中考数学相似三角形综合复习

2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练（含答案）1．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD相交于点F（1）求证：；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．2．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG 上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．4．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．5．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE＝，OG＝1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）6．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM＝BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．8．在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．9．阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是．猜想证明：（2）设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为2（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．11．（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．①如图2，当点D在线段BC上时，求的值；②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．12．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝6，BC＝8．（1）试证明：△ABP∽△PCQ；（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF 的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题．如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小颖的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是；A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．（3）在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，E是AD上一点，连结BE并延长交边AC 于点F．①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证：AC＝BE．②如图4，若E是BF的中点，求证：AF•CD＝AC•BD15．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA ＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．17．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点P．（1）如图①，判断AE和BF之间的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图②，连接AF，点M是AF中点，若BE＝2，CE＝3，求线段PM的长度；（3）如图③，作CQ⊥BF于点Q，若△QAB∽△QEC，求证：点E是BC中点．参考答案：1．（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴；（2）解：AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵＝，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD；（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4，∵△PCE∽△DCB，∴＝，即＝，∴BD＝x，∵∠PBM＝∠CBD﹣∠CBP＝45°，BP＝BE+PE＝4+x，∴PM＝sin45°•（4+x）＝，∴△PBD的面积S＝BD•PM＝×x×＝x2+2x．2．解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．4．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中，∴△A1DE≌△A1DF（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE顺时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G'GF＝90°，∴G'G2+GF2＝G'F2，∴DG2+GF2＝GE2．5．解：（1）如图1，连接AC，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE＝AC，GF∥AC、GF＝AC，∴OE∥GF，OE＝GF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，∴＝，∴△OGM∽△OEN，∴＝＝．②添加AC＝BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG＝EF＝BD、OE＝GF＝AC，∵AC＝BD，∴OG＝OE，∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，∴OG＝OE、OM＝ON，在△OGM和△OEN中，∵，∴△OGM≌△OEN（SAS），∴GM＝EN．6．解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF＝BE，∴BD﹣BF＝AB﹣BE，即DF＝AE；故答案为DF＝AE；②DF＝AE．理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE＝∠DBF，∵＝，＝，∴＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝＝，即DF＝AE；（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝mAB，∴BD＝＝AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，∴＝＝，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，∴＝＝，∴△ABE′∽△DBF′，∴＝＝，即DF′＝AE′．7．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，．由题意知：BM＝2t，，∴，∵BM＝BN，∴，解得：．（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：．综上所述：当或时，△MBN与△ABC相似．（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，∴y＝＝＝．∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．此时，．8．解：（1）∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2＝AP•AB；（2）①取AP的中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3﹣x，∵M是PC的中点，∴MG∥AC，∴∠BGM＝∠A，∵∠ACP＝∠PBM，∴△APC∽△GMB，∴，即，∴x＝，∵AB＝3，∴AP＝3﹣，∴PB＝；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，设BP＝x．∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，∴CH＝，HE＝+x，∵CE2＝（）2+（+x）2，∵PB＝BE，PM＝CM，∴BM∥CE，∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，∵∠E＝∠E，∴△ECP∽△EAC，∴，∴CE2＝EP•EA，∴3+3+x2+2x＝2x（x++1），∴x＝﹣1，∴PB＝﹣1．9．