新课标——回归教材
不等式
典例:1)对于实数,,a b c 中,给出下列命题:①22a b ac bc >⇒>;②22ac bc a b >⇒>;
③220a b a ab b <<⇒>>;④110a b a b <<⇒<;⑤0b a
a b a b <<⇒>; ⑥0||||a b a b <<⇒>;⑦0a b c a b c a c b >>>⇒>
--;⑧11
,0,0a b a b a b
>>⇒><. 其中正确的命题是 ②③⑥⑦⑧ .
2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是[1,7];
3)已知a b c >>,且0,a b c ++=则
c a 的取值范围是1(2,)2
--. 2、不等式大小比较的常用方法:
(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;
(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)设01,0a a t >≠>且,比较11
log log 22
a a
t t +和的大小
答案:①当1a >时,11
log log 22a a t t +≤ (在1t =时取“=”);
②当01a <<时,11
log log 22
a a t t +≥(在1t =时取“=”);
2)已知0,1a a >≠,试比较3
2
11,a a p a q a ++==的大小.( 答:p q >)
3)设2a >,1
2
p a a =+-,2422a a q -+-=,试比较,p q 的大小(答:p q >);
4)比较1+log 3x 与2log 2(01)x x x >≠且的大小.
答:当01x <<或4
3
x >时,1+log 3x ＞2log 2x ;
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当413x <<
时,1+log 3x ＜2log 2x ;当4
3
x =时,1+log 3x ＝2log 2x 5)若,,a b c R +∈,且0.50.522log ,(0.5)log ,(0.5)log a b
c a b c ===,比较,,a b c 的大小.(答:c b a >>) 3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”. 典例:1)下列命题中正确的是( B )
A.1y x x =+的最小值是2
B.4
23(0)y x x x =-->
的最大值是2-
C.2
y =的最小值是2 D.4
23(0)y x x x =-->
的最小值是2-
2)若21x y +=,则24x y +
的最小值是3)已知,x y R +∈,且1x y +=,则82
x y
+的最小值为18; 变式①:已知01x <<,则
82
1x x +
-的最小值为 18 ; ②:已知,x y R +∈,且41
9x y
+=,则x y +的最大值为 1 ;
③:已知,x y R +∈,且4xy x y =+,则x y +的最小值为 9 ;
4.常用不等式有
2
112a b a b
+≥≥≥+(,,a b R +∈当a b =时取=号)
(2)2
2
2
()2(,,2
a b a b ab a b R ++≥≥∈当a b =时取=号)
上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.
(3)真分数性质定理:若0,0a b m >>>,则
b b m
a a m
+<
+(糖水的浓度问题). 典例:若,a b R +∈,满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是[)9,+∞.
5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法.
比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.)
常用的放缩技巧有:21111111
1(1)(1)1n n n n n n n n n
-
=<<=-++--(右边当2n ≥时成立)
=
<
<
=典例:1)已知a b c >>,求证:222222a b b c c a ab bc ca ++>++ ; 2)已知,,a b c R ∈,求证:222222()a b b c c a abc a b c ++≥++;
3)已知,,,a b x y R +∈,且11
,x y a b
>>,求证:x y x a y b >++; 4)若,,a b c 是不全相等的正数,求证:lg lg lg lg lg lg 222
a b b c c a
a b c +++++>++;
5)若*n N ∈,求证
(1)n +
<
n ;
6)求证:2221111223n
+
+++<. 6.常系数一元二次不等式的解法:判别式－图象法 步骤:(1)化一般形式:20(0)ax bx c ++≥<,其中0a >;
(2)求根的情况:200(0,0)ax bx c ++=−−−−−
→∆>=<能否因式分解
; (3)由图写解集:考虑2(0)y ax bx c a =++>图象得解.
典例:解不等式2620x x --+≤.(答:21
,)32
x ∈(-∞,-]⋃[+)
注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).
典例:若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|,}(0)x x m x n n m ><<<或,解关于x 的不等式20cx bx a -+>.(答:11
{|,}x x x n m
<->-或)
7.简单的一元高次不等式的解法:标根法:
其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回); (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集.
典例:1)解不等式2(1)(2)0x x -+≥.(答:{|1x x ≥或2}x =-);
2)不等式(0x -的解集是{|3,1}x x x ≥=-或;
3)设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<,()0g x ≥的解集为∅,则不等式()()0f x g x ⋅>的解集为(,1)[2,)-∞+∞;
4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式
2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是81[7,
)8
. 8.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母. 典例:1)解不等式
25123
x
x x -<---(答:(1,1)(2,3)-);
2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞,则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解集为(,1)(2,)-∞-+∞.
注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.
9.绝对值不等式的解法:(了解)
(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)
典例:解不等式31
|2|2||42
x x -
≥-+;(答:x R ∈); (3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;
