第五章统计与概率单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是( )A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况答案 B解析A选项做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的方式；B选项班级人数有限，比较容易调查因而适合普查；C选项数量大并且耗时长，不适合普查；D选项普查时数量太大，要费太大的人力、物力，得不偿失，不适合普查．故选B.2．近几年来移动支付越来越普遍，为了了解某地10000名居民常用的支付方式，从中抽取了500名居民，对其常用支付方式进行统计分析．在这个问题中，10000名居民的常用支付方式的全体是( )A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析10000名居民的常用支付方式的全体是总体，样本容量是500，每个居民的常用支付方式是个体，500名居民的常用支付方式是从总体中抽取的一个样本．故选A.3．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析易知①是正确的；一次试验中不同的事件可能同时发生，故②错误；任意事件A 发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1，故③错误；当事件A的概率P(A)＝0时，事件A是不可能事件，故④错误．所以选B.4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A．08 B．07 C．02 D．01答案 D解析从左到右符合题意的5个个体的编号分别为08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．100,10 B．200,10C．100,20 D．200,20答案 D解析易知(3500＋4500＋2000)×2%＝200，即样本容量为200.抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．若甲运动员得分的中位数为a，乙运动员得分的众数为b，则a－b的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 A解析 ∵甲运动员得分的中位数为a ，∴a ＝19＋172＝18，∵乙运动员得分的众数为b ，∴b ＝11.∴a －b ＝18－11＝7.故选A.7．五张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这五张卡片中随机抽取一张，事件M 为“抽出的卡片上的数字为素数”，事件N 为“抽出的卡片上的数字为4”，则P (M ＋N )＝( )A.15B.35C.45 D ．1 答案 C解析 从五张卡片中随机抽取一张，所含的样本点总数为5.事件M 为“抽出的卡片上的数字为素数”，则事件M 所包含的样本点有3个，分别为2,3,5，所以P (M )＝35.事件N 为“抽出的卡片上的数字为4”，则事件N 所包含的样本点有1个，所以P (N )＝15，因为事件M 与事件N 为互斥事件，所以P (M ＋N )＝P (M )＋P (N )＝45.故选C.8．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为( )A ．125,125B ．125.1,125C ．124.5,124D ．125,124答案 D解析 由题图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025，则这100名学生成绩的平均数为105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5，解得x ＝124.故选D.9．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下： 甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( ) A.x －甲>x －乙，s 甲>s 乙 B.x －甲>x －乙，s 甲<s 乙 C.x －甲<x －乙，s 甲>s 乙 D.x －甲<x －乙，s 甲<s 乙答案 A解析 x －甲＝110×(88＋100＋…＋92＋83)＝88.8；x －乙＝110×(93＋89＋…＋89＋86)＝85.1，s 甲＝110×[(88－88.8)2＋…＋(83－88.8)2] ＝110×501.6≈7.08， s 乙＝110×[(93－85.1)2＋…＋(86－85.1)2] ＝110×410.9≈6.41，∴x －甲>x －乙，s 甲>s 乙． 10．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a ，b ，使得lg (3a )≥lg (4b )成立的概率是( )A.13B.512C.12D.712 答案 C解析 因为lg (3a )≥lg (4b )，所以3a ≥4b .从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字，这个试验所包含的样本点有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，且这12个样本点出现的可能性相等，符合条件3a ≥4b的样本点有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率为612＝12.故选C.11．在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为710的是( )A ．恰有1件一等品B ．至少有1件一等品C ．至多有1件一等品D ．都不是一等品答案 C解析 将3件一等品编号为1,2,3，将2件二等品编号为4,5，从中任取2件所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，这10个样本点出现的可能性相等．其中恰有1件一等品所包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，故恰有1件一等品的概率为P 1＝610＝35.恰有2件一等品所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710.12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110 B.715 C.815 D.1315答案 C解析 根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，这15种结果出现的可能性相等．2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取的这2人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为________，20%分位数为________．答案 3 1解析这10人成绩的平均数为110×(5×3＋4×1＋3×2＋2×1＋1×3)＝110×(15＋4＋6＋2＋3)＝110×30＝3.因为10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为1＋12＝1.14．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)内的为一等品，在区间[15,20)或[25,30)内的为二等品，在区间[10,15)或[30,35]内的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为________．答案 0.45解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则由所有矩形面积之和为1，得(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.15．某工厂生产A ，B 两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A ，B 两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等，则xy ＝________.