解：（1）∵平行四边形有一个内角是120度，∴α＝60°，∴＝＝；故答案为：；（2）＝，理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，∴＝＝，∵＝，∴＝；（3）∵AB2＝AE•AD，∴A1B12＝A1E1•A1D1，即＝，∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由（2）知＝可知＝＝2，∴sin∠A1B1C1＝，∴∠A1B1C1＝30°，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝30°．10．解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP：AB＝AM：AC，∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，解得：t＝，∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形；（2）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，∴，即，解得：BF＝t，∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，∴y＝（PQ+MC）•FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40；（3）不存在；∵S△ABC＝＝×10×8＝40，当S四边形PQCM＝S△ABC时，y＝t2﹣8t+40＝40，解得：t＝0，或t＝20，都不合题意，因此不存在；（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，过M作MH⊥AB，交AB于H，如图所示：∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，∴△AHM∽△ADB，∴，又∵AD＝＝6，∴，∴HM t，AH＝t，∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，在Rt△HMP中，MP2＝+＝t2﹣44t+100，又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，∵MP2＝MC2，∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，解得，t2＝0（舍去），∴t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．11．解：（1）△BDE∽△CFD，理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a，在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α，∴∠BED＝∠CDF，∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；（2）①设AE＝x，AF＝y，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDE∽△CFD，∴∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6，∴，∴，∴，∴；②设AE＝x，AF＝y，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8，由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠DCF＝120°，∴△BDE∽△CFD，∴∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y﹣8，CD＝BC+BD＝10，∴，∴，∴＝．∵△BDE∽△CFD，∴△BDE与△CFD的周长之比为＝＝．12．解：（1）∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°，而∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠APB＝∠PQC，∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ；（2）∵△ABP∽△PCQ，∴，即，则CQ＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+≥，故当x＝4时，CQ的最大值为，即BP为4时，CQ最长，最长是；（3）∵△APQ是等腰直角三角形，则P A＝PQ，而△ABP∽△PCQ，则△ABP≌△PCQ（AAS），∴AB＝PC＝6，则BP＝8﹣6＝2，即BP＝2时，△APQ是等腰直角三角形．13．（1）解：如图1，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC＝∠AOB＝60°．∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠OBC＝30°∴∠ACB＝∠OBC，∴CO＝OB＝AB＝OA＝3，∴AC＝6，∴BC＝AC＝；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH＝AQ•sin60°＝．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，＝，即＝＝，解得，t＝0．同理，当△QHP∽△ABC时，t＝1．综上所述，t＝0或t＝1；（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN，∴QN＝QA∴△AQN为等边三角形，∴NQ＝NA＝AQ＝3﹣t，∴ON＝3﹣（3﹣t）＝t，∴PN＝t+t＝2t，∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴，∴，∴∵EF∥x轴，∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30°∴EF＝BE，∴m＝BE＝OB﹣OE＝（0＜t＜3）．14．（1）解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴4＜2AD＜20，∴2＜AD＜10，故答案为：2＜AD＜10；（3）①证明：如图③，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．∵AD＝DG，∠ADC＝∠GDB，CD＝DB，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，∴BG∥AC，∴∠F AE＝∠G，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠AEF，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG，∴AC＝BE．②证明：延长AD到H，使得EH＝AE，连接BH．∵AE＝EH，∠AEF＝∠BEH，EF＝EB，∴△AEF≌△HEB（SAS），∴BH＝AF，∠H＝∠EAF，∴BH∥AC，∴△BDH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AF•CD＝AC•BD．15．解：（1）∵菱形OABC中，OA＝10，∴OC＝10，∵cos∠COA＝，∴点C的坐标为：（6，8），∵动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，∵cos∠COA＝＝，OP＝t，∴OQ＝t，∴QP＝t，∵OA＝10，N点与A点重合，∴t+t＝10，∴t＝∴t＝时，N点与A点重合；（2）①，②，③，④8＜t≤10，S＝104﹣8t；（3）S菱形＝80，直线OB过原点（0，0），B点（16，8），故直线OB解析式为，直线OB与PQ、MN分别交于E、F点，如图：①当0＜t≤6，，，，，若，则，，若，则，，②当6＜t≤8，，，，，若则，t＝0（舍），若，则，t3＝8；③8＜t≤10，不存在符合条件的t值．16．（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．17．解：（1）AE＝BF，AE⊥BF，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABP+∠CBF＝90°∴∠BAE+∠ABP＝90°∴∠APB＝90°，∴AE⊥BF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC＝AD，由（1）知，AE＝BF，∵BE＝2，CE＝3，BE＝CF，∴DF＝DC﹣CF＝BC﹣BE＝CE＝3，AD＝BC＝BE+CE＝2+3＝5，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF＝＝＝，在Rt△APF中，∠APF＝90°，点M是AF中点，∴；（3）∵CQ⊥BF，∴∠BQC＝∠BCF＝90°，又∠CBQ＝∠FBC，∴△CBQ～△FBC，∴，∵AB＝BC，BE＝CF，∴，∵△QAB～△QEC，∴，∴，∴，∴BE＝CE，∴点E是BC中点。

中考数学一轮复习专题相似三角形综合复习一选择题：1.下列说法正确的是（）(A)两个矩形一定相似．(B) 两个菱形一定相似．(C)两个等腰三角形一定相似．(D) 两个等边三角形一定相似．2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.53.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。

如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径(为不等于0的常数)。

那么下面四个结论：①∠AOB=∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB与扇形的面积之比为.成立的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm25.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.6.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（）A. 2B. 2.4C. 2.5D. 37.如图是测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是( )A．8 c m B．10 cm C．20 cm D．60 cm8.如图,在平行四边形ABCD 中,点E在CD上,若DE:CE =1:2,则△CEF与△ABF的周长比为（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．4︰99.如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD·AB=CD·BD D．AD2=BD·CD10.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC11.如图所示，四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A．2 B． C．6 D．213.已知( )A. B. C. D.14.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米15.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．416.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )A． B． C． D．17.如图，AB=AC=4，P是BC上异于B，C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( )A．16 B．20 C．25 D．3018.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC上（不与B,C重合）一动点,∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD 为8或12.5．其中正确的结论个数是（）．A.1个B. 2个C. 3个D. 4个19.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1020.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A． B． C． D．二填空题:21.若，则= ．22.若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c= ．23.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．24.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_ 米.25.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=_________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．26.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=______m．27.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．28.如图，在四边形中，，如果边AB上的点P,使得以为顶点的三角形与为顶点的三角形相似，这样的点P有个.29.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是_________．30.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD 分成n等分，然后裁出（n ﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．三简答题:31.如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE=CF，连接AF，BE相交于点P.(1)求证：AF=BE，并求∠APB的度数；(2)若AE=2，试求AP·AF的值．32.已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．33.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．34.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与底面保持平行并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．35.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．36.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？37.如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=______．（含x的代数式），当x=______时，y最大，最大面积是______．38.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)AC= cm，BC= cm；(2)当t=5 (s)时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值．(3)设点P的运动时间为t (s)，△PBQ的面积为y (cm2)，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．39.在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）40.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；参考答案1、D2、B．3、D4、C5、B6、A7、A8、C9、C 10、D 11、C 12、D．13、B 14、B 15、C 16、B 17、A 18、D；19、D 20、A．21、．22、8．23、．24、6 25、或 26、4 m． 27、14+2 28、329、（2﹣3）a≤DE≤a．．30、cm2．31、解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴AF=BE，∠ABE=∠CAF.又∵∠APE=∠BPF=∠ABP＋∠BAP，∴∠APE=∠BAP＋∠CAF＝60°，∴∠APB=180°－∠APE=120°(2)∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AP·AF=12 32、【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．33、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．34、根据题意，得∠DEF=∠DCA=90°，∠EDF=∠ADC，∴△DEF∽△DCA.∴=.已知DE=0.5米，EF=0.25米，DC=20米．∴=.解得AC=10米．∵四边形BCDG是矩形，∴BC=DG，而DG=1.5米，则BC=1.5米．35、答案：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN ∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米36、【解答】解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，则（6﹣x）•2x=8，整理，得x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．若△CPQ∽△CAB，则=，即=，解得y=2.4秒；若△CPQ∽△CBA，则=，即=，解得y=秒．综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．37、【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，∴HG∥EF，GH=HE=ID，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，∵BC=120cm，AD=80cm，∴，解得：HG=48cm，∴正方形EFGH的面积=HG2=482=2304（cm2）；（2）∵四边形EFGH是长方形，∴HG∥EF，∴△AEF∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，即，解得：HE=﹣x+80，∴长方形EFGH的面积y=x（﹣x+80）=﹣2+80x=﹣（x﹣60）2+240，∵﹣＜0，∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是240cm2；故答案为：﹣x2+80x，60cm，240cm2．38、解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2，即：（4x）2 +（3x）2 =10 2，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）存在，理由：∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，∴△BCM的周长最小值为16.（3）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x，∵△AQH′∽△ABC，39、【解答】解：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：∵AB=AC，D为底边BC的中点，∴∠B=∠C，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△ACD，∵∠PDQ=∠B，∴∠PDQ=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；∵∠CDE+∠PDQ=90°，∴∠C+∠PDQ=90°，∴∠CED=90°=∠ADC，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，∠FDC=∠FDE+∠EDC，∴∠EDC=∠BDF，∴△BDF∽△CDE，∴，∵D为BC的中点，∴BD=CD=6，∴∴y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：由（2）可知：△BDF∽△CDE，则，∵BD=CD，∴，又∵∠EDF=∠C，∴△DEF∽△CED．40.解：（1）由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），则解得∴二次函数的关系解析式．（2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．设点P坐标为（m，n），则．PM =，，AO=3．当时，＝２．∴OC=2．＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴当时，函数有最大值．此时＝．∴存在点，使△ACP的面积最大．（3）存在点Q，坐标为：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出．。

1
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB= ,
3
将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边

AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求 的值；

②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形 ABCH 为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，

∴


∴

=
=

，



，
∴DE•AB＝CF•AD；
四、相似三角形的判定与性质
四、相似三角形的判定与性质
8.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段
做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在
正方形ABCD中，点E，F分别是


AB，AD上的两点，连接DE，CF，
DE⊥CF，则
的值为
；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，
CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，
A)
二、相似三角形的性质
1.(2022杭州)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，
1
BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， = ．
4
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
二、相似三角形的性质
2.如图,已知每个小方格的边长均为1,则△ABC与△CDE的

A．12.36 cm C．32.36 cm
5－1 【解析】∵黄金比为 ≈0.618 ， ∴ 它 的 宽 约 为 2 0.618×20≈12.36 cm.
【答案】A
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
a
练
首页
2 ． (2010 中考变式题 )已知 ＝ ＝ ，且 a ＋ b＋ c≠0 ，则 2 5 7 2a＋3b－2c 的值为( a＋b＋c 5 A. 14 )
的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值为
上一页
下一页
宇轩图书
中考典例精析
(2011·河北)如图所示，在6×8网格图中，每 个小正方形边长均为1.点O和△ABC的顶点均为小正方形
首页
的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和 △ABC位似，且位似比为1∶2. (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 【点拨】位似图形一定是相似图形，可以利用相似图形的性质计算或 证明． 【 解 答 】 (1) 如 图 所 示． (2)AA′ ＝CC′ ＝ 2. 在
目录
第六章 图形的相似与解直角三角形 第23讲 图形的相似与位似
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
宇轩图书
考点知识精讲
考点一 成比例线段与比例的定义及性质
首页
1．对于四条线段 a、b、c、d，如果 做成比例线段，简称比例线段．
那么这四条线段叫
2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． a c 4．比例的基本性质：如果 ＝ ，那么 ad＝bc ，反之也成立．其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例内项．特殊地 ＝ ⇔b2＝ac. b c