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平行线的判定及性质

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平行线的判定及性质 Prepared on 22 November 2020平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.2、内错角相等, 两直线平行.3、同旁内角互补, 两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；2. 两直线平行, 内错角相等；3. 两直线平行, 同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；变式训练：1. 一个角的余角比它的的13还少20o ，则这个角为_____________。

2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=12∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。

二、“三线八角”例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角（2） 如图，下列说法错误的是（ ）A. ∠1和∠3是同位角B. ∠1∠5是同角C. ∠1和∠2是内角D. ∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有ED CB A O AB C DE F1 2 3 4 567 8 2 3 4 5 6 11 23同位角 对，内错角 对，同旁内角 。

三、平行线的判定例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ）变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o ，∴ AB ∥EF ( )例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180o, 则a ∥c 平行吗五、平行线的性质例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC 的度数。

变式训练：1．如图所示，L 1L 2，则∠1=_____．（浙江省中考题）2．（兰州·中考题） 如图所示，AB ∥CD,MN 交CD 于点E,F,GE ⊥MN 于点E ， 若∠DEG=60°，求 ∠AFE 的度数。

【名书·名校·竞赛·中考在线】1. (2009青岛市)如图，已知AB ∥CD,∠1=100o ，∠2=120o ，A BCD G1 32 C A BE D 1 a b cde1 23 4∴A BCD E F123 ABP则∠α= 。

2. （2011山东日照，）如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ）（A ）70°（B ）80°（C ）90° （D ）100°3. 如图，∠BED=∠B+∠D 则AB 与CD 有怎样的位置关系请说明理由。

（2010·培优）4. （2010武汉）如图，点P 是四边形ABCD 的边CD 上任意一动点，且∠C=∠1+∠2. 请问AD 与BC 有怎样的位置关系请说明你判断的理由。

5. （第18届北京市“迎春杯”竞赛题）已知∠A 的两条边和∠B 的两条边分别行，且∠A 比∠B 的3少20°，求 ∠B 的度数。

6 . （2008·培优）如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 三点在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE是∠DAC 的线，求证：AE ∥BC 。

平行线的判定与性质（二） （拓展训练） 【知识要点】一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：1. 由角定角已知角的关系 两直线平行 确定其它角的关系2. 由线定线已知两直线平行 角的关系 确定其它两直线平行 二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：1. 由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。

2. 执果溯因（分析法）：BC D EAA B C DP 1 2即——要得到结论需要具备什么条件。

所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。

三、简单的面积问题：1. 计算图形面积的常用方法：① 和差法 ② 运动法 ③ 等积变形法2. 求图形面积的常用技巧：寻找共用的三角形。

【典型例题】例1 (拐弯行走问题) 如图，某人从A 点出发，每前进10米，就向右转18°，再前进10米，又向右转18°，这样下去，他回到 出发地点时，一共走了________米．变式训练：1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°， 第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，则∠C = ．2． 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）．（A ）第一次向左拐70°，第二次向右拐30° （B ）第一次向右拐60°，第二次向左拐130° （C ）第一次向右拐60°，第二次向右拐130° （D ）第一次向左拐70°，第二次向左拐130°例2（翻折问题） 将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，求 ∠A 的度数．A A A 1A 2 18o18o变式训练：1. 如图，将长方形ABCD 纸片沿BD 折叠，使点C 落在C '处， BC '交AD 于点E ，若∠DBC =°，则在不添加任何辅助线的 情况下，图中4°的角有（ ）． （虚线也视为角的边）（A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个2. 如图 ①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图案②，再沿BF 折叠成图案③，则③中的∠CFE 的度数是__________。

例3．（平行线的性质和判定的应用）∠1=∠2. ∠3=∠4，∠5=∠6. 求证: AD∥BC.2．如图，已知CD∥AB ∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数．变式练习：1. 如图，AD ⊥CA 的延长线于点E ，且∠1=2. 如图，若AB ∥CD ，∠1=例5.（综合应用） BC 上的一点,CN=2BN, 连接OMBN 的面积为14cm 2.求：（1）CO:OM 的值。

积(2008年两岸四地少年数学精英邀请赛试题)变式训练：如图,已知⊿ABC 的面积是60，BE:CE=3:1，AD:CD=3:1，DBC ① AB C DEF BC DEA C '求四边形ECDF 的面积。

（“华赛杯”试题）【名书·名校·竞赛·中考在线】1．(2007 福州、)如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）（1）当动点P落在第①部分时，试说明：∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明．思考题：1. 已知O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l 1、l2、l3、…l2005，则可形成对以O为顶点的对顶角。

