comsol中脉冲函数产生方法

保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。

描述名称值双精度浮点数、机器精度eps2-52(~2.2204·10-16)虚数单位i，j i，sqrt(-1)无穷大，∞Inf，inf一个大于能被计算机处理的值非数字值NaN,nan未定义或者不能表示出来到值如0/0或者inf/infπpi 3.141592653589793描述名称值重力加速度g_const9.80665[m/s^2]阿伏伽德罗常数N_A_const 6.02214129e23[1/mol]玻耳兹曼常量k_B_const1.3806488e-23[J/K]真空特性阻抗Z0_const376.73031346177066[ohm]电子质量me_const9.10938291e-31[kg]元电荷e_const 1.602176565e-19[C]法拉第常数F_const96485.3365[C/mol]精细结构常数alpha_const7.2973525698e-3万有引力常数G_const 6.67384e-11[m^3/(kg*s^2)]标准状态下想气体体积V_m_const 2.2413968e-2[m^3/mol]中子质量mn_const 1.674927351e-27[kg]真空磁导率mu0_const4*pi*1e-7[H/m]真空介电常数epsilon0_const8.854187817000001e-12[F/m]普朗克常数h_const 6.62606957e-34[J*s]普朗克常数/2πhbar_const 1.05457172533629e-34[J*s]质子质量mp_const 1.672621777e-27[kg]真空中的光速c_const299792458[m/s]斯忒藩—玻耳兹曼常数sigma_const 5.670373e-8[W/(m^2*K^4)]通用气体常数R_const8.3144621[J/(mol*K)]维恩位移定律常数b_const 2.8977721e-3[m*K]参数化几何尺寸参数化网格元素大小参数扫描变量，主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。

用的COMSOL操作符和数学函数算符d(f,x)f对x方向的微分1.使用d算符来计算一个变量对另一个变量的导数，如：d(T,x)指变量T对x求导,而d(u^2,u)=2*u等；2.如果模型中含有任何独立变量，建模中使用d算符会使模型变为非线性；3.在解的后处理上使用d算符，可以使用一些预置的变量，如：uxx,d(ux,x),d(d(u,x),x)都是等效的；4. pd算符与d算符类似，但对独立变量不使用链式法则；5. d(E,TIME)求解表达式E的时间导数；6. dtang算符可以计算表达式在边界上的切向微分（d算符无法计算），在求解域上使用dtang等价于d，dtang只求解对坐标变量的微分，但需要注意的是并不是所有的量都有切向微分。

pd(f,x)f对x方向的微分pd和d的区别：d(u+x,x)=ux+1，d(u,t)=ut，u和x,t等有关pd(u+x,x)=1，pd(u,t)=0，u是独立的和x,t无关dtang(f,x)边界上f对x的切向微分在边界上d(u,x)不能定义，但是可以使用dtang(u,x)，dtang付出基本的微分法则，如乘积法则和链式法则，但是需要指出的是，dtang(x,x)不一定等于1。

test(expr)试函数用于方程弱形式的算符，test(F(u,∇u))等价于：var(expr,fieldname1,变异算子fieldname2, ...)用于弱形式，它和test算符功能相同，但是仅用于某些特定的场中；如var(F(u,∇u, v,∇v),a)，变量u是a场的变量，而v不是。

试函数之只作用于变量u。

nojac(expr)对Jacobian矩阵没有贡献将表达式排除在Jacobian计算外，这对那些对Jacobian贡献不大，但是计算消耗很大的变量是否有效；k-e 湍流模型就是利用nojac算符来提高计算性能的例子。

up(expr)上邻近估算表达式up，down，mean算符只能用在边界上，对于一个表达式或变量在边界处两边不连续，COMSOL通常显示边界的平均值，使用up，down可计算某个方向上的值。

保存函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。

内置的物理常数参数有以下用途：参数化几何尺寸参数化网格元素大小参数扫描变量，主要有两种类型变量：内部保存变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。

