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圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

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.. wd .. 第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题

一、直线恒过定点问题

例1. 已知动点E在直线:2ly上，过点E分别作曲线2:4Cxy的切线,EAEB， 切点为A、B, 求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；

解：设),2,(aE)4,(),4,(222211xxBxxA，xyxy214'2

,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点ExxxxyA),(21421121xaxx整理得：082121axx

同理可得：222280xax

8,2082,2121221xxaxxaxxxx的两根是方程

)24,(2aaAB中点为可得，又2212121212124442ABxxyyxxakxxxx

2(2)()22aaAByxa直线的方程为，2()2ayxAB即过定点0,2.

例2、已知点00(,)Pxy是椭圆22:12xEy上任意一点，直线l的方程为0012xxyy， 直线0l过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线0l的对称点为N，直线PN恒

过一定点G，求点G的坐标。

解：直线0l的方程为0000()2()xyyyxx，即000020yxxyxy

设)0,1(M关于直线0l的对称点N的坐标为(,)Nmn

则0000001212022xnmyxnmyxy，解得320002043200002002344424482(4)xxxmxxxxxnyx

 直线PN的斜率为4320000032000042882(34)nyxxxxkmxyxx

.

... .

.. wd .. 从而直线PN的方程为： 432000000320004288()2(34)xxxxyyxxyxx

即3200043200002(34)14288yxxxyxxxx

从而直线PN恒过定点(1,0)G

二、恒为定值问题

例3、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭

圆于A、B两点。

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值；

解：（1）设椭圆方程为22221yxab，由题意可得

2,2,22abc，所以椭圆的方程为22142yx

则12(0,2),(0,2)FF，设0000(,)(0,0)Pxyxy

则100200(,2),(,2),PFxyPFxy

221200(2)1PFPFxy

点00(,)Pxy在曲线上，则22001.24xy 220042yx

从而22004(2)12yy，得02y，则点P的坐标为(1,2)。

（2）由（1）知1//PFx轴，直线PA、PB斜率互为相反数，

设PB斜率为(0)kk，则PB的直线方程为：2(1)ykx

由222(1)124ykxxy 得222(2)2(2)(2)40kxkkxk

.

... .

.. wd .. 设(,),BBBxy则2222(2)222122Bkkkkxkk

同理可得222222Akkxk，则2422ABkxxk

28(1)(1)2ABABkyykxkxk

所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值。

例4、已知动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,已知点

7(,0)3M， 求证：MAMB为定值.

解: 将(1)ykx代入221553xy中得2222(13)6350kxkxk

4222364(31)(35)48200kkkk，

2122631kxxk，21223531kxxk

所以112212127777(,)(,)()()3333MAMBxyxyxxyy

2121277()()(1)(1)33xxkxx

2221212749(1)()()39kxxkxxk

2222222357649(1)()()313319kkkkkkk

4222316549319kkkk49。

课后作业：

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)kk＞且不 过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E， 射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm. . ... .

.. wd .. （Ⅰ）求22mk的最小值；

（Ⅱ）若2OGOD∙OE，求证：直线l过定点；

解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)lykxnn,

由2213ykxnxy消y得:222(13)6330kxknxn,

2222364(13)3(1)knkn×2212(31)0kn

设A11(,)xy、B22(,)xy,AB的中点E00(,)xy,则由韦达定理得:

12xx=2613knk,即02313knxk,002313knykxnknk213nk,

所以中点E的坐标为23(,13knk2)13nk,

因为O、E、D三点在同一直线上，

所以OEODkK，即133mk， 解得1mk，

所以22mk=2212kk,当且仅当1k时取等号, 即22mk的最小值为2.

（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为3myx,

所以由22313myxxy得交点G的纵坐标为223Gmym,

又因为213Enyk,Dym,且2OGOD∙OE，所以222313mnmmk,

又由（Ⅰ）知: 1mk,所以解得kn,所以直线l的方程为:lykxk,

即有:(1)lykx, 令1x得,y=0,与实数k无关,

所以直线l过定点(-1,0).

2. 已知点N为曲线24(0)yxx上的一点， 若(4,0)A，是否存在垂直x轴的直线l 被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在， 请说明理由．

解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为xa，

以AN为直径的圆交l于,CD两点，CD的中点为H．

.

... .

.. wd .. 2211(4)22CBANxy， 412422xBHaxa

22222211[(4)](24)44CHCBBHxyxa

221[(412)416](3)44axaaaxaa

所以，令3a，则对任意满足条件的x，

都有29123CH（与x无关）， 即23CD为定值．

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圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法

一、常用方法技巧

1、参数无关法

把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

2、特殊到一般法

根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

3、关系法

对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

二、手电筒模型解题步骤

1、概念：只要任意一个限定AP与BP条件（如APBPkk定值，+APBPkk定值），直线AB依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。

2、解题步骤：

第一步：由AB直线ykxm，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

第二步：由AP与BP关系，得到一次函数kfm或mfk；

第三步：将kfm或mfk代入ykxm，得到yykxx定定.