答案 72解析 因为x －A ＝15×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，x －B ＝15×(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )，由x －A ＝x －B ，得x ＋y ＝17.①因为s 2A ＝15×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s 2B ＝15×[4＋(8－x )2＋0.25＋0.25＋(8－y )2]，由s 2A ＝s 2B ，得x 2＋y 2＝145.②由①②可得(x ＋y )2＝145＋2xy ＝289， 解得xy ＝72.16．将一个质地匀匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是________．答案 14解析 由题意，函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ba≥2.当a 取1时，b 可取2,3,4,5,6；当a 取2时，b 可取4,5,6；当a 取3时，b 可取6，共9种．因为(a ，b )的取值共36种情况， 所以所求概率为936＝14.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？ (2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？ 解 (1)x －＝110×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51.(2)中位数为41＋442＝42.5.(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述公司每天的用水量更合适．18．(本小题满分12分)对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值(单位：分)如下：问：(1)甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课较平衡？(2)该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分和总方差分别是多少？ 解 (1)x －甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x －乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，s 2甲＝15×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，s 2乙＝15×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，因为x －甲>x －乙，s 2甲>s 2乙，所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课较平衡． (2)因为甲同学的权重w 甲＝510，乙同学的权重w 乙＝510，所以该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分x －＝510×74＋510×73＝73.5，总方差s 2＝w 甲[s 2甲＋(x －甲－x －)2]＋w 乙[s 2乙＋(x －乙－x －)2]＝510×[104＋(74－73.5)2]＋510×[56＋(73－73.5)2]＝80.25.19．(本小题满分12分)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解 (1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.故用水量在[0.5,2.5]内的频率是0.1＋0.15＋0.2＋0.25＝0.7＜0.8，在[0.5,3]内的频率是0.1＋0.15＋0.2＋0.25＋0.15＝0.85＞0.8，因为w 为整数，所以为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为3立方米． (2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．20．(本小题满分12分)每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解 (1)设事件A ＝“某人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56.(2)由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的样本空间Ω＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)}，共15个样本点，这15个样本点出现的可能性相等．设事件B ＝“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，则B ＝{(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，(c 1，c 2)}，共包含4个样本点，则P (B )＝415. 21．(本小题满分12分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．解 (1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70；乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.x －甲＝32＋34＋45＋56＋63＋706＝50， x －乙＝33＋46＋47＋51＋64＋716＝52.因为x －甲<x －乙，所以甲城市的空气质量较好．(2)由茎叶图，知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级，有4天的空气质量等级为二级，记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a ，b ，c ，d ，空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m ，n ，则从这6天中抽取2天，这个试验的样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )}，共有15个样本点，且这15个样本点出现的可能性相等．记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A ，则事件A 包含的样本点有(a ，m )，(b ，m )，(c ，m )，(d ，m )，(a ，n )，(b ，n )，(c ，n )，(d ，n )，共8个．所以P (A )＝815，即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为815. 22．(本小题满分12分)某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在一组的概率．解 (1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]的频率分别为0.04,0.08,0.5a,0.20,0.25,0.5a,0.07,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ，∴a ＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时，因为前5组频率和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，前4组频率和为0.47<0.5，所以2＜m <2.5，由0.50(m －2)＝0.5－0.47，得m ＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06.(3)由题意得，周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的人分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，抽取的2人在同一组包含的样本点有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共9个，故所求概率P＝921＝37.。
