北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转度（< ≤）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A. B.0.5 C.1 D.2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A.40B.44C.84D.883、“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是4、菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.100cmB.80cmC.60cmD.50cm5、三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（）A.3B.2.4C.4D.4.86、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，以AD为边向外作Rt△ADE ，∠AED＝90°，连接OE ， DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）.A. B.2 C.8 D.108、如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米9、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.610、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的半径为（）A.8B.10C.16D.2011、下列命题不成立的是A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数比为1：：2的三角形是直角三角形C.三边长度比为1：：的三角形是直角三角形D.三边长度之比为：：2的三角形是直角三角形12、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.a:b:c =13∶5∶12B.a 2-b 2=c 2C.a 2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=8∶16∶1713、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.14、如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A.1.6B.2.4C.2D.2.115、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，12二、填空题(共10题，共计30分)16、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．17、一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明________危险.（填有或无）18、如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=6，BD=5，则点D的坐标是________．19、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是________.20、菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________.21、已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为________22、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m223、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．25、如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m和8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.28、小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。

D C B A FE D C B A 新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案（1）一、填空题（1. 如图，在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，AB=5cm ，则对角线BD= cm 。

2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22，则正方形边长为 。

3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 。

4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形。

5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。

6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。

7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为 。

8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF= 。

9. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是 。

10. 如图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 。

11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里。

12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数。

我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m 、n （m ＞n ），取a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，则a 、b 、c 就是一组勾股数。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习测试一．选择题1．下列各组数中，是勾股数的是（）．A．6，9，12B．﹣9，40，41C．52，122，132D．7，24，25 2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）．A．25B．14,C．7D．7或253．如图由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）．A．16B．25C．144D．1694．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（）．A．1B．2C．D．5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）．A．1B．2C．3D．46．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（）．A．2米B．4米C．6米D．8米7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）．A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺8．如图，在△ABD中，△D=90°，CD=6，AD=8，△ACD=2△B，则BD的长是（）．A．12B．14C．16D．189．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2．5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1．6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1．2米的地方时（BC＝1．2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）．A．1．2米B．1．5米C．2．0米D．2．5米10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（）．A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24二．填空题11．一直角三角形的一条直角边长是6，另一条直角边与斜边长的和是18，则直角三角形的面积是12．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则△BAC﹣△DAE＝．13．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是．14．如图△ABC中，△C＝90°，AD平分△BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．15．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是．16．在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是．17．如图，OP＝1，过点P作PP1△OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2△OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3△OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝A．B．C．D．18．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BE，AF分别是△ABC，△CAB平分线，BE，AF交于点O，OM△AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝．三．解答题19．已知在中，，，．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试在下面的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。

