2012年中考数学试题汇编之平行四边形试题及答案

2012年北京市中考数学试卷及答案讲解一.选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1、-9的相反数是（）A、- 19B、19C、-9D、9【解析】正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，两数互为相反数，两数之和为零. 【考点】相反数。

【难度】容易【点评】本题考查相反数的基本概念，这种题型的题目在北京近年中考一般会考，该题目在初三强化提高班专题讲座第一章数与式第01讲实数部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

【解析】正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，两数互为相反数，两数之和为零.故本题答案选D.2、首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交金额达60 110 000 000美元.将60.110 000.000 用科学记数法表示应为（）Ａ、6.011×109 B、60.11×109 C、6.011×1010 D、0.6011×1011【考点】科学记数法与有效数字。

【难度】容易【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．该题目在初三强化提高班专题讲座第一章数与式第02讲科学计数法部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查知识点完全相同。

【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于60 110 000 000有11位，所以可以确定n＝11﹣1＝10．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．60 110 000 000≈6.011×1010．故本题答案选C．3、正十边形的每个外角等于（）Ａ、18°B、36°C、45°D、60°【考点】正多边形的内外角度数。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题43：平行四边形一、选择题1. 2012广东佛山3分依次连接任意四边形各边的中点,得到一个特殊图形可认为是一般四边形的性质,则这个图形一定是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形答案 A;考点三角形中位线定理,平行四边形的判定;分析根据题意画出图形,如右图所示：连接AC,∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H,∴HG∥AC,HG=12AC,EF∥AC,EF=12AC;∴EF=GH,EF∥GH;∴四边形EFGH是平行四边形;由于四边形EFGH是平行四边形,它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形,所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立,从而得不到矩形或菱形的判断;故选A;2. 2012浙江杭州3分已知平行四边形ABCD中,∠B=4∠A,则∠C=A．18°B．36°C．72°D．144°答案B;考点平行四边形的性质,平行线的性质;分析由平行四边形性质求出∠C=∠A,BC∥AD,推出∠A+∠B=180°,求出∠A的度数,即可求出∠C：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A,BC∥AD;∴∠A+∠B=180°;∵∠B=4∠A,∴∠A=36°;∴∠C=∠A=36°;故选B;3. 2012湖北武汉3分在面积为15的平行四边形ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线CD于点F,若AB＝5,BC＝6,则CE＋CF的值为A．11＋1132B．11－1132C ．11＋1132或11－1132D ．11－1132或1＋32答案C; 考点平行四边形的性质和面积,勾股定理;分析依题意,有如图的两种情况;设BE=x,DF=y;如图1,由AB ＝5,BE=x,得222AE AB BE 25x =-=-;由平行四边形ABCD 的面积为15,BC ＝6,得2625x =15-,解得53x=2±负数舍去; 由BC ＝6,DF=y,得222AF AD DF 36y =-=-;由平行四边形ABCD 的面积为15,AB ＝5,得2536y =15-,解得y=33±负数舍去;∴CE＋CF=6－532＋5－33=11－1132; 如图2,同理可得BE= 532,DF=33; ∴CE＋CF=6＋532＋5＋33=11＋1132; 故选C;4. 2012湖南益阳4分如图,点A 是直线l 外一点,在l 上取两点B 、C,分别以A 、C 为圆心,BC 、AB 长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB 、AD 、CD,则四边形ABCD 一定是A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形答案A;考点作图复杂作图,平行四边形的判定;分析∵别以A 、C 为圆心,BC 、AB 长为半径画弧,两弧交于点D,∴AD=BC,AB=CD;∴四边形ABCD 是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形;故选A;5. 2012四川广元3分 若以A,0,B2,0,C0,1三点为顶点要画平行四边形,则第四个顶点不可能在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案C;考点平行四边形的判定,坐标与图形性质;分析根据题意画出图形,如图所示：分三种情况考虑：①以CB 为对角线作平行四边形ABD 1C,此时第四个顶点D 1落在第一象限；②以AC 为对角线作平行四边形ABCD 2,此时第四个顶点D 2落在第二象限；③以AB 为对角线作平行四边形ACBD 3,此时第四个顶点D 3落在第四象限;则第四个顶点不可能落在第三象限;故选C;6. 2012四川德阳3分 如图,点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点,点F 是边BC 上的一个动点不与点B 重合.