >或12c <-，如果“p 或q ”为真，且“p 或q ”为假，则,p q 一真一假， p 真q 假时，011122c c <<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩ ，解得102x <≤，p 假q 真时，111,22c c c ≥⎧⎪⎨><-⎪⎩，解得1c ≥，综上，实数c 的取值范围为[)101+2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，，，故答案为[)101+2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，，. 15. 抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________．【答案】12【解析】抛物线方程为22,y x =∴抛物线的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()00,M x y ，得1MF ==，将2002y x =代入，得1=，平方得20112x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解之得012x =（舍负），故答案为12. 16. 设F 是双曲线C ：22x a－22y b ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上， ∴.考点：双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来. 解答题(17题10分，18—22每题12分，本大题一共70分) 17. 设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a>0，且a ≠1)的解集是{x|x<0}； q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a)的定义域为R ．如果p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】102a <≤或1a ≥ 【解析】试题分析：本题是复合命题的真假判断，解决此类问题可以先求出简单命题,p q 为真时的参数取值范围，然后由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题知,p q 中一真一假，然后分p 真q 假和p 假q 真两种情况求解． 试题解析：若p 为真命题，则0<a<1； 若p 为假命题，则a≥1或a≤0. 若q 为真命题，由得a>12； 若q 为假命假，则a≤12. 又p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，即p 和q 有且仅有一个为真命题， 当p 真q 假时，0<a≤12；当p 假q 真时，a≥1. 故实数a 的取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，∪[1，＋∞）考点：复合命题的真假判断．18. 设函数f(x)=13x 3－2ax 2＋bx ＋c ，其中a>0，曲线y=(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y=1，确定b 、c 的值． 【答案】b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题解析：由题意得，f(0)＝c ，f ′(x)＝x 2－ax ＋b ，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解19. 已知函数f(x)=x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数f(x)的递增区间． 【答案】(－∞，－5)和(5，＋∞) 【解析】试题分析：求出函数的导数，利用函数的单调减区间是()5,5- ，可得5,5-是方程()'0f x = 的根，从而求出a 的值，然后令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间.试题解析：f ′(x)＝3x 2＋a .∵(－5，5)是函数y ＝f(x)的单调递减区间，则－5，5是方程3x 2＋a ＝0的根，∴a ＝－75.此时f ′(x)＝3x 2－75， 令f ′(x)>0，则3x 2－75>0，解得x>5或x<－5， ∴函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．20. P 为椭圆221259x y +=上一点，1F .2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=︒（1）求12F PF ∆的面积； （2）求P 点的坐标． 【答案】见解析. 【解析】试题分析：（1）由椭圆的定义12+10PF PF =，由余弦定理可得22211212=+FF PF PF PF PF -，两式结合可求得1212PF PF =，根据三角形的面积公式，即可求得12F PF ∆的面积；（2）由（1）可得1214332S F F y y ===，即可求得y 的值，代入椭圆方程，即可求得x 的值，求得P 点坐标. 试题解析：∵a＝5，b ＝3c ＝4 （1）设，，则①②，由①2－②得.（2）设P，由得 4，将 代入椭圆方程解得，或或或21. 已知顶点在原点，焦点在x 轴的负半轴的抛物线截直线y=x ＋32所得的弦长|P 1P 22 【答案】y 2＝－2x. 【解析】试题分析：抛物线22,0y px p =<，联立2232y pxy x ⎧-⎪⎨-+⎪⎩，得()293204x p x +-+=，由1242PP =，根据韦达定理及弦长公式，列出关于p 的方程，解得p 的值，就能求出抛物线方程.试题解析：设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)，把直线方程与抛物线方程联立得2322y x y px ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＋，＝，消元得x 2＋(3＋2p)x ＋94＝0，① 判别式Δ＝(3＋2p)2－9＝4p 2＋12p>0，解得p>0或p<－3(舍)， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则①中由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(3＋2p)，x 1·x 2＝94，＝p ＝1或p ＝－4(舍)，所以所求抛物线方程为y 2＝－2x.22. 若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围.【答案】（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围.【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3=-f x ax b ， 由2x =时，函数()f x 有极值43-， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+；（2）由（1）知()31443f x x x =-+， 所以2'()4(2)(2)=-=+-f x x x x ，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数， 当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-， 因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根，所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点，则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.。