一、选择题1.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )A．2√2B．√5C．3√5D．√1022.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．103.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm24.下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是( )A．a=3，b=4，c=5B．a=5，b=12，c=13，b=2，c=3．C．a=1，b=2，c=√5D．a=325.如图，某吊灯的内部是一个底面直径为40厘米，高为15厘米的圆柱，吊绳AB，CD的长度都为25厘米，AC是灯座底盘的直径，BD是圆柱的上表面直径，若AC=10厘米，则该底盘的圆心O到圆柱的下表面圆心Oʹ的距离为( )A．30厘米B．33厘米C．35厘米D．37厘米6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米7.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG 的面积为2，则点F到BC的距离为( )A．√55B．2√55C．4√55D．4√338.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )A．B．C．D．9.如图，四边形ABCD中，AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，DA=13 cm，且∠ABC=90∘，则四边形ABCD的面积为( )A．6 cm2B．30 cm2C．24 cm2D．36 cm210.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC的点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长为( )A．3B．4C．√3D．5二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AʹMN，连接AʹC．在MN上存在一动点P．连接AʹP，CP，则△AʹPC周长的最小值是．12.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为．13.等腰直角三角形ABC中，AB=AC，则AB:BC=．14.如图，在四边形ABCD中，AD=2√2，AB=12，BC=13，CD=√17，∠ADC=90∘，那么四边形ABCD的面积=．15.如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为三角形．16.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=2BC=2，在AC上截取CD=CB．在AB上截取AP=AD，则AP=．17.Rt△ABC中，∠C=90∘，两直角边分别是a和b，斜边是c，若a=6，b=8，则c=．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，AB=10，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E．求CE的长．19.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=24，AD=BC=50，E是AD上一点，且AE:DE=9:16，判断△BEC的形状，并说明理由．20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90∘到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1) 求高台A比矮台B高多少米？(2) 求旗杆的高度OM；(3) 求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．21.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22.在△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动：猜想AP2+PB⋅PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．23.中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米．(1) 用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2) 求拱桥AB所在圆的半径．24.一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长．25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】方法一：如图，经过P，Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM=PB，∴PM=AB，∴PM=√32+12=√10，∴AB=√10，故选：D．方法二：如图，EF为剪痕，过点F作FC⊥EM于点G．∵EF将该图形分成了面积相等的两部分，∴EF经过正方形ABCD对角线的交点，∴AF=CN，BF=DN，易证△PME≌△PDN，∴EM=DN，而AF=MG，∴EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1，在Rt△FGE中，EF=√GF2+EG2=√32+12=√10．【知识点】勾股定理2. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8．【知识点】角平分线的性质、勾股定理3. 【答案】A【解析】∵a+b=14，∴(a+b)2=196，∴2ab =196−(a 2+b 2)=96， ∴12ab =24．【知识点】勾股定理4. 【答案】D【解析】A ．∵32+42=52，∴ 以 a =3，b =4，c =5 为边的三角形是直角三角形； B ．∵52+122=132，∴ 以 a =5，b =12，c =13 为边的三角形是直角三角形； C ．∵12+22=(√5)2，∴ 以 a =1，b =2，c =√5 为边的三角形是直角三角形； D ．∵(32)2+22≠32，∴ 以 a =32，b =2，c =3 为边的三角形不是直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】C【知识点】勾股定理的实际应用6. 【答案】C【解析】由题意得 AʹB =AB ． 在 Rt △ACB 中，∵∠ACB =90∘，BC =0.7 米，AC =2.4 米， ∴AB 2=0.72+2.42=6.25． 在 Rt △AʹBD 中，∵∠AʹDB =90∘，AʹD =2 米， ∴BD 2+AʹD 2=AʹB 2， ∴BD 2+22=6.25， ∴BD 2=2.25， ∵BD >0， ∴BD =1.5 米，∴CD =BC +BD =0.7+1.5=2.2（米）． 故选C ．【知识点】勾股定理的实际应用7. