2014届高考数学一轮必备考情分析学案：4.6《正弦定理和余弦定理》

代入A＝
4

sin
π Bsin4＋C－sin
π Csin4＋B＝
2 2
利用两角和与差的三角函数公式 ―――――――――――――――→ sinB－C＝1
1 (1)S＝ ah(h表示边a上的高)； 2 1 1 1 (2)S＝ bcsin A＝ acsin B ＝ absin C ； 2 2 2
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 2
[小题能否全取]
1．(2012· 广东高考)在△ABC 中，若∠A＝60° ，∠B＝45° ， BC＝3 2，则 AC＝
2 2 2
又∵b＋c＝2 3， ∴b＝2 3－c，代入①式整理得 c2－2 3c＋3＝0，解得 c＝ 3，∴b＝ 等边三角形． 3，于是 a＝b＝c＝ 3，即△ABC 为
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主
要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通 过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形 的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函 数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π 这个结论． [注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不 要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[知识能否忆起]
一、正、余弦定理
正弦定理
a b c 内容 sin A＝sin B＝sin C
余弦定理
2 2 a2＝ b ＋c －2bccos A ；
a2＋c2－2accos B； b＝ 2 a2＋b2－2abcos C． c＝
2
正弦定理 ①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ； 变 形 形 式

第六节 正弦定理、余弦定理[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC 中，假设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，那么 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .3．内角和公式的变形(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C . 4．角平分线定理：在△ABC 中，假设AD 是角A 的平分线，如图，那么AB AC ＝BDDC.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，假设sin A ＞sin B ，那么A ＞B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，任意三个元素可求其他元素． ( )(4)当b 2＋c 2－a 2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，△ABC 为钝角三角形．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编1．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，那么b＝( )A ．2B ．1 C. 3D. 2D [由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC 中，假设a ＝18，b ＝24，A ＝45°，那么此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定B [∵b sin A ＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即b sin A ＜a ＜b . ∴此三角形有两解．]3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状为．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于． 23 [因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B ＝1，所以 B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.]考点1 利用正、余弦定理解三角形问题 解三角形的常见题型及求解方法(1)两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝csin C，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A －b sinB ＝4c sinC ，cos A ＝－14，那么bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .①求A ；②假设2a ＋b ＝2c ，求sin C . (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.应选A.](2)[解] ①由得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．[教师备选例题](2018·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .b sin A ＋a cosB ＝0，那么B ＝.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.] 2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，那么BC ＝.9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，在△ADC 中，72＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos α，①在△ABD 中，42＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos(π－α)，②①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(2019·某某模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋a ＋22－a ＋422a a ＋2，即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原那么(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．[解](1)由条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt△ACD 中，cos C ＝ACCD，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin∠DAB ＝ 3.(1)假设一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)假设三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)假设求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．[教师备选例题]△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°. (1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin∠ACB ＝33，所以sin∠ACB ＝12，∠ACB ＝30°或150°，又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝105°，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ACsin∠ADC ， 所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－150°＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝33＋12. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，那么△ABC 的面积为．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)假设△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.考点3 判断三角形的形状 判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．][母题探究]1．(变条件)本例中，假设将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． [解]∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．(变条件)本例中，假设将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，那么△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形word- 11 - / 11 C ．等边三角形 D ．钝角三角形C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c.所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以△ABC 是等边三角形．]2．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设a sin B ＋bsin A＝2c ，那么△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A sin B＋sin B sin A ≥2sin A sin B ·sin B sin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．应选C.]。

π 解析：y＝sinx－ 3cosx＝2sin(x－3)，图象向左平移 m(m>0)个单位长度后， π π π 5π 得 y＝2sin(x＋m－3)，由于图象关于 y 轴对称，∴m－3＝kπ＋2，m＝kπ＋ 6 (k∈ Z)， 5π ∴m 的最小正数为 6 ，故选 D. π 1 2π 5.若 sin(6－α)＝3，则 cos( 3 ＋2α)的值为( 1 A. 3 7 C. 9 答案：D π 1 解析：因为 sin(6－α)＝3， π 1 所以 cos(3＋α)＝3， 2π π 即 cos( 3 ＋2α)＝2cos2(3＋α)－1 1 7 ＝2×9 －1＝－9. π 1 π 6.已知 cos(α＋4)＝3，α∈(0，2)，则 cosα＝______ __. 答案： 2＋4 6 1 B. －3 7 D. －9 )
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
3 10 10 cos(α－β)＝ 10 ，sin(α－β)＝－ 10 . 4 3 又∵sin α＝5，∴cos α＝5. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 3 3 10 4 10 10 ＝ ＝5× 10 ＋5×－ . 10 10 题型三 三角函数的求角问题
Go the distance
α α α 2α cos 2－sin22sin cos α sin 2 2 α ＝ ＝ ＝tan2. α α cos2cos α cos 2cos α 题型二 三角函数式的求值
1 1 【例 2】已知 tan(α－β)＝2，tanβ＝3，且 α∈(0，π)，则 α＝________. π 答案：4 tanα－β＋tanβ 解析：∵α ＝(α－β)＋β，∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ ，∵tan(α－β) 1－tanα－βtanβ 1 1 2＋3 1 1 π ＝2，tanβ＝3，tanα＝ ＝ 1 ，又∵ α ∈ (0 ， π) ，∴ α ＝ 1 1 4. 1－2×3 π 4 1 【变式 2】 已知 α，β∈0，2，sin α＝5，tan(α－β)＝－3， 求 cos β 的值． π π π 解 ∵α，β∈0，2，∴－2＜α－β＜2， 1 π 又∵ta n(α－β)＝－3＜0，∴－2＜α－β＜0. 1 10 ∴ 2 ＝1＋tan2(α－β)＝ 9 . cos α－β

a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cosB＝ 2ac ＝ 2ac ＝－2. 2 ∵B为三角形的内角，∴B＝3π.
(2)将b＝
2 13 ，a＋c＝4，B＝ 3 π代入b2＝a2＋c2－
2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，
1 ∴13＝16－2ac1－2，
∴ac＝3. 1 3 3 ∴S△ABC＝ acsinB＝ . 2 4
整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1， 3 π 由于0＜B，C＜4π，从而B－C＝2.
3π 5π π (2)B＋C＝π－A＝ 4 ，因此B＝ 8 ，C＝8. π asinB 5π asinC 由a＝ 2 ，A＝ 4 ，得b＝ sinA ＝2sin 8 ，c＝ sinA ＝ π 1 5π π π 2sin8 ，所以△ABC的面积S＝ 2 bcsinA＝ 2sin 8 sin8 ＝ 2cos 8 π 1 sin8＝2.
考点一
利用正弦定理解三角形
[例1] c.
在△ABC中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45° .求A，C和边
a b 3 2 解析：由正弦定理得 sinA ＝ sinB ， sinA ＝ sin45° ，∴sinA 3 ＝2. ∵a＞b，∴A＝60° 或A＝120° . bsinC 当A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ sinB ＝ 6＋ 2 2 ；
正、余弦定理的综合应用
[例4]
(2012· 课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内
角A，B，C的对边，acosC＋ 3asinC－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
解析：(1)由acosC＋
3 asinC－b－c＝0及正弦定理得