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF,又AP BE 点P 、E 在直线AB 的同侧,如果BD B 14A =,那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为A.41B.53C.51D.43 答案D;考点平行四边形的判定和性质;分析过点P 作PH∥BC 交AB 于H,连接CH,PF,PE;∵APBE,∴四边形APEB 是平行四边形;∴PE AB;, ∵四边形BDEF 是平行四边形,∴EFBD; ∴EF∥AB;∴P,E,F 共线;设BD=a,∵1BD AB 4=,∴PE=AB=4a;∴PF=PE﹣EF=3a; ∵PH∥BC,∴S △HBC =S △PBC ;∵PF∥AB,∴四边形BFPH 是平行四边形;∴BH=PF=3a;∵S △HBC ：S △ABC =BH ：AB=3a ：4a=3：4,∴S △PBC ：S △ABC =3：4;故选D;7. 2012四川巴中3分不能判定一个四边形是平行四边形的条件是A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行,另一组对边相等C. 一组对边平行且相等D. 两组对边分别相等答案B;考点平行四边形的判定分析根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; A、D、C均符合是平行四边形的条件,B则不能判定是平行四边形;故选B;8. 2012四川自贡3分如图,在平行四边形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 答案B;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定和性质;分析∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠DAE=∠AEB;∴∠BAE=∠BEA;∴AB=BE=3;∴EC=AD﹣BE=2;故选B;答案D;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,AD=BC;∴∠AEB=∠E BC;又BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC;∴∠ABE=∠AEB;∴AB=AE;同理可得：DC=DF;∴AE=DF;∴AE－EF=DE－EF,即AF=DE;当1EF AD4=时,设EF=x,则AD=BC=4x;∴AF=DE=14AD－EF=;∴AE=AB=AF+EF=;∴AB：BC=：4=5：8;∵以上各步可逆,∴当AB：BC=：4=5：8时,1EF AD4=;故选D;10. 2012山东聊城3分如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE答案C;考点平行四边形的性质,全等三角形的判定;分析根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：A、当DF=BE时,由平行四边形的性质可得：AB=CD,∠B=∠D,利用SAS可判定△CDF≌△ABE；B、当AF=CE时,由平行四边形的性质可得：BE=DF,AB=CD,∠B=∠D,利用SAS可判定△CDF≌△ABE；C、当CF=AE时,由平行四边形的性质可得：AB=CD,∠B=∠D,利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；D、当CF∥AE时,由平行四边形的性质可得：AB=CD,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,利用AAS可判定△CDF≌△ABE;故选C;11. 2012山东泰安3分如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为A．53°B．37°C．47°D．123°答案B;考点平行四边形的性质,对项角的性质,平行的性质;分析设CE与AD相交于点F;∵在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,∴∠E=90°,∵∠EAD=53°,∴∠EFA=90°﹣53°=37°;∴∠DFC=37∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC;∴∠BCE=∠DFC=37°;故选B;12. 2012广西南宁3分如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm答案C;考点平行四边形的性质,三角形三边关系;分析∵平行四边形ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm, ∴OA=OC=12AC 平行四边形对角线互相平分, BC －AB ＜AC ＜BC ＋AB 三角形三边关系,即2cm ＜AC ＜8cm;∴1cm＜OA ＜4cm;故选C;13. 2012内蒙古包头3分如图,过口ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ,那么图中的口AEMG 的面积S 1 与口HCFG 的面积S 2的大小关系是A .S 1 > S 2 < S 2 C .S 1 = S 2 = S 2答案C;考点平行四边形的判定和性质;分析易知,四边形BHME 和MFDG 都是平行四边形;∵平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形,∴ABD BCD EBM BHM GMD DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，，;∴ABD EBM GMD BCD BHM DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=--,即S 1 = S 2;故选C;14. 2012黑龙江绥化3分如图,在平行四边形ABCD 中,E 是CD 上的一点,DE ：EC=2：3,连接AE 、BE 、BD,且AE 、BD 交于点F,则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =A ．2：5：25B ．4：9：25C ．2： 3：5D ．4：10：25答案D;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质;分析由DE ：EC=2：3得DE ：DC=2：5,根据平行四边形对边相等的性质,得DE ：AB=2：5 由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA∴DF：FB= DE ：AB=2：5,S △DEF ：S △ABF =4：25;又∵S △DEF 和S △EBF 是等高三角形,且DF ：FB =2：5,∴S △DEF ：S △EBF =2：5=4：10;∴S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =4：10：25;故选D;二、填空题1. 2012广东汕头4分如图,在 ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 ▲ 结果保留π．