有一组有趣的变量，即空间坐标变量和因变量，这些基于空间维度和所选物理场的变量有默认的名称，comsol会创立一张变量表来表示这些变量。

内置变量用户定义和自动消费的变量T表示在2D空间维度时的温度，按时间传热的模型。

x、y是空间坐标的名称。

所以可以消费以下变量：Tx,Ty,Txx,Txy,Tyx,Tyy,Tt,Txt,Tyt,Txxt,Txyt,Tyxt,Tyyt,Ttt,Txtt,Tytt,Txxtt,Txytt,Tyxtt,Tyytt。

其中Tx是T对x的导数，Ttt是T对t的二阶导数。

假设空间坐标有其他的名字，同理置换相应变量。

内置数学函数下面的函数不能用于表达式定义参数：acosh,acoth,acsch,asech,asinh,atanh,besselj,bessely,besseli, besselk,erf,gamma,和psi。

内置操作函数：这些内置的函数不同于内置的数学函数，详细见用户指南。

用户定义消费的函数：表达式：参数一个参数表达式可以包含:数字、参数、常量、函数,一元、二元操作符。

参数可以有单位。

变量个变量表达式可以包含:数字、参数、常量、变量、函数的变量表达式,一元、二元操作符。

变量可以有单位。

函数一个函数定义可以包含:输入参数、数字参数,=常数、函数的参数表达式包括输入参数,一元和二元操作符。

x−a 2 −∞
2
∞
ξ−x
x ) d ξ = f ( x ) ∗ rect ( ) a a
计算这个卷积: 计算这个卷积
x g ( x) = f ( x) ∗ rect = ∫ f (ξ )dξ a x−a
2 2
x+a
x+a
=
∫
x−
sin[2πf 0 ( x + a )] − sin[ 2πf 0 ( x − a )] 2 2 [2 + cos(2πf 0ξ )]dξ = 2a + 2πf 0 a
2 2
cos(2πf 0 x) sin(πf 0 a) = 2a + = a[2 + sin c( f 0 a) cos(2πf 0 x)] πf 0
讨论这个结果
f(x)=2+cos(2πf0x)
卷积过程的两个效应
• 展宽 • 平滑化：被积函 数经过卷积运算， 其微细结构在一 定程度上被消除， 函数本身的起伏 变得平缓圆滑。
f ( x) = 0 1 h (x ) = 2 0 (其它） (0 < x < 1) (其它）
卷积过程图示（2）
卷积
a
概念的引入： 概念的引入：
回到前面的例题
f (ξ )
x
1/f0
ξ
探测器输出的光功率分布:
x+a
g ( x) =
∫ f (ξ ) d ξ = ∫ f (ξ ) rect (
§0-3 卷积 convolution
四、性质
1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Property [v(x) + w(x)] * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 推论:卷积是线性运算 Linearity

保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。

描述名称值双精度浮点数、机器精度eps2-52(~2.2204·10-16)虚数单位i，j i，sqrt(-1)无穷大，∞Inf，inf一个大于能被计算机处理的值非数字值NaN,nan未定义或者不能表示出来到值如0/0或者inf/infπpi 3.141592653589793描述名称值重力加速度g_const9.80665[m/s^2]阿伏伽德罗常数N_A_const 6.02214129e23[1/mol]玻耳兹曼常量k_B_const1.3806488e-23[J/K]真空特性阻抗Z0_const376.73031346177066[ohm]电子质量me_const9.10938291e-31[kg]元电荷e_const 1.602176565e-19[C]法拉第常数F_const96485.3365[C/mol]精细结构常数alpha_const7.2973525698e-3万有引力常数G_const 6.67384e-11[m^3/(kg*s^2)]标准状态下想气体体积V_m_const 2.2413968e-2[m^3/mol]中子质量mn_const 1.674927351e-27[kg]真空磁导率mu0_const4*pi*1e-7[H/m]真空介电常数epsilon0_const8.854187817000001e-12[F/m]普朗克常数h_const 6.62606957e-34[J*s]普朗克常数/2πhbar_const 1.05457172533629e-34[J*s]质子质量mp_const 1.672621777e-27[kg]真空中的光速c_const299792458[m/s]斯忒藩—玻耳兹曼常数sigma_const 5.670373e-8[W/(m^2*K^4)]通用气体常数R_const8.3144621[J/(mol*K)]维恩位移定律常数b_const 2.8977721e-3[m*K]参数化几何尺寸参数化网格元素大小参数扫描变量，主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。

