奥数：方阵问题
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教学内容 : 第十一讲方阵问题
在日常生活中 , 我们经常见到把人或物排成正方形的形状 , 比如用 花盆摆成正方形 ,同学们要参加运动会入场式 ,要进行队列操练 , 解 放军排着整齐的方队接受检阅等 , 无论是训练或接受检阅 , 都要按 一定的规则排成一定的队形 , 于是就产生了这一类的数学问题 ,在 数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。 掌握这类问题的 解题规律 , 可以提高我们的解题能力 ,培养思维的灵活性。 今天我们 将共同研究和分析这类问题。
士兵排队 , 横着排叫行 , 竖着排叫列 , 若行数与列数都相等 , 恰好排 成一个正方形 , 这就是一个方队 , 这种方队也叫做方阵 （亦叫乘方问
题）。在摆放的方阵中如果是实心的 ,我们叫它中实方阵 ; 如果这个
方阵是空心的 , 我们叫它中空方阵。
观察中实方阵 , 我们不难发现方阵的基本特点 : ①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。
② 去掉横竖各一排时 , 有且只有 1 个物体是同时属于被减去的一行 和一列。
③ 如果把最外圈形成的正方形叫第一层 , 再向里一圈叫第二层的话 会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为 2, 相邻两层相差总个 数为 8。
④ 每边人 （或物）数和四周人 （或物 ）数的关系
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1] x 4
每边人（或物）数=四周人（或物）数* 4+1
⑤ 中实方阵的总人数（或物）=每边人（或物）数X每边人（或物）
数
观察中空方阵 , 我们不难发现方阵的基本特点 :
中空方阵的总人 （或物）数=（最外层每边人 （或物）数-中空方阵的层
数）X中空方阵的层数X 4
下面我们就利用以上特点进
例 1 参加军训的学生进行队列表演 , 他们排成了一个七行七列的 正方形队列 ,如果去掉一行一列 , 请问:要去掉多少名学生 ?还剩下 多少名学生 ?
分析与解答 :如上图表示的是一个 4行 4列的实心正方形队列 ,从图 中可以看出正方形队列的特点 :
（1） 正方形队列每行、每列的人数相等 ，因此总人数=每行人数X每
列人数。
（2） 去掉横竖各一排时 , 有且只有 1 人是同时属于被减去的一行和 一列的 , 如图中点 A 所示。
因此去掉的总人数 二原每行人数X 2-1,或去掉的总人数=减少后每 行人数X 2+1。
本题中所求 , 即去掉的人数 =7X 2-1=13（人）
或去掉的人数=（7-1） X 2+1=13（人）
还剩的人数 =（7-1） X （7-1）=36（人）
或还剩的人数 =7X 7-13=49-13=36（人）
答:如果去掉一行一列 , 要去掉 13 名学生 , 还剩下 36 名学生。
例 2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵 , 最外层每边摆 6 枚 , 请 问 :
要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子 ? 最外一层的棋
子总数是多少 ?
分析与解答 : 如图 , 最外一层每边摆 6 枚 , 根据方阵每行每列个数相
等特点，因此一共有6X 6=36枚棋子。
最外一层每边有6枚,如果用6 X 4=24枚,就认为是最外一层棋子数 的答案的话 , 那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列 , 这样棋子在计算总 数时就被多数了一次 , 这样的顶点一共有 4 个, 需要把多数的减去 , 才能得到正确的结果。列式是 6X 4-4=20 枚。
说明:这道题还可以这样想 :数每边棋子时 , 可以按上图先划分成 4 个相等的块 , 这样每边就有 5枚了, 因此用 5X 4=20枚, 也可以得到 正确答案。
按照划分块的方法不同 , 至少还有两种方法 , 请同学们试 一试。
例 3 有一队士兵排成一个中实方阵 , 最外一层有 100 人, 请问: 方 阵中一共有士兵多少人 ?
分析与解答 : 要想求出方阵中一共有多少士兵 , 就应先求出方阵的
最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有 100人,用100 + 4=25 人, 每边是不是 25人呢?不是的, 因为平均分成 4份后, 还需要再加 上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100-4+1=26人。因此方 阵中一共有 26X
26=676 人。
答:一共有 676 人。
说明 : 这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时 , 不要认为和 “知道
了正方形周长 , 求边长”一样 , 还必须要加上 1。 例 4 若干名同学排成中实方阵则多 12人, 若要将这个方阵改摆成 纵横两个方向各增加 1人的方阵则还差 9人排满 ,请问:原有学生多 少人?