答案133π-;考点平行四边形的性质,扇形面积的计算分析过D点作DF⊥AB于点F;∵AD=2,AB=4,∠A=30°,∴DF=AD sin30°=1,EB=AB﹣AE=2;∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积=230211 4121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-;2. 2012浙江衢州4分如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE．若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为▲ 用a的代数式表示．答案12a;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF;∴S△DEF：S△CE B=DE：CE2,S△DEF：S△ABF=DE：AB2,∵CD=2DE,∴DE：CE=1：3,DE：AB=1：2,∵S△DEF=a,∴S△CBE=9a,S△ABF=4a,∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a;∴S ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a;3. 2012江苏南京2分如图,在平行四边形ABCD中,AD=10cm,CD=6cm,E为AD上一点,且BE=BC,CE=CD,则DE= ▲ cm答案;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD是平行四边形,AD=10cm,CD=5cm,∴BC=AD=10cm,AD∥BC,∴∠2=∠3;∵BE=BC,CE=CD,∴BE=BC=10cm,CE=CD=5cm,∠1=∠2,∠3=∠D;∴∠1=∠2=∠3=∠D;∴△BCE∽△CDE;∴BC CECD DE=,即1055DE=,解得DE=;4. 2012江苏镇江2分如图,E是平行四边形ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AD=4,CE1AB3=,则CF的长为▲ ;答案2;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质的;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,BC=AD=4;∴△CEF∽△ABF;∴CE CF AB BF =; 又∵CE 1AB 3=,BF=BC+CF=4+ CF,∴CF 14CF 3=+,解得CF=2; 5. 2012湖北鄂州3分如图,ABCD 中,AE⊥BC 于E,AF⊥CD 于F,若AE=4,AF=6,sin∠BAE=31,则CF= ▲ .考点平行四边形的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,相似三角形的判定和性质;分析由AE⊥BC 和sin∠BAE=13,得BE 1AB 3=;∴可设BE=k,则AB=3k;∵AE=4,∴根据勾股定理得222AB AE BE =+,即()2223k 4k =+,解得;;∵四边形ABCD ,∠D=∠B;又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AFD=∠AEB=900;∴△AFD∽△AEB;∴DF AF BE AE=;64=,解得DF DF= =6. 2012湖南永州3分如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O 作OE⊥BD 交BC 于点E ．若△CDE 的周长为10,则平行四边形ABCD 的周长为 ▲ ．答案20;考点平行四边形的性质,线段垂直平分线的性质;144482分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC 平行四边形对边相等,对角线互相平分;∵OE⊥BD,∴BE=DE 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;∵△CDE 的周长为10,即CD+DE+EC=10,∴平行四边形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=2BC+CD=2BE+EC+CD=2DE+EC+CD=2×10=20;7. 2012湖南怀化3分如图,在ABCD 中,AD=8,点E 、F 分别是BD 、CD 的中点,则EF=▲ .答案4;考点平行四边形的性质,三角形中位线定理;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=8;∵点E 、F 分别是BD 、CD 的中点,∴EF=12BC=12×8=4; 8. 2012湖南湘潭3分如图,在ABCD 中,点E 在DC 上,若EC ：AB=2：3,EF=4,则BF=▲ ． 答案6;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD;∴∠CAB=∠ACD,∠ABE=∠BEC; ∴△ABF∽△CEF;∴AB BF CE EF=, 又∵EC：AB=2：3, EF=4,∴3BF 24=,解得BF=6; 9. 2012四川成都4分如图,将ABCD 的一边BC 延长至E,若∠A=110°,则∠1= ▲ ．答案70°;考点平行四边形的性质,平角的性质; 分析∵平行四边形ABCD 的∠A=110°,∴∠BCD=∠A=110°;∴∠1=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°;10. 2012辽宁本溪3分如图,在□ABCD 中,∠ABC 的平分线BE 交AD 边于点E,交对角线AC 于点F,若AB 3BC 5=,则AF AC = ▲ ; 答案38; 考点平行四边形的性质,平行的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∠EBC=∠AEB;∵BE 是∠ABC 的角平分线,∴∠EBC=∠AEB=∠ABE,AB=AE; ∵AB 3BC 5=,∴AE 3BC 5=; ∵AD∥BC,∴△AFE∽△CFB;∴AE AF 3BC FC 5==;∴AF 3AF FC 8=+;∴AF 3AC 8=; 11. 2012贵州黔西南3分如图,在△ABC 中,∠ACB＝90°,D 是BC 的中点,DE⊥BC,CE2012山东烟台3分ABCD中,已知点A﹣1,0,B2,0,D0,1．则点C的坐标为▲ ．答案3,1;考点平行四边形的性质,坐标与图形性质;分析画出图形,根据平行四边形性质求出DC∥AB,DC=AB=3,根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案：∵平行四边形ABCD中,已知点A﹣1,0,B2,0,D0,1,∴AB=CD=2﹣﹣1=3,DC∥AB;∴C的横坐标是3,纵坐标和D的纵坐标相等,是1;∴C的坐标是3,1;13. 