二次函数与几何综合（讲义）➢课前预习
1.如图，直线y =1
x +1 经过点A(1，m)，B(4，n)，点C 的坐2
标为(2，5)，则△ABC 的面积为．
提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补．
具体操作：
①过点C 作CD∥y 轴，交AB 于点D；
②借助C，D 坐标求解CD 长；
③以CD 为底，则A，B 两点间的水平距离为高，即
S
△A BC =S
△ADC
+S
△DBC
=
1
⋅CD ⋅ (x
2 B
-x
A
) ．
1
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-3
x + 3与x 轴，4
y 轴分别交于点A，B，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O，A，D，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为．
提示：
（1）分析定点（A，O），动点（D，E），属于两定两动的平行四边形存在性问题．
（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标．
（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．
➢知识点睛
1.“函数与几何综合”问题的处理原则：，
．
2.研究背景图形：
①研究函数表达式．二次函数关注，一次函数
关注．
②．找特殊图形、特殊位置关
系，寻求边长和角度信息．
3.二次函数之面积问题的常见模型
①割补法——铅垂法求面积：
S
△A PB =
1
⋅PM ⋅ (x
2 B
-x
A
) S
△A PB
=
1
⋅PM ⋅ (x
2 B
-x
A
)
②转化法——借助平行线转化：
若S
△ABP
=S△ABQ，若S△ABP=S△ABQ，
当P，Q 在AB 同侧时，当P，Q 在AB 异侧时，PQ∥AB．AB 平分PQ．
➢精讲精练
1.如图，抛物线y=-x2+2x+3 经过A，B，C 三点．点M 是直线
BC 上方抛物线上的点（不与B，C 重合），过点M 作MN∥y 轴交线段BC 于点N，连接MB，MC．
（1）若设点M 的横坐标为m，四边形OBMC 的面积为S，则S 与m 的函数关系式为．
（2）四边形OBMC 的最大面积为，此时点M 的坐标为．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3 经过A，B，
C 三点，点
D 的坐标为(0，1)，直线AD 与抛物线交于另一点
E．
（1）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，则△AME
面积的最大值为．
（2）在直线AD 下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG=6 时，点G 的坐标为．
3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x 轴交于A，B 两
点，点A 在点B 的右侧，且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）若点M 在抛物线上，且以点M，A，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，设M 的横坐标为m，求m 的值．
4.如图，已知二次函数y=x2-3x-4 的图象与x 轴交于点A，B，
且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当
△ACD 的面积为27
时，点 D 关于l 的对称点为E，求点 E 8
的坐标．
（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l 上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
5.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC 的三个顶点，
已知BC∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D 在抛物线对称轴上，点E 在抛物线上，且以A，B，D，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；
（3）已知点F 是抛物线上的动点，点G 是直线y=-x 上的动点，且以O，C，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，求点
G 的横坐标．
【参考答案】
➢ 课前预习
1.
9 2
12 6 2. D 1 ( 5 ， ) ， D 2
( 28，- 6)
5 5 ➢ 知识点睛
1. 利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转
2. ①四点一线；k ，b
②坐标转线段长
➢ 精讲精练
5