csch(x)
eps
Floating point relative accuracy
eps
erf
Error function
erf(x)
exp
Exponential
exp(x)
floor
Round down to nearest integer
floor(x)
gamma
Gamma function
gamma(x)
Inverse hyperbolic cosine (in radians)
acosh(x)
acot
Inverse cotangent (in radians)
acot(x)
acoth
Inverse hyperbolic cotangent (in radians)
acoth(x)
acsc
Inverse cosecant (in radians)
MathematicalFunctions
Table 3-4:MathematicalFunctions
Function
Description
Syntax example
abs
Absolute value
abs(x)
acos
Inverse cosine (in radians)
acos(x)
acosh
bessely(a,x)
besseli
Modified Bessel function of the first kind
besseli(a,x)
besselk
Modified Bessel function of the second kind
besselk(a,x)

原文地址：COMSOL-RF模块高频电磁场分析中的波源定义作者：COMSOL中国在高频电磁场计算中，波源设定是一类常见问题。

在光学领域，电磁波源类型很多，比如各种激光器（连续的脉冲的，直接出射的，波导输出的，Gaussian/Bessel/Flat-top/Lorentz等等），荧光分子在外加激光照射下发光；微波领域中的天线，矩形波导出射波源之类。

当计算一束已知的高斯光束照射到散射体上的电磁场分布时，光束既可以用背景场定义在计算域内，也可以定义在边界上。

分子荧光，天线等有时能够简化为点辐射的情况，可通过点源定义。

此外，可通过边电流定义边界辐射源。

•电场还是磁场？根据Maxwell方程，电场与磁场之间满足法拉第定律，定义电场时磁场便确定下来，所以这里我们只考虑电场的定义。

•表达式自定义？无论定义哪一种源，都无外乎把源的模值，或是矢量的各个分量写成表达式或函数，这一点与其他物理量一致。

定义方法请参考“COMSOL_Multiphysics函数定义用户指南”。

•是否要加时间项？电磁场求解研究类型分为频域和时域，两者的波源设定不同。

频域计算时，默认所有矢量场值，包括电场、磁场、电流都以相同频率随时间简谐变化。

因此，场值均是以空间为变量，不包含时间部分，而在时域计算时，光源定义需要给出时间部分的表达式。

以一个单频边界电场源为例，频域中定义E(x,y,z)，时域定义是E(x,y,z)*exp(i*omega*t)，其中omega是简谐变化的角频率。

我们将电场源定义分为空间和时间分别讨论：1.空间部分a.点源：点偶极子（Electric point dipole）/简化磁流源（Magnetic current），下图中画出了两种点源附近的电场矢量方向图，可从分布判断选择哪一种定义。

点偶极子（Electric point dipole）磁流（Magnetic current）b.边界源：边界电流、电场、磁流易于理解，此处略。

COMSOL操作符和数学函数用的COMSOL 操作符和数学函数算符d(f,x)f 对x 方向的微分1. 使用d 算符来计算一个变量对另一个变量的导数，如：d(T,x)指变量T 对x 求导,而d(u^2,u)=2*u 等；2. 如果模型中含有任何独立变量，建模中使用d 算符会使模型变为非线性；3. 在解的后处理上使用d 算符，可以使用一些预置的变量，如：uxx,d(ux,x),d(d(u,x),x)都是等效的；4. pd 算符与d 算符类似，但对独立变量不使用链式法则；5. d(E,TIME)求解表达式E 的时间导数；6. dtang 算符可以计算表达式在边界上的切向微分（d 算符无法计算），在求解域上使用dtang 等价于d ，dtang 只求解对坐标变量的微分，但需要注意的是并不是所有的量都有切向微分。

pd(f,x)f 对x 方向的微分pd 和d 的区别：d(u+x,x)=ux+1，d(u,t)=ut ，u 和x,t 等有关pd(u+x,x)=1，pd(u,t)=0，u 是独立的和x,t 无关dtang(f,x)边界上f 对x 的切向微分在边界上d(u,x)不能定义，但是可以使用dtang(u,x)，dtang 付出基本的微分法则，如乘积法则和链式法则，但是需要指出的是，dtang(x,x)不一定等于1。

test(expr)试函数用于方程弱形式的算符，test(F(u,?u))等价于：var(expr,fieldname1,变异算子、管路敷设技术通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。