2012吉林长春3分如图,ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上,点B与点E、F不重合．若△ACD的面积为3,则图中的阴影部分两个三角形的面积和为▲ .答案3;考点平行四边形和矩形的性质;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴△ACD的面积=△ACB的面积;又∵△ACD的面积为3,∴△ACB的面积为3;∵△ACB的面积矩形AEFC的面积的一半, ∴阴影部分两个三角形的面积和=△ACB的面积=3; 14. 2012黑龙江龙东地区3分如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件使四边形AECF是平行四边形只填一个即可;答案AF=CE答案不唯一;考点平行四边形的判定和性质;分析根据平行四边形性质得出AD∥BC,AF=CE,得出AF∥CE;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定,可添加AF=CE 或FD=EB;根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义,可添加AE∥FC;添加∠AEC=∠FCA 或∠DAE=∠DFC 等得到AE∥FC,也可使四边形AECF 是平行四边形;三、解答题1. 2012北京市5分已知：如图,点E,A,C 在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD．求证：BC=ED.答案证明：∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD,∵在△BAC 和△E CD 中,AB=EC,∠BAC=∠ECD ,AC=CD,∴△BAC≌△ECDSAS;∴CB=ED;考点平行线的性质,全等三角形的判定和性质;分析首先由AB∥CD,根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD,再由条件AB=CE,AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等,再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED;2. 2012陕西省6分如图,在ABCD 中,∠ABC 的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ．1求证：AB=AF ；2当AB=3,BC=5时,求AE AC 的值． 答案解：1证明：如图,在ABCD 中,AD∥BC, ∴∠2=∠3;∵BF 是∠ABC 的平分线,∴∠1=∠2;∴∠1=∠3;∴AB=AF;2∵AEF CEB 23∠=∠∠=∠，,∴△AEF∽△CEB;∴AE AF 3EC BC 5==, ∴AE 3AC 8=; 考点平行四边形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性质;分析1由在ABCD 中,AD∥BC,利用平行线的性质,可求得∠2=∠3,又由BF 是∠ABC 的平分线,易证得∠1=∠3,利用等角对等边的知识,即可证得AB=AF;2易证得△AEF∽△CEB,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得AE AC的值; 3. 2012广东省6分已知：如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,对角线AC 、BD 相交于点O,BO=DO ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．答案证明：∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,在△ABO 与△CDO 中,∵∠ABO=∠CDO,BO=DO,∠AOB=∠COD,∴△ABO≌△CDOASA;∴AB=CD;∴四边形ABCD是平行四边形;考点平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定;分析根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO,再由BO=DO,∠AOB=∠COD,即可根据ASA得出△ABO≌△CDO,故可得出AB=CD,从而根据一组对边平行且相等的四边是平行四边形的判定得出结论;4. 2012广东湛江8分如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF．求证：1△ABE≌△CDF；2四边形BFDE是平行四边形．答案证明：1∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CD FSAS;2∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC;∵AE=CF,∴AD﹣AE=BC﹣CF,即DE=BF;∴四边形BFDE是平行四边形;考点平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定;分析1由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF;2由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC,又由AE=CF,即可证得DE=BF;根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形;5. 2012浙江湖州8分已知：如图,在ABCD中,点F在AB的延长线上,且BF=AB,连接FD,交BC于点E．1说明△DCE≌△FBE的理由；2若EC=3,求AD的长．答案1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC;∴∠CDE=∠F;又∵BF=AB,∴DC=FB;在△DCE和△FBE中,∵ ∠CDE=∠F,∠CED=∠BEF, DC=FB,∴△DCE≌△FBEAAS;2解：∵△DCE≌△FBE,∴EB=EC;∵EC=3,∴BC=2EB=6;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC;∴AD=6;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析1由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等,即可得AB=DC,AB∥DC,继而可求得∠CDE=∠F,又由BF=AB,即可利用AAS,判定△DCE≌△FBE;2由1,可得BE=EC,即可求得BC的长,又由平行四边形的对边相等,即可求得AD的长;6. 