数学题_2017-06-03_距离_的解法

平面几何的距离问题

当然可以，这里是根据标题“平面几何的距离问题”出的20道试题，包括选择题和填空题：

1. 什么是平面几何中的距离问题？

- A. 计算两点之间的距离

- B. 计算直线与点之间的距离

- C. 计算平行线之间的距离

- D. 计算平面图形的周长

2. 在直角坐标系中，点A(3, 4)和点B(7, 1)之间的距离是多少？

3. 若已知直线的方程为 \(2x - 3y + 6 = 0\)，点(1, 2)到该直线的距离为多少？

4. 如果两条平行直线的距离为3个单位，它们的斜率分别为2和3，那么这两条直线的方程分别是什么？

5. 在一个三角形ABC中，顶点A(1, 2)、B(4, 5)、C(7,

1)，求顶点A到顶点B的距离。 6. 如果一个矩形的长是5个单位，宽是3个单位，那么它的周长是多少？

7. 给出一个直径为10个单位的圆的半径。

8. 如果直线L的斜率为-2，且过点(3, 4)，求直线L的方程。

9. 在一个坐标平面上，点P(2, 3)到点Q(5, 7)的距离是多少？

10. 若一个正方形的边长为6个单位，那么它的面积是多少？

11. 若已知一个椭圆的长轴长度为10个单位，短轴长度为6个单位，求其周长。

12. 在一个等边三角形ABC中，若AB的边长为8个单位，求顶点C到线段AB的距离。

13. 给出点A(1, 2)和点B(5, 6)之间的中点坐标。

14. 在一个直角三角形中，已知斜边为10个单位，一直角边为6个单位，求另一直角边的长度。 15. 若已知一个平行四边形的对角线长度分别为8个单位和10个单位，求平行四边形的面积。

16. 在一个平行四边形中，若两个相对边的长度分别为6个单位和8个单位，求其对角线的长度。

17. 给出点A(3, 4)到点B(7, 1)的向量表示。

18. 若已知点A(1, 2)和点B(5, 6)之间的距离为5个单位，求这两点之间的中点坐标。

导数中的“距离”问题

类型一一直一曲型距离问题

例1.已知函数22)()()(

ea

eaxxfx

，若存在实数

0x使得不等式

14

)(

20



exf成立，

则实数a的取值范围为

解法1：（几何意义）设点),(),,(

ea

aQexPx

，则)(xf的几何意义是点QP,间距离的平方，即2

)(PQxf，其中点P在曲线xey上，点Q在直线l：

ex

y即0eyx上

方法1：（切线法）设直线'l∥l且与曲线xey相切，切点为),(memA，xey'，所以

eem1

，解得1m，所以)1

,1(

eA，进而

14

)

12

()()(

22

2min2

min





e

ePQxf，即

14

)(

2



exf，要使存在实数

0x使得不等式

14

)(

20



exf成立，则

14

)(

20



exf，此

时1

0x，11



ek

AQ即11

11





eaea

e，解得

11

22





ee

a

方法2：（点到直线的距离公式）

22

22

21

2

214

)

111

()

1()

1()(

e

exx

exe

eeex

xfxx















，

当且仅当1x且lPQ时等号成立，此时)1

,1(

eP，e

aea

e

k

PQ





11

11

22





ee

a

解法2：（权方和不等式）易知1xex

，所以21

xex

当且仅当1x时等号成立

2221

221

1221

12

22

14

1)(

1)(

)()(

1)(

)()()(

eexe

eaeax

eaeax

ea

eaxxfxxx

x













当且仅当

21

11

eaexx





且1x即1x，

11

22





ee

a时等号成立

又存在实数

0x使

14

)(

20



exf成立，所以

14

)(

20



exf，所以1

0x，

11

22





ee

a

方法小结：权方和不等式：设),,3,2,1(0,niba

ii

（1）若0m或1m，则

m

nm

n

m

nm

n

mm

mm

bbbaaa

ba

ba

ba

)()(

211

运用两点间的距离公式求最值

两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．

一、求函数的最值

例１ 求函数224131026yxxxx的最小值．

分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：2222(2)(03)(5)(01)yxx，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．

解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），(51)N，，(0)Px，．

则2222(2)(03)(5)(01)yxx

MPPNMN≥

22(52)(13)5，

即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），

∴min5y．

评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．

例2 求函数22222222()(1)(1)(1)(1)fxyxyxyxyxy，的最小值．

分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．

解：如图2， ()fxy，表示在平面直角坐标系中的动点()Pxy，到定点(00)A，，(10)B，，(01)C，，(11)D，的距离之和．

而APD△中，PAPDAD≥，当且仅当

点P在线段AD上时等号成立；CPB△中，PCPBBC≥，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，

所以22PAPDPCPBADBC≥，当且仅当点Ｐ为AD与BC的交点时， f（x，y）取得最小值22，此时点P的坐标为11,22．

探索篇誗方法展示

初中数学中，几何最短距离问题一直是重点题型之一，主要

考查学生的综合运用能力，现以近几年常见的试题为例，介绍一

些常用的方法。

一、利用“两点之间，线段最短”求最值

例题1：如图1，已知A、B两点在直线l同侧，在

直线l上找一点P，使得PA+PB最小。

解：作点A关于直线l的对称点A忆，连接A忆B交

直线l于点P，则点P即为所求的点（如图2）。

几何最值问题通常为最短路线问题的引申，会与

三角形、正方形、圆等图形结合，通过几何变换，找到

关于动点所在直线的对称点，运用数形结合思想解决

问题，这类题解答的关键在于“平面内两点之间线段

最短”这一基本原理。

例题2：如图3，在吟ABC中，AB=AC，AD、CE是

吟ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则哪条线段

的长度等于BP+EP最小值？

解：连接PC（如图4），

疫AB=AC，BD=CD

亦AD彝BC

亦PB=PC

亦PB+PE=PC+PE

疫PE+PC逸CE

亦P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE

的长度。

例题3：如图5所示，正方形ABCD的面积为12，

吟ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对

角线AC上有一点P，求PD+PE的最小值。

解：设BE与AC相交于点F（P忆），连接BD（如图6）；

疫点B与点D关于AC对称

亦P忆D=P忆B

亦P忆D+P忆E=P忆B+P忆E=BE最小

即P在AC与BE交点处时，PD+PE最小，为BE

的长度。

疫正方形ABCD的面积为12

亦AB=23姨

疫吟ABE是等边三角形

亦BE=AB=23姨

即PD+PE最小值为23姨。

由以上例题可知，解决这类最值问题，要认识到动点所在直

线为对称轴，轴对称的作用在于改变点的位置关系，利用轴对称

的性质和两点之间线段最短解决问题。当所求最小距离的两个点

不在同一平面内时，则需要通过将曲面进行铺平处理，先求平面

展开图，将曲面问题转换为平面问题。

例题4：如图7，圆柱的底面周长是14，圆柱高

为24，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点