在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。

管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。

线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。

Comsol 内置表达式：参数、变量、函数
表达式：
参数
一个参数表达式可以包含:数字、参数、常量、函数,一元、二元操作符。

参数可以有单位。

变量
个变量表达式可以包含:数字、参数、常量、变量、函数的变量表达式,一元、二元操作符。

变量可以有单位。

函数
一个函数定义可以包含:输入参数、数字参数,=常数、函数的参数表达式包括输入参数,一元和二元操作符。

注：保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。

内置的物理常数
数扫描。

变量：主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。

有一组有趣的变量，即空间坐标变量和因变量，这些基于空间维度和所选物理场的变量有默认的名称，comsol会创建一张变量表来表示这些变量。

间坐标的名称。

所以可以生产下列变量：Tx、Ty、Txx、Txy Tyx、Tyy、Tt、Txt、Tyt、Txxt、Txyt、Tyxt、Tyyt、Ttt、Txtt、Tytt、Txxtt、Txytt、Tyxtt、Tyytt.其中Tx是T对x的导数，Ttt 是T对t的二阶导数，如果空间坐标系有其他的名字，同理置换相应变量。

acosh,acoth,acsch,asech,asinh,atanh,besselj,bessely,besseli,besselk, erf,gamma,和psi。

内置操作函数：。

α+β=0.5时结果
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
α+β=0.5时波形传播
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
稳态问题——系数c
稳态：
u 0 t 2u 0 2 t
仿 真 智 领 创 新
如果当热积聚到一定程度会发生破坏，例如: 生物加热
dP u P(x ,y ,z ) u(x ,y ,z ) dt dt t
需要形象的显示出P变量的分布. 假设破坏发生在P>20处.
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
在P>20 的区域发生破坏
边界条件2
边界吸收：
边界源项：
约束力项：
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边界书写规范
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
边界的时间微分
边界上的时间微分，可以利用源项g项添加：
设为 g 项
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约束
双向约束
单向约束
仿 真 智 领 创 新
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弱形式书写方式1
通式形式的弱形式：
u da F t


dav
u dA v dA vFdA t
dav
u dA v n ds v dA vFdA t
file: Transient_Diffusion_with_ODE.mph

python 脉冲函数标题：探究Python 中的脉冲函数及其应用导言脉冲函数在信号处理和其他领域中经常被用来描述短暂且有限的信号。

在Python 中，我们可以使用一些库来生成和处理脉冲函数，例如NumPy 和SciPy。

本文将详细介绍什么是脉冲函数及其特性，并展示如何使用Python 来生成、操作和应用脉冲函数。

第一部分：了解脉冲函数1.1 简述脉冲函数的定义脉冲函数是一种理想化的函数，它的数学定义是在时间间隔内有一个短暂的扰动，并且在其他时间段内值为零。

在大多数情况下，我们将脉冲函数表示为矩形脉冲，即在时间间隔内的值为常数，而在其他时间段内为零。

1.2 脉冲函数的数学表达方式脉冲函数通常用数学函数表示，其中包括单位脉冲函数（unit impulse function）和矩形脉冲函数（rectangular pulse function）。

单位脉冲函数可以表示为δ(t)，而矩形脉冲函数可以表示为rect(t)。

1.3 脉冲函数的特性脉冲函数具有以下几个特性：- 在整个时间轴上仅有一个有限的非零值，而其他时间点上的值为零。

- 脉冲函数的积分为常数，表示脉冲函数在时间上的总面积。

- 脉冲函数的傅里叶变换为频率上的常数。

- 在离散信号处理中，脉冲函数被用来表示采样的时刻。

第二部分：Python 中的脉冲函数生成与操作2.1 使用NumPy 生成脉冲函数NumPy 是一个非常强大的数值计算库，可以用于生成各种类型的脉冲函数。

通过使用numpy.zeros() 和切片来生成一个具有特定时间间隔内非零值的脉冲函数数组。

2.2 使用SciPy 生成脉冲函数SciPy 是一个建立在NumPy 基础上的信号处理库，它提供了非常灵活的脉冲函数生成功能。

其中，scipy.signal.unit_impulse() 函数可以生成单位脉冲函数，而scipy.signal.square() 函数可以生成矩形脉冲函数。

2.3 操纵脉冲函数在Python 中，我们可以通过数学运算和函数操作来操纵脉冲函数。

f ( x' )h( x x' )dx' g ( x)