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题、三角形的面积8. 【答案】C【解析】A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242=252，152+202=252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．故选：C．【知识点】勾股逆定理9. 【答案】C【解析】连接AC．∵∠ABC=90∘，AB=4 cm，BC=3 cm，∴AC=5 cm，∵CD=12 cm，DA=13 cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD−S△ABC=12AC×CD−12AB×BC=12×5×12−12×4×3=30−6=24( cm2).故四边形ABCD的面积为24 cm2．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】A【解析】设EC的长为x cm，∴DE=(8−x)cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴BF=6cm．∴FC=BC−BF=10−6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x 2=(8−x )2，， 即 16+x 2=64−16x +x 2， 化简，得 16x =48． ∴x =3．故 EC 的长为 3 cm ．【知识点】勾股定理之折叠问题二、填空题11. 【答案】 32√17−32+3√5【解析】分两步： ①连接 AP ， 则 AP =APʹ，∴△AʹPC 周长 =AʹP +PC +AʹC =AP +PC +AʹC ， ∵AP +PC >AC ，当 A ，P ，C 三点共线时，AP +PC 有最小值，是 AC 的长， ∴AC 与 MN 的交点就是点 P ， 由勾股定理得：AC =√32+62=3√5， ②连接 CM ， ∵AʹC >CM −AʹM ，∴ 当 M ，Aʹ，C 三点共线时，AʹC 有最小值， 此时，∵M 是 AD 的中点， ∴AM =DM =1.5，∴MC =√62+(32)2=32√17， 由折叠得：AM =AʹM =1.5，∴AʹC =MC −AʹM =3=32√17−1.5，∴△AʹPC 周长的最小值是：32√17−32+3√5．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系12. 【答案】 1 或 7【解析】分两种情况：①如图 1 所示： ∵∠ACB =90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE−CF=4−3=1．②如图2所示：∵△ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7．综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．【知识点】勾股定理13. 【答案】√22【知识点】勾股定理14. 【答案】30+√34【知识点】勾股逆定理15. 【答案】直角【解析】∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0，即a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=c2，∴三角形为直角三角形．【知识点】勾股逆定理16. 【答案】√5−1【解析】在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√5，∵AB=2BC=2，AP=AD，CD=CB，∴CD=1，∴AD=√5−1，∴AP=AD=√5−1．【知识点】勾股定理17. 【答案】10【知识点】勾股定理三、解答题18. 【答案】在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8，∵DE 垂直平分 AB ，分别交 AB ，BC 于点 D ，E ，∴AE =BE ；设 CE =x ，则 AE =BE =8−x ，在 Rt △ACE 中，∠C =90∘，∴CE 2+AC 2=AE 2，即 x 2+62=(8−x )2，解得 x =74，即 CE =74．【知识点】勾股定理、垂直平分线的性质19. 【答案】 ∵AE:DE =9:16，AD =50，∴AE =18，DE =32，在 Rt △ABE 中，AB =24，AE =18，∴BE =√242+182=30，在 Rt △DEC 中，CD =24，DE =32，∴CE =√242+322=40，∵BE 2+CE 2=BC 2，∴△BEC 是直角三角形．【知识点】勾股逆定理20. 【答案】(1) 10−3=7（米）(2) 如图，作 AE ⊥OM ，BF ⊥OM ，∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90∘，∴∠AOE =∠OBF ．在 △AOE 和 △OBF 中，{∠OEA =∠BFO,∠AOE =∠OBF,AO =OB,∴△AOE ≌△OBF (AAS )，∴OE =BF ，AE =OF ，即 OE +OF =AE +BF =CD =17 m ．∵EF =EM −FM =AC −BD =10−3=7(m )，∴2EO +EF =17，则 2EO =10，所以 OE =5 m ，OF =12 m ，所以 OM =OF +FM =15 m ．(3) 由勾股定理得 OB =OA =ON =13，∴MN =15−13=2(m )．玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 为 2 米．【知识点】角角边、勾股定理的实际应用21. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2． ∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理22. 【答案】 AP 2+PB ⋅PC 的值不会随点 P 位置的变化而变化．理由：如图，过点 A 作 AH ⊥BC 于点 H ．AP 2+PB ⋅PC =AH 2+PH 2+(BH −PH )(CH +PH )=AH 2+PH 2+BH 2−PH 2=AH 2+BH 2=AB 2=16, 即 AP 2+PB ⋅PC =16，16 是定值，∴ AP 2+PB ⋅PC 的值不会随点 P 位置的变化而变化．【知识点】勾股定理23. 【答案】(1) 如图所示，点 O 即为所求；(2) 如图，取 AB⏜ 的中点 D ，连接 OD 交 AB 于点 E ，连接 OA ， 则 OD ⊥AB ，且 AE =EB =4，由题意得，DE =3，设圆的半径为r，在Rt△AEO中，AE2+EO2=OA2，即42+(r−3)2=r2，．解得r=256即拱桥AB所在圆的半径为25．6【知识点】垂径定理的应用、勾股定理、作圆24. 【答案】5或√7【知识点】勾股定理25. 【答案】(1) a2+b2=c2；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2(2) (a+b)2；S正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。