（山东省竞赛题）2.若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。

（第17届江苏省竞赛题）3. 在同一平面内有2002条直线a1、a2、…、a2002，如果a1⊥a2, a2∥a3、a 3⊥a4、a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是。

A BCDEF。

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平行线的判定定理和公理

平行线的判定定理和公理

平行线的判定定理和公理平行线的判定定理和公理平行线在几何学中非常重要，因为它对于正常的几何学、计算机图形学和其他相关领域都有重要的应用。

平行线的判定定理和公理是我们在几何学中学习平行线性质的基础知识。

本文将对平行线的判定定理和公理进行详细介绍，使读者对平行线的理解更加深入。

1.平行线的定义和性质在平面上给定一直线l和一点A，如果不过A的任意一条直线与l相交时，交点 angles 都等于90度，那么我们称直线l与A平行，并表示为l || A。

这是平行线的定义。

平行线的性质包括：(1) 平面上任意两条直线，要么相交成交角不为90度的两条直线，要么平行；(2) 如果一条直线与一组平行线相交，那么相交角相等；(3) 平面上有一条直线与平行于它的一组直线相交，那么两条直线被这组平行线所分成的对应角相等。

平行线的定义和性质是评估平行线的判定定理和公理的关键。

2. 平行线的判定定理平行线的判定定理有三种形式：点斜式判定、截距式判定和两线夹角判定。

点斜式判定：如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么m 是l的斜率。

在平面上的一个点(x1, y1)，如果有一直线斜率为m，那么直线的点斜式的方程是：y-y1=m(x-x1)如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么它们垂直的方向相同，即斜率m相同。

这意味着直线的点斜式方程中的m 值必须等于y = mx+n的方程中m的值。

因此，点斜式判定定理可以表示为：若直线l与曲线y=mx+n平行，则l的斜率m=n。

截距式判定：如果直线l与直线y=mx+b平行，那么b 是l的截距。

对于一个斜率为m的直线和一个截距为b的直线，它们可以表示为：y=mx+b当这两个直线平行时，它们将有相同的斜率，因此它们的截距也必须相等。

换句话说，如果直线l与直线y=mx+b平行，则l的截距b=mx0+ b,其中(x0, y0)是直线l 的一个点。

两线夹角判定：如果两条直线l1，l2与第三条直线l3垂直，那么l1，l2互相平行。

平行线的判定及性质 例题及练习

平行线的判定及性质 例题及练习

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

初中数学 平行线的判定定理有哪些

初中数学 平行线的判定定理有哪些

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质平行线，是在同一个平面上永不相交的两条直线。

在几何学中，判定两条直线是否平行，以及研究平行线的性质，是非常重要的内容。

本文将探讨平行线的判定方法，以及它们所具有的一些基本性质。

一、平行线的判定方法1. 直线的斜率判定法两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相同。

设直线L₁的斜率为k₁，直线L₂的斜率为k₂，那么如果k₁ = k₂，则L₁与L₂平行。

这是平行线的一种常见判定方法。

2. 直线的倾斜角度判定法两条直线平行的充分必要条件是它们的倾斜角度相同。

倾斜角度可以通过斜率来计算，利用三角函数的关系：倾斜角度θ = arctan(k)。

如果直线L₁与L₂的倾斜角度相同，则L₁与L₂平行。

3. 直线的法线判定法两条直线平行的充分必要条件是它们的法线平行。

设直线L₁的法线为n₁，直线L₂的法线为n₂，如果n₁平行于n₂，则L₁与L₂平行。

二、平行线的性质1. 备注①平行线的性质可由平行线公理推导得出，其中平行线公理也是几何学中最基本的公理之一。

②平行线的性质通常用于证明几何定理和解决相关问题。

2. 性质一：平行线与转角平行线与转角的关系是，当有一直线与一条平行线相交时，与原直线所形成的内部和外部转角也分别与另一条直线所形成的内部和外部转角相等。

这是利用平行线特性可以推导出的一个重要性质。

3. 性质二：平行线与等角平行线与等角的关系是，当两条直线被一条截线所分割，并且所形成的对应角相等时，这两条直线是平行的。

这一性质在解题过程中经常被用来判定两条直线是否平行。

4. 性质三：平行线与比例平行线与比例的关系是，当两条直线被一条截线所分割，并且截线上的两点与原两直线上的对应点之间成比例时，这两条直线是平行的。

这一性质在几何图形的相似性质证明中经常使用。

5. 性质四：平行线与平行四边形平行线与平行四边形的关系是，平行线切割同一组平行线所形成的四边形是平行四边形。

平行四边形的性质有：对角线相等、对边互补、内角和为180度等。