2012浙江衢州6分如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系并对你的猜想加以证明．答案解：猜想：AE=CF;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD;∴∠ABE=∠CDF;在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,∴△ABE≌△CDFSAS,∴AE=CF;考点平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质; 分析由四边形ABCD是平行四边形,即可得AB∥CD,AB=CD,然后利用平行线的性质,求得∠ABE=∠CDF,又由BE=DF,即可由SAS证得△ABE≌△CDF,从而可得AE=CF;7. 2012江苏淮安8分已知：如图在平行四边形ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F;求证：△BEF≌△CDF答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB; ∴∠CDF=∠B,∠C=∠FBE;又∵BE=AB,∴BE=CD;∵在△BEF和△CDF中,∠CDF=∠B,BE=CD,∠C=∠FBE,∴△BEF≌△CDFASA;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定;分析根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD,AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠C=∠FBE,然后利用ASA证明即可;8. 2012江苏泰州10分如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．答案证明：∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠EAD=∠CFB=90°;∵AE∥CF,∴∠AED=∠CFB;在Rt△AED和Rt△CFB中,∵∠EAD=∠CFB=90°,∠AED=∠CFB, AE=CF,∴Rt△AED≌Rt△CFBASA;∴AD=BC;又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形;考点平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定;分析由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°,根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB,得到AD=BC,根据平行四边形的判定判断即可;9. 2012江苏无锡8分如图,在ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC;∴∠B=∠DCF;∵在△ABE和△DCF中,AB=DC,∠B=∠DCF,BE=CF,∴△ABE≌△DCFSAS;∴∠BAE=∠CDF;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形的性质可得AB=DC,AB∥DC,再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF,即可由SAS证明△ABE≌△DCF,再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论;10. 2012江苏徐州6分如图,C为AB的中点;四边形ACDE为平行四边形,BE与CD相交于点F;求证：EF=BF;答案证明：∵四边形ACDE为平行四边形,∴ED=AC,ED∥AC;∴∠D=∠FCB,∠DEF=∠B;又∵C为AB的中点,∴AC=BC;∴ED=BC;在△DEF和△C BF中,∵∠D=∠FCB,ED=BC,∠DEF=∠B,∴△DEF≌△CBFSAS;∴EF=BF;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形对边平行且相等的性质,易用SAS证明△DEF≌△CBF,从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得EF=BF;11. 2012福建厦门10分已知ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点P在边AD上,过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为E、F,PE＝PF．1如图,若PE＝错误!,EO＝1,求∠EPF的度数；2若点P是AD的中点,点F是DO的中点,BF ＝BC＋3错误!－4,求BC的长．答案解：1连接PO ,∵ PE＝PF,PO＝PO,PE⊥AC、PF⊥BD,∴ Rt△PEO≌Rt△PFOHL;∴∠EPO＝∠FPO;在Rt△PEO中, tan∠EPO＝错误!＝错误!,∴ ∠EPO＝30°;∴ ∠EPF＝60°;2∵点P是AD的中点,∴ AP＝DP;又∵ PE＝PF,∴ Rt△PEA≌Rt△PFDHL;∴∠OAD＝∠ODA;∴ OA＝OD;∴ AC＝2OA＝2OD＝BD;∴ABCD是矩形;∵ 点P是AD的中点,点F是DO的中点,∴ AO∥PF;∵ PF⊥BD,∴ AC⊥BD;∴ABCD是菱形;∴ABCD是正方形;∴ BD＝错误!BC;∵ BF＝错误!BD,∴BC＋3错误!－4＝错误!BC,解得,BC＝4;考点平行四边形的性质,角平分线的性质,三角形中位线定理,全等三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,锐角三角函数定义;分析1连接PO,利用解直角三角形求出∠EPO=30°,再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等,根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO,从而得解;2根据条件证出 ABCD是正方形;根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解; 12. 2012福建莆田8分如图,四边形ABCD是平行四边形,连接AC．14分请根据以下语句画图,并标上相应的字母用黑色字迹的钢笔或签字笔画．①过点A画AE⊥BC于点E；②过点C画CF∥AE,交AD于点F；24分在完成1后的图形中不再添加其它线段和字母,请你找出一对全等三角形,并予以证明．