周世勋量子力学教案
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一. 算符
算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用
表示一算符。
二.力学量算符
1.坐标的算符就是坐标本身:
2.动量算符:
, ,
3.动能算符
4.哈密顿算符:
5.角动量算符:
如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量,则表示这个力学量的算符由经典表示式中将
换成算符得出
算符和它所表示的力学量的关系?
一线性算符
满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符
保持波函数不改变的算符
三算符之和
加法交换律
加法结合律
两个线性算符之和仍为线性算符。
四算符之积
定义: 算符与的积为
注意: 一般说算符之积不满足交换律,即:这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符
设能唯一解出,则定义的逆算符为:
注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
,
六算符的复共轭,转置,厄密共轭
1.两个任意波函数与的标积
2.复共轭算符
算符的复共轭算符为:把的表示式中所有复量换成其共轭复量
3.转置算符
定义: 算符的转置算符满足:
即:
4.厄密共轭算符
算符的厄密共轭算符定义为
即
算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符
5.厄密算符
厄密算符是满足下列关系的算符
注意:两个厄密算符之和仍为厄密算符,两个厄密算符之积却不一定是厄密算符
例:证明是厄密算符
证:
为厄密算符,为厄密算符
第三节力学量算符的本征值与本征函数
一厄密算符的本征值与与本征函数
设体系处于测量力学量O,一般说,可能出现不同结果,各有一定的几率,多次测量结果的平均值趋于一确定值,每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落,定义为
如为厄密算符,也是厄密算符
存在这样一种状态,测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下
称为算符的一个本征值,为相应的本征函数。
二力学量算符的性质
1.力学量算符是厄密算符
量子力学的一个基本假定: 测量力学量时,所有可能出现的值,都是力学量算符的本征值。
厄密算符的本征值必为实数
证:设
为厄密算符
取
是实数
表示力学量的算符为厄密算符
2.力学量算符为线性算符
态叠加原理决定了力学量算符为线性算符
【证】:设
也应是体系的态
即
为线性算符
三厄密算符本征函数的性质
1正交性
厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
如果两函数和满足积分是对变量变化的全部区域进行,则称与相互正交。
[证]: 已知为实数
由厄密算符性质
这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的
对归一化的本征函数
分离谱
连续谱
这样的本征函数构成正交归一系.
2.完备性
设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为,对应的本征值为则任一函数
可按展开
本征函数的这种性质称为完备性
与x无关,利用的正交归一性,将等式两边,对x在整个区域积分
即:
如总归一化
讨论:
当是算符的一本征函数时,即即其它系数为零,这时测量力学量的测量
值必是
当不是的本征函数时, 可按本征函数展开,
测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为
波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态
量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它
们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符
的本征值之一,测得的几率是
四力学量算符的平均值.
对于一态,将其按某力学量的本征函数集展开
是归一化的
出现本征值的几率为,则按由几率求平均值的法则
上式可改写为
是归一化的[证明]
如未归一化:
如本征值是连续谱
定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数
[证明]
逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符
例1:设为厄密算符, 则
[证明]
第四节几种典型力学量算符的本征函数
一.坐标算符
即为坐标算符本征值为的本征函数。
二.动量算符
动量算符的本征值方程
,,
它们的解
如何确定归一化系数C
这是由于本征值可取任意值,动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样
的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化函数
=
取, 归一化为函数
归一化的动量本征函数为
箱归一化:
如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L,要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值
,,
同理:,,为正负整数或零。
本征值谱由分离变为连续.
加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1,归一化常数为。
归一化波函数为
三.角动量算符
,,
用球坐标表示:,,
可以看出角动量算符只与有关
1.的本征函数
,
解出