平面向量与其它数学知识的交汇举隅

考点回顾平面向量是高中数学的三大数学工具之一，同时具有代数的运算性和几何的直观性．向量是数形结合的典范，是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点．准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，这样才能较好地解决这类问题．向量中的最值问题是向量的一大亮点，学生在解决这类问题时，总存在着一定的心里和思维方面的障碍.因此，解决好向量中的最值问题，不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力，而且可以提高学生的数学应用能力和数学综合能力.本文想就向量中的最值问题的几个类型和解题策略，通过几个具体实例加以归纳，以供参考.向量知识已经进入中学数学教材，由于向量融数、形于一体，因而成为中学数学知识的一个交汇点．向量作为一种工具，为解决中学数学问题提供了新的思路，进一步拓宽了思维渠道，下面归纳分析平面向量在中学数学中的一些妙用．向量是数学中的重要概念，并和数一样也能运算（与实数运算有着完全不同的运算法则）．向量的广泛应用（几何性质和代数运算功能）决定了它是现代数学的基本工具，用它能有效地解决数学、物理中的许多问题．处理向量问题要重视数形结合，要重视向量运算的几何意义，不可忽视向量加减法运算法则的逆向思维,向量》这一章内容包括向量及其运算、解斜三角形两大块内容。

而事实上，解斜三角形这一块内容只是以向量，想说爱你不容易！顾志峰226006 江苏省南通高等师范学校摘要：本文用四种不同的方法对一道向量题给出证明，其中前两种是运用平面几何的有关知识来解决，后两种是用待定系数法借助同一向量的不同表示得到解决。

从某种角度说明学生对运用向量解题比较陌生，有点想说爱你不容易的感觉。

关键词：向量 平面向量基本定理 待定系数笔者在介绍完平面向量的基本定理后，让学生完成书本【全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）】P109例5：如图一， OA OB 、不共线，()AP t AB t R ∈=，用 OA OB 、表示OP 。

b a ⇔=）证明垂直问题，常用数量积的运算性质：=0a b a b x x y ⊥⇔⋅⇔+21x x a ba bx ⋅=+）由于物理学中的力，速度，位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的cos F s =平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给一、知识点回顾1．若a 与b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）A. 一次函数且是奇函数B. 一次函数但不是奇函数C. 二次函数且是偶函数D. 二次函数但不是偶函数2．已知A ，B 是以C AB →=AC CB →→⋅=（ ）3. 已知向量()=cos ,sin a θθ，()=3,-1b ，则2-a b 的最大值与最小值分别是（ ）4. 经过ΔOAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q,设,OP mOA OQ nOB →→→→==，R m n ∈，，则11m n+的值为（ ）二、典型例题例1. 在ΔABC 中，2BC BA AC AC →→→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则ΔABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形变式练习：在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点，若1AC BE →→⋅=，则AB=（ ）例 2.设向量()=4c o s,s i n a αα，()=sin ,4cos b ββ，()=cos ,4sin c ββ-，（1）若()2a b c ⊥-，求()tan αβ+的值；（2）求b c +的最大值（3）若tan tan 16αβ=，求证a b变式练习：已知向量 33=cos,sin 22x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，=cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且[0,]2x π∈，（1）求a b ⋅及a b +；（2）若()2f x a b a b λ=⋅-⋅+的最小值是3-2，求λ的值。