三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤

第一步：设其中一条直线的斜率为1k，求出直线方程；

第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；

第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；

第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。

四、圆锥曲线的切点弦方程

1、过抛物线220ypxp外一点00,Mxy作抛物线的切线，切点弦方程为00yypxx； 2、过椭圆222210xyabab外一点00,Mxy作椭圆的切线，切点弦方程为00221xxyyab；

专题01 圆锥曲线中的定点、定值问题

专题01 圆锥曲线中的定点、定值问题

高二 | 数学

高

中

数

学

︵

圆

锥

曲

线

︶ 培

优

篇

1

解析几何中的定点、定值问题一直是高考中值得关注的问题．它的基本形式是在若干个

相关个几何量转化，某些量却是恒定不变的．解答途径是用部分量去表示要求的量，即建立

适当的函数（或方程）关系，最后证明函数值是定值或某个定点坐标适合方程．

定点、定值问题

曲线过定点 某个量为定值

用参数表示曲线方程 用参数表示该量

令参数系数为0或某值，

解出相应的x、y的值 令参数系数为0或某值

化简使该量为定值

选参、用参、消参，求出定点或定值

例1 如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A、

B、C，其中点A、B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）

A．1

1BF

AF

 B．2

21

1BF

AF

 C．1

1BF

AF

 D．2

21

1BF

AF

CBF

Oy

A

x动中不动是为定

变化之中理辩清

直接计算求定值

含参系数令其零 专题01 圆锥曲线中的定点、定值问题 高

中

数

学

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圆

锥

曲

线

︶ 培

优

篇

2

例2 已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2=1(a>b>0)，

四点P

1(1，1)，P

2（0，1），P

3（－

1，3

2），

P

4（1，3

2），中恰有三点在椭圆 C

上．

（1）求C 的方程；

（2）设直线l不经过P

2点且与C相交于A、B 两点．若直线P

2A与直线P

2B的斜率

的和为－1，证明：l过定点． 高二 | 数学 高

中

数

学

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圆

锥

曲

线

︶ 培

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3

例3 在直角坐标系xOy中，曲线y=x2＋mx－2与x轴交于A、B 两点，点C的坐标

为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A、B 、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 专题01 圆锥曲线中的定点、定值问题 高

中

数

学

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圆

锥

曲

线

︶ 培

优

篇

4

例4 已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2=1(a>b>0)的离心率为3

第八节 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值问题

第八节 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值问题

第二课时 圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点与定值问题是高考命题的热点，在考查曲线运动变化时经常会涉及探究定点或定值问题，这类问题考查范围广泛，命题形式也较为新颖．

[真题案例]

(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

[思维导引]

理解题意 条件：(1)椭圆的方程，AG→·GB→＝8，P为直线x＝6上的动点，直线PA，PB与椭圆都有交点.

结论：(1)求椭圆方程；(2)直线CD过定点．

思路探求 (1)根据向量数量积为8求出a的值，确定椭圆方程；

(2)设P(6，t)，分t≠0和t＝0两种情况讨论．当 t≠0时，设出直线CD的方程为x＝my＋n，同时写出直线PA和PB的方程，分别将C，D两点坐标代入，构造C、D两点坐标之间的关系3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)，再将D点坐标代入椭圆方程，通过变量代换得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0(*)；将直线CD的方程代入椭圆方程，用m，n表示y1＋y2, y1y2，代入(*)，求出n的值，证明直线CD过定点．再讨论t＝0时的情形，最后得到结论.

[解] (1)由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)，则AG→＝(a，1)，GB→＝(a，－1)．

由AG→·GB→＝8得a2－1＝8，即a＝3.

关键点：熟练应用平面向量数量积的坐标运算

所以椭圆E的方程为x29＋y2＝1.

(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)． 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知

－3

技巧点：此种设法避免了直线斜率不存在的情况

由于直线PA的方程为y＝t9(x＋3)，所以y1＝t9(x1＋3)．

圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题

引入：已知椭圆22195xy，过左焦点作不垂直与X轴的弦交于椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交X轴于M点，则 :MFAB的值为 （ ）

A．12 B. 13 C. 23 D. 14

例1.已知椭圆方程2212xy，过点1(0,)3S的动直线l交该椭圆于A、B两点，试问：在坐标平面内是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T，若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由。

解：假设满足条件的T存在。

当直线l与X轴平行时，以AB为直径的圆方程为22116()39xy；

当直线l与Y轴重合时，以AB为直径的圆方程为221xy，以上两圆方程联立解得01xy 即(0,1)T是满足条件的必要条件。下面证明其充分性：

若存在(0,1)T，对过S点不与坐标轴平行的直线设为1(0)3ykxk，把它代入椭圆方程：22220xy，得到：22416(12)039kxkx，设1122(,),(,)AxyBxy，则有 1221221218916189kxxkxxk，因为1122(,1),(,1)TAxyTBxy,

212121212416(1)(,1)(1)()39TATBxxyykxxkxx=

22216(1)41216018931899kkkkk，所以TATB,即以AB为直径的圆恒过定点T。其定点T的坐标为（0，1）。

练习1、已知椭圆C：22221xyab（0ab）的右焦点F（1，0），且点2(1,)2在C上，

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知动直线L过点F，且与椭圆C交于A,B两点，试问：x轴上是否存在定点Q,使得716QAQB恒成立；若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。