分析与解 :由于纵横两个方向各增加 1人,因此不但将剩余 12 人摆
上,而且还差 9 人,说明一横行与一竖行的人数总和是 12+9=21 人。
又由于纵横两个方向各增加 1人, 因此只有 1人同属于横行与纵行 , 在数每边上的人数时 ,总被多数一次 ,因此可以用 21 人先加上被重 复数过的1人，再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1) - 2=11 人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11 X 11=121 人, 用 121 人减去差的 9人就是原来人数 , 列式为 121-9=112 人。也 可以根据原来的方阵再加上 12, 请你试一试。
答:原有学生 112 人。
前四个例题涉及的都是实心方阵问题。 下面我们来研究中空方阵问 题。
例 5 游行队伍中 , 手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每 边三层的方阵 , 最外边一层每边 12 人, 请问:彩车周围的少先队员 共有多少人 ?
分析与解答 1 :请同学们自己画一个图 , 下图是一个三层中空方阵的 示意图 , 不难发现 , 有如下特点 :
(1) 外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多 2;
（2） 每相邻两层之间 , 点的总数相差 8 个。
最外层队员的总数：12X 4-4=44（人）
三层共有队员的总数：44+（44- 8） +（44- 8X 2）
=44+36+28=108（ 人）
分析与解答 2： 如下图可分成相等的四部分 , 每一部分的人数 ：
（12-3） X 3=9 X 3=27（人）
三层共有队员数：27X 4=108（人）
答： 彩车周围的少先队员共有 108 人。
这个问题还有别的解法 , 请同学们自己试着做一下。
例 6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵 , 一共用了 200 枚棋子 , 请问 ： 最外边一层每边有多少枚棋子 ?
分析与解答 1： 利用“相邻两层之间 , 每层的总数相差 8”的特点 , 可知最外层共有棋子数 ：
（200+8+8 X 2+8 X 3+8 X 4） - 5=56（个）
最外层每边的棋子数：56 + 4+1 = 15（个）
分析与解答 2： 如例 5 的图, 把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数：200 + 4=50（个）
每一部分每排的棋子数：50- 5=10（个）
最外层每边的棋子数 ： 10+5=15（个）
综合列式为：200 + 4 -5+5=15（个）
答： 最外边一层每边有 15枚棋子。
阅读材料
牛顿是英国一位伟大的数学家和科学家 ，他是个早产儿，从小就体
弱多病，不能像同年龄的孩子在外面跑跑跳跳。只能躲在室内。不 过,聪明的他却有一套玩耍的方法 ；他制造了一种利用老鼠磨面粉
的机械玩具水车，把小麦磨成雪白的面粉，还做了有灯光的风筝吓 唬村
民。牛顿最有名的一段小故事，就是因为苹果落下，而发现万有 引力，为什么苹果会落下？小朋友你想过这个问题吗 ？这是因为地心 引力，所以有重量，苹果才落下。喔..牛顿很喜欢想问题，也喜欢看 书,最后成为伟大的科学家和数学家哩 '
练习题
1. 实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演 ，由
于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，请问：四年 级原来准备多少人参加表演 ？
分析与解答：此题刚好是例1的逆向思考问题。根据正方形队列的 特点，可知原每行人数=（去掉一行一列的人数+1） + 2
即:原来每行人数:（27+1） + 2=14（人）
原来准备参加表演的人数：14X 14=196（人）
答:四年级原准备196人参加表演。
2. 一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多 少人？
分析与解答1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6 的结论：
去掉一行一列的总人数=原每行人数X 2-1
反复利用 4次这个公式 ,只要注意“原每行人数” 的变化 ,即可列式 为:
去掉 4行 4 列的总人数=20 X 2-1+(20-1) X 2- 1+(20-2) X 2-1+(20-3)
X 2-1
=40-1=38-1+36-1+34-1
=144( 人)
分析与解答 2:我们还可以这样想 : 原来是一个 7 行 7列的方阵 , 若 去掉
4行 4列后,仍剩下一个小正方形方阵 ,因此去掉 4行 4列的总 人数 =原正方形方阵每边人数 -4, 即去掉的总人数
=20X 20-( 20-4) X (20- 4)
=400-256
=144( 人)
答:去掉 4行 4 列,要减少 144人。
3. 正方形舞厅四周均匀的装彩灯 , 如果四个角都装一盏且每边装 12 盏, 那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏 ?
分析与解 1 :自己画图可以看出 ,角上的四盏灯各属于两行 ,所以彩
灯总数应为 : 12X 4-4=44(盏)
分析与解 2:还可以把彩灯分成相等的四部分 , 因此彩灯总数
为:( 12-1)X 4=44(盏)
答:这个舞厅四周共装彩灯 44盏。
4. “六一”儿童节前夕 ,在校园雕塑的周围 ,用 204 盆鲜花围成了一 个每边三层的方阵 , 请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆 ?
分析与解答：分析思路参见例6,最外层每边人数=总数+ 4 +层数+ 层数
204 + 4-3+3=20(盆)
答： 最外面一层每边有鲜花 20盆
5. 四年级一班参加运动会入场式 , 排成一个方阵 , 最外层一周的人 数为