平面向量的综合应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2020年第08期[摘要]平面向量是历年高考的必考内容，也是数学高考交汇性命题的载体.研究平面向量的应用，应该把眼光投向整个高中数学的各个核心知识点上，只有这样才能从整体上把握住平面向量的高考方向.[关键词]平面向量;综合应用;高中数学[中图分类号]G633.6[文献标识码] A[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0029-02平面向量是历年高考数学的必考内容，但考查重点放在平面向量的综合应用上，体现出平面向量的“工具性”与其他数学知识的“交汇性”，因此，从某个角度看，研究平面向量的命题规律，其实质是研究平面向量的综合应用，那么，平面向量的综合应用一般会出现哪些问题呢？一、平面向量与平面几何的综合无论是平面向量的概念还是平面向量的运算都具有几何特征，因此，平面向量与平面几何的综合最为常见，也最为自然，这类问题不仅可考查对向量的几何意义理解，还可以考查学生对平面向量作为解题工具的应用，总之，这类问题既考查知识又考查能力，点评：本题（1）给出向量等式，主要考查平面向量的加法、减法法则和模的几何意义，命题重点落在向量及其运算上.而本题（2）考查向量的应用意识以及向量数积在平面几何图形中的运用，考查坐标化思想方法的运用，命题重点放在平面向量的灵活应用上.二、平面向量与三角函数的综合平面向量与三角函数内容同时出现在教材必修4中，两角和的余弦公式就是利用平面向量知识加以推导的，这足以看出平面向量与三角函数有着不寻常的关系，体现在高考命题中，往往以解答题的形式出现，同时考查平面向量的运算、三角函数的性质、三角恒等变换和解三角形，综合性极强，点评：本题以平面向量的数量积运算为背景，考查三角形中的综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等，三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，这类问题的平面向量只是一种“包装”，归根到底考查的是三角问题，三、平面向量与解析几何的综合因为平面向量具有坐标形式的特征，与解析几何“一拍即合”，解析几何问题中的有些条件，往往用向量语言来描述，利用向量的坐标运算可转化为解析几何问题，与此同时，解析几何中的某些问题也可转化为向量问题来解决，点评：本题题干中虽然没有出现任何向量的标记，但解题过程却用到了向量夹角的计算公式，简捷有效，体现了向量法在解析几何运算中独特的魅力，从本例可以看出，向量法可以起到减少解析几何运算量的作用，因此，对于解析几何问题，向量的应用意识不容忽视，四、平面向量与其他知识的综合平面向量可谓数学命题的“万能胶”，它几乎可以与任何数学知识交汇，如函数、数列、概率等，这类试题往往出現在选择题或填空题中，背景新颖、综合性强，成为数学命题的一道亮丽风景，点评：本题综合考查了由向量求夹角、数列的求和、不等式等知识，解答关键是求出tanθn的表达式，并熟练应用数列求和的技巧，本题是一类综合性极强的综合题，是一道能综合考查考生综合素养的好题，由此可见，平面向量是数学高考交汇性命题的载体，我们研究平面向量的应用，应该把眼光投向整个高中数学的各个核心知识点上，这样才能从整体上把握住平面向量的高考方向.[参考文献][1]张永成.2019年高考“平面向量”专题命题分析[Jl.中国数学教育，2019（24）：53-57.[2]雷蕾.平面向量[J].中学数学教学参考，2019 （Z1）：98-101.[3]张玉虎.平面向量几何运算的转化策略[J].高中数学教与学，2018（ 13）：35-37.[4]杜海洋.解答平面向量问题的三条途径[Jl.中学数学教学参考，2016（ 16）：59-60.（责任编辑黄桂坚）。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5 平面向量 38 平面向量与三角函数交汇题 文训练目标 (1)平面向量与三角函数知识的综合训练；(2)转化与化归的数学思想. 训练题型(1)以向量为载体，研究三角函数的性质；(2)利用向量解决三角函数的图象问题；(3)向量与三角形的综合.解题策略 (1)以向量为载体的综合问题，要利用向量的运算及性质进行转化，脱去向量外衣，转化为三角函数问题；(2)利用向量解决三角函数问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系式.1．已知向量a ＝(sin 2，cos(2＋4))，b ＝(3sin(2＋4)，cos 2)，θ∈(0，π)，并且满足a ∥b ，则θ＝________.2．(2015·福州质检)在△ABC 中，满足|AC →|＝|BC →|，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角C ＝________. 3．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →g AC →＝3，则△ABC 的面积为________．5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足关系式|k a ＋b |＝3|a －k b |，其中k >0.则a g b 取最小值时，a 与b 的夹角θ＝________.6．(2015·怀化二模)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sinα－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且OA →⊥OB →，则tan α＝________. 7．(2015·山西太原五中月考)在△ABC 中，AB →＝(－cos 18°，－sin 18°)，BC →＝(2cos 63°，2cos 27°)，则△ABC 的面积为________．8．函数y ＝2sin(π4x ＋3π2)的部分图象如图所示，则(OA →－OB →)·AB →等于________．9．(2015·江苏徐州第三次质量检测)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为半径OP ，OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AM →g AN →的取值范围是________．10．已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x4，cos 2x4)．(1)若m g n ＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)记f (x )＝m g n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．答案解析1.π32.2π33.12 4.2 5.π3解析 由已知得|a |＝|b |＝1. ∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴|k a ＋b |2＝3|a －k b |2. ∴a g b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k .∵k >0，∴a g b ≥14×2k ·1k ＝12，当k ＝1k， 即k ＝1时，a g b 取得最小值12.∴cos θ＝12|a|·|b |＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.6．－43解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0， 即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 上述等式两边同时除以cos 2α， 得6tan 2α＋5tan α－4＝0， 由于α∈(3π2，2π)，则tan α<0，解得tan α＝－43.7.22解析 ∵|AB →|＝－cos 18°2＋－sin 18°2＝1，|BC →|＝4cos 263°＋4cos 227°＝2， cos∠ABC ＝BA →·BC→|BA →||BC →|＝2sin 45°2＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝45°， ∴S △ABC ＝12|AB |g |BC |·sin∠ABC ＝22.8．－2解析 因为y ＝2sin(π4x ＋3π2)，令y ＝0，得2sin(π4x ＋3π2)＝0，可得π4x ＋3π2＝k π(k ∈Z )，即x ＝－6＋4k (k ∈Z )，由图象可知A (2,0)， 即OA →＝(2,0)．同理，令y ＝1，得2sin(π4x ＋3π2)＝1，再结合图象可求得B (3,1)，即OB →＝(3,1)． 所以AB →＝(1,1)，(OA →－OB →)g AB →＝BA →g AB →＝－AB → 2＝－2. 9．[32，52]解析建立如图所示直角坐标系，则A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)，M (－12，32)，N (1,0)， AM →＝(－12－2cos θ，32－2sin θ)，AN →＝(1－2cos θ，－2sin θ)，所以AM →g AN →＝(－12－2cos θ)(1－2cos θ)＋(32－2sin θ)·(－2sin θ)＝72－2sin(θ＋30°)．因为0°≤θ≤120°，所以30°≤θ＋30°≤150°，12≤sin(θ＋30°)≤1，32≤AM →g AN →≤52.10．解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12.(1)∵m ·n ＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12，cos(x ＋π3)＝1－2sin 2(x 2＋π6)＝12，cos(2π3－x )＝－cos(x ＋π3)＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )·cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin(A 2＋π6)<1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin(x 2＋π6)＋12，∴f (A )＝sin(A 2＋π6)＋12，故1<f (A )<32.故函数f (A )的取值范围是(1，32)．。