答案解：1画图如下：2△ABC≌△CDA ;证明如下：∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB＝CD,BC＝DA;又∵ AC＝CA,∴△ABC≌△CDASSS;考点作图复杂作图,平行四边形的性质,全等三角形的判定;分析1根据语句要求画图即可;2首先根据平行四边形的性质和AE∥CF,可得①△ABC≌△CDA,②△AEC≌△CFA,③△ABE≌△CDF;下面给出其它两个的证明：②△AEC≌△CFA;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC;∴ ∠DAC＝∠ACE;∵AE∥CF,∴ ∠EAC＝∠ACF;∵AC=CA,∴ △AEC≌△CFAASA;③△ABE≌△CDF;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,∠B＝∠D,AB ＝CD ;又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形;∴∠AEC＝∠AFC;∴∠AEB＝∠CFD;∴△ABE≌△CDFAAS;13. 2012福建南平8分如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E、F分别在边BC、AD上,连接AE、CF,请再从下列三个备选条件中,选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形,并予以证明, 备选条件：AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD,我选择添加的条件是：注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明答案解：添加的条件可以是BE=DF答案不唯一;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC;∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE;∴四边形AECF是平行四边形;考点平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行的判定和性质;分析根据平行四边形性质得出AD∥BC,AD=BC,求出AF∥CE,AF=CE,根据平行四边形的判定推出即可;当AE=CF时,四边形AECF可能是平行四边形,也可能是等腰梯形;当∠AEB=∠CFD时,四边形AECF也是平行四边形,证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D;∵∠AEB=∠CFD,∴△AEB≌△CFDAAS;∴AE=CF;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠AEB=∠EAF;∴∠CFD=∠EAF;∴AE∥FC;∴四边形AECF是平行四边形;14. 2012福建泉州9分如图,BD是平行四边形ABCD的一条对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,求证∠DAE=∠BCF.答案证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC平行四边形对边平行且相等∴∠ADB=∠CBD两直线平行,内错角相等;∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°垂直的定义;在△ADE和△CBF中,∵∠ADB=∠CBD,∠AED=∠CFB,AD=CB,∴△ADE≌S△CBFAAS;∴∠DAE=∠BCF全等三角形的对应角相等;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析由四边形ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等得到AD=BC,AD与BC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由AE⊥BD,CF⊥BD得到一对直角相等,利用AAS可得出三角形ADE与三角形CBF全等,利用全等三角形的对应角相等可得出∠DAE=∠BCF,得证;15. 2012湖北黄石7分如图,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证：∠DAE=∠BCF.答案证明：∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC;∴∠ADE=∠BCF;又∵BE=DF, ∴BF=DE;∴△ADE≌△CBFSAS;∴∠DAE=∠BCF ;考点平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形性质求出AD∥BC,且AD=BC,推出∠ADE=∠CBF,求出DE=BF,由SAS证△ADE≌△CBF,推出∠DAE=∠BCF即可;16. 2012湖南郴州8分已知：点P是ABCD的对角线AC的中点,经过点P的直线EF交AB于点E,交DC 于点F．求证：AE=CF．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠PAE=∠PCF;∵点P是ABCD的对角线AC的中点,∴PA=PC;在△PAE和△PCE中,∵∠PAE=∠PCF,PA=PC,∠APE=∠CPF,∴△PAE≌△PCEASA;∴AE=CF;考点平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质;分析由四边形ABCD是平行四边形,易得∠PAE=∠PCF,由点P是 ABCD 的对角线AC的中点,可得PA=PC,又由对顶角相等,可得∠APE=∠CPF,即可利用ASA证得△PAE≌△PCF,即可证得AE=CF;17. 2012四川广安6分如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证：△AEF≌△DFC．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD; ∴∠D=∠EAF;∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AD﹣AF=BE﹣AB,即DF=AE;在△AEF和△DFC中,∵AE=DF,∠EAF=∠D,AF=DC,∴△AEF≌△DFCSAS,考点平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定;分析由四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质,即可得AB=CD,AB∥CD,又由平行线的性质,即可得∠D=∠EAF,然后由BE=AD,AF=AB,求得AF=CD,DF=AE,从而由SAS证得;18. 