电磁感应强化训练
1.两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L ，导轨上放置两根导体棒a 和b ，俯视图如图甲所示。两根导体棒的质量均为m ，电阻均为R ，回路中其余部分的电阻不计，在整个导轨平面内，有磁感应强度大小为B 的竖直向上的匀强磁场。导体棒与导轨始终垂直接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，两棒均静止，间距为x 0，现给导体棒a 一水平向右的初速度v 0，并开始计时，可得到如图乙所示的Δv －t 图像(Δv 表示两棒的相对速度，即Δv ＝v a －v b ) (1)试证明：在0～t 2时间内，回路产生
的焦耳热Q 与磁感应强度B 无关； (2)求t 1时刻棒b 的加速度大小； (3)求t 2时刻两棒之间的距离。
(1)t 2时刻开始，两棒速度相等，由动量守恒定律有2m v ＝m v 0
由能量守恒定律有Q ＝12m v 20－12(2m )v 2 解得Q ＝14
m v 2
0 所以在0～t 2时间内，回路产生的焦耳热Q 与磁感应强度B 无关。
(2)t 1时刻有v a －v b ＝v 02 由动量守恒定律得m v 0＝m v a ＋m v b ，解得v a ＝34v 0，v b ＝1
4
v 0
回路中的电动势E ＝34Bl v 0－14BL v 0 回路中的电流I ＝E 2R ＝BL v a －BL v b
2R
此时棒b 所受的安培力F ＝BIL 由牛顿第二定律得棒b 的加速度大小a 1＝F m ＝B 2L 2v 0
4mR 。
(3)t 2时刻，两棒速度相同，v ＝v 0
2
0～t 2时间内，对棒b ，
由动量定理得BIL ·Δt ＝m v －0 根据法拉第电磁感应定律E ＝
ΔΦΔt
所以I ＝E
2R ，而ΔΦ＝B ΔS ＝BL (x －x 0) 解得t 2时刻两棒之间的距离x ＝x 0＋m v 0R B 2L 2。
思考题：在题1中，将导轨改成间距分别为L 、L
2的平行光滑导轨，磁感应强度大小分别为B 、
4B ，如图4所示，a 、b 导体棒的质量分别为m 2、m ，电阻分别为R 、R
2。若a 棒以大小为v 0
的初速度水平向右运动，b 棒由静止开始运动，经时间t ，两棒速度恰好达到稳定(b 棒未到达CD 处)。求0～t 时间内a 棒产生的焦耳热Q 1。
解析：t 时刻，a 、b 两棒切割磁感线产生的感应电动势相等
速度大小分别设为v 1、v 2，则BL v 2＝4B ·L
2·v 1
根据动量定理，对a 棒有－4BI ·L 2·t ＝m 2v 1－m
2v 0
对b 棒有BILt ＝m v 2－0，解得v 1＝19v 0，v 2＝2
9
v 0
对两棒，根据能量守恒定律有 Q 0＝12·m 2·v 20－12·m 2·v 21－12m v 2
2
0～t 时间内a 棒产生的焦耳热Q 1＝
R
R ＋
R 2Q 0 解得Q 1＝427
m v 20。
2.如图所示，在磁感应强度大小为B 的匀强磁场区域内，与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨，导轨上面平放着两根导体棒ab 和cd ，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l ，导体棒的质量都为m ，电阻都为R ，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab 棒静止，给cd 棒一个向右的初速度v 0。 (1)求cd 棒速度减为0.8v 0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，求电路中产生的电能； (3)求两棒之间改变的最大距离。
(1)设当cd 棒速度减为0.8v 0时ab 棒的速度为v ′， 由动量守恒定律得m v 0＝0.8m v 0＋m v ′ 解得v ′＝0.2v 0
此时回路的电流是I ＝Bl （0.8－0.2）v 02R cd 棒的加速度为a ＝BIl
m 解得a ＝0.3B 2l 2v 0mR 。
(2)设两棒稳定时共同的速度为v ，据动量守恒定律得m v 0＝(m ＋m )v 解得v ＝1
2v 0
故Q ＝12m v 20－12(m ＋m )v 2＝14
m v 2
0。 (3)由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势E ＝ΔΦΔt ＝Bl Δx
Δt
这段时间内回路的电流为I ＝E
2R
对ab 棒，由动量定理得BIl Δt ＝m v 0－m v 联立解得Δx ＝mR v 0
B 2l 2
。
3.两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置，间距为d ＝1 m ，在左端弧形轨道部分高h ＝1.25 m 处放置一金属杆a ，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在平直轨道右端放置另一金属杆b ，杆a 、b 的电阻分别为R a ＝2 Ω、R b ＝5 Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2 T 。现杆b 以初速度大小v 0＝5 m/s 开始向左滑动，同时由静止释放杆a ，杆a 由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆b 的平均电流为0.3 A ；从a 下滑到水平轨道时开始计时，a 、b 运动的速度—时间图像如图乙所示(以a 运动方向为正方向)，其中m a ＝2 kg ，m b ＝1 kg ，g ＝10 m/s 2，求： (1)杆a 在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a 在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量； (3)在整个运动过程中杆b 产生的焦耳热。
(1)设杆a 由静止滑至弧形轨道与平直轨道连接处时杆b 的速度大小为v b 0， 对杆b 运用动量定理，有BdI ·Δt ＝m b (v 0－v b 0) 其中v b 0＝2 m/s 代入数据解得Δt ＝5 s 。
(2)对杆a 由静止下滑到平直导轨上的过程中，由机械能守恒定律有m a gh ＝1
2
m a v 2a 解得v a ＝2gh ＝5 m/s
设最后a 、b 两杆共同的速度为v ′，
由动量守恒定律得m a v a －m b v b 0＝(m a ＋m b )v ′ 代入数据解得v ′＝8
3 m/s
杆a 动量的变化量等于它所受安培力的冲量，
设杆a 的速度从v a 到v ′的运动时间为Δt ′，则由动量定理可得BdI ·Δt ′＝m a (v a －v ′) 而q ＝I ·Δt ′ 代入数据得q ＝7
3
C 。
(3)由能量守恒定律可知杆a 、b 中产生的焦耳热为Q ＝m a gh ＋12m b v 20－12(m b ＋m a )v ′2＝1616
J b 棒中产生的焦耳热为Q ′＝52＋5
Q ＝115
6 J 。