+
作业 1-8
若 证明：
f ( x) * h( x) g ( x)
f ( x x0 ) * h( x) g ( x x0 )
§1-3 卷积 convolution
四、性质
1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Property [v(x) + w(x)] * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 推论:卷积是线性运算 Linearity
= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)
例题
3. 已知连续函数f(x)， a>0和b>0 。求下列 函数： (1) h(x)= f(x)d(ax-x0) (2) g(x)= f(x)comb[(x- x0)/b]
解:(1) h(x) = f(x) d (ax- x0)
x 1 x d a x 0 d x 0 a a a
可描述: 单位质量质点的密度, n 单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度, fn(x)可以是Nrect(Nx), 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 等等. 二维圆域函数等等. 物理系统已无法分 辨更窄的函数 练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图.
四、性质 (续)
4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0)

Comsol 内置表达式：参数、变量、函数
表达式：
参数
一个参数表达式可以包含:数字、参数、常量、函数,一元、二元操作符。

参数可以有单位。

变量
个变量表达式可以包含:数字、参数、常量、变量、函数的变量表达式,一元、二元操作符。

变量可以有单位。

函数
一个函数定义可以包含:输入参数、数字参数,=常数、函数的参数表达式包括输入参数,一元和二元操作符。

注：保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。

内置的物理常数
数扫描。

变量：主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。

有一组有趣的变量，即空间坐标变量和因变量，这些基于空间维度和所选物理场的变量有默认的名称，comsol会创建一张变量表来表示这些变量。

间坐标的名称。

所以可以生产下列变量：Tx、Ty、Txx、Txy Tyx、Tyy、Tt、Txt、Tyt、Txxt、Txyt、Tyxt、Tyyt、Ttt、Txtt、Tytt、Txxtt、Txytt、Tyxtt、Tyytt.其中Tx是T对x的导数，Ttt 是T对t的二阶导数，如果空间坐标系有其他的名字，同理置换相应变量。

acosh,acoth,acsch,asech,asinh,atanh,besselj,bessely,besseli,besselk, erf,gamma,和psi。

内置操作函数：。

保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。 内置的数学常数 描述 名称 值 双精度浮点数、机器精度 eps 2-52(~·10-16) 虚数单位 i，j i，sqrt(-1) @ 无穷大，∞

Inf，inf 一个大于能被计算机处理的值

非数字值 NaN,nan 未定义或者不能表示出来到值如0/0或者inf/inf π pi

内置的物理常数 < 描述

名称 值

重力加速度 g_const [m/s^2] 阿伏伽德罗常数 N_A_const [1/mol] 玻耳兹曼常量 k_B_const '

[J/K]

真空特性阻抗 Z0_const [ohm] 电子质量 me_const [kg] 元电荷 e_const [C] 法拉第常数 】

F_const

[C/mol]

精细结构常数 alpha_const 万有引力常数 G_const [m^3/(kg*s^2)] 标准状态下想气体体积 V_m_const [m^3/mol] ' 中子质量 mn_const [kg]

真空磁导率 mu0_const 4*pi*1e-7[H/m] 真空介电常数 epsilon0_const [F/m]

普朗克常数 h_const &

[J*s]

普朗克常数/2π hbar_const [J*s]

质子质量 mp_const [kg] 真空中的光速 c_const 8[m/s] 斯忒藩—玻耳兹曼常数 : sigma_const

[W/(m^2*K^4)]

通用气体常数 R_const [J/(mol*K)] 维恩位移定律常数 b_const [m*K] 参数有以下用途： 参数化几何尺寸 参数化网格元素大小 （ 参数扫描

变量，主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。有一组有趣的变量，即空间坐标变量和因变量，这些基于空间维度和所选物理场的变量有默认的名称，comsol会创建一张变量表来表示这些变量。