2012辽宁鞍山8分如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上,DG=DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连接FP,EP．求证：FP=EP．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠DGC=∠GCB,∵DG=DC,∴∠DGC=∠DCG;∴∠DCG=∠GCB;∵∠DCG+∠DCP=180°,∠GCB+∠FCP=180°,∴∠DCP=∠FCP;∵在△PCF和△PCE中,CE=CF,∠FCP=∠ECP,CP=CP,∴△PCF≌△PCESAS;∴PF=PE;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB,根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG,推出∠DCG=∠GCB,根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP,根据SAS证出△PCF≌△PCE即可;19. 2012辽宁大连9分如图,□ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且ED＝BF,EF与AC相交于点O.求证：OA＝OC.答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC;∵ED＝BF,∴AE=CF;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC;在△AOE 和△COF中,∵∠OAE=∠OCF,AE=CF,∠OEA=∠OFC,∴△AOE ≌△COFASA;∴OA＝OC;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形的性质可得AD BC;由等量减等量差相等得AE=CF；由两直线平行内错角相等得∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC;由ASA证得△AOE ≌△COF,从而根据全等三角形对应边相等的性质得OA＝OC;20. 2012辽宁沈阳10分已知,如图,在荀ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE＝CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.1求证：△AEM≌△CFN；21世纪教育网2求证：四边形BMDN是平行四边形.答案证明：1 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC ,AD∥BC;∴∠E=∠F,∠DAB=∠BCD; ∴∠EAM=∠FCN;又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFNASA;2 ∵由1△AEM≌△CFN, ∴AM=CN;又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB CD ;∴BM DN;∴四边形BMDN是平行四边形;考点平行四边形的判定和性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析1根据平行四边形的性质可得出AD∥BC,∠DAB=∠BCD,再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F,∠EAM=∠FCN,从而利用ASA可作出证明;2根据平行四边形的性质及1的结论可得BM DN,则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明;21. 2012贵州六盘水12分如图,已知E是 ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．1求证：△ABE≌△FCE．2连接AC．BF,若∠AEC=2∠ABC,求证：四边形ABFC为矩形．答案证明：1∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC;∴∠ABE=∠ECF;又∵E为BC的中点,∴BE=CE;在△ABE和△FCE中,∵∠ABE=∠FCE,BE=CE,∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△FCEASA;2∵△ABE≌△FCE,∴AB=CF;又AB∥CF,∴四边形ABFC为平行四边形;∴BE=EC,AE=EF;又∵∠AEC=2∠ABC,且∠AEC为△ABE的外角,∴∠AEC=∠ABC+∠EAB;∴∠ABC=∠EAB,∴AE=BE;∴AE+EF=BE+EC,即AF=BC;∴四边形ABFC为矩形;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形和判定,矩形的判定;分析1由ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对角相等,由E为BC的中点,得到两条线段相等,再由对应角相等,利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等;2由△ABE≌△FCE,根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF,BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角,利用外角的性质得到∠AEB等于∠ABE+∠EAB,再由∠AEC=2∠ABC,得到∠ABE=∠EAB,利用等角对等边可得出AE=BE,可得出AF=BC,利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形;22. 2012山东济南7分1如图1,在ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF．求证：DE=BF．2如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度数．答案1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,在△ADE和△CBF中,AD=CB ,∠A=∠C ,AE=CF,∴△ADE≌△CBFSAS;∴DE=BF；2解：∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C=12180°－40°=70°,又∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=12∠ABC=35°;∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=75°;考点平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质,角平分线的定义,角形的内角和定理;分析1根据四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等,在加上已知的一对边的相等,由“SAS”,证得△ADE≌△CBF,最后根据全等三角形的对应边相等即可得证;2根据AB=AC,利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数,再根据已知的BD是∠ABC的平分线,利用角平分线的定义求出∠DBC的度数,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数;23. 2012山东潍坊10分如图,已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连结AF、CE．。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE＝245ACACcos︒＝∴2AD AB AC+＝.2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB223BD AD-，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF22AB AF+3．3．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.4．（问题情境）在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-43x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222106DF CF-=-8．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB2268+10，BC＝10．∴AB＝BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即点P1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．5．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在∠的度数为______.点C'处，若42ADB=∠，则DBE（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D '=【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；【算一算】首先求出GD=9-72033=，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．【详解】 （1）如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，故答案为21．（2）【画一画】如图所示：【算一算】如3所示：∵AG=73，AD=9，∴GD=9-72033=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=203，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：22222016433 DF CD⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴BF=BC-CF=9161133-=，由翻折不变性可知，FB=FB′=11 3，∴B′D=DF-FB′=2011333-=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．6．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．7．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F．求证：AE=AF．【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE．【详解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．8．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．试题解析：（1）连接AH，如图1，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如图3，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB=kBC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2=AB 2﹣BH 2=（kBC ）2﹣（BC ）2=（k 2-）BC 2，∴AH=BH=BC ，∵OA=AE ，OH=HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH=EF ，AH ∥EF ， ∴EF ⊥BC ，BC=EF ，∴EF=BC ．考点：四边形综合题．9．已知ABC ，以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中AC AD =. （1）如图①，若AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数. （2）如图②，ABC α∠=，ACD β∠=，4BC =，6BD =.①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为______.②若改变,αβ的大小，但90αβ+=︒，ABC 的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120°；（2）55【解析】试题分析：（1）根据SAS ，可首先证明△AEC ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC 的度数；（2）①如图2，在△ABC 外作等边△BAE ，连接CE ，利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，可证∠EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt △BCE 中，由勾股定理求BE 即可；②过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE=2AH ，连接EA ，EC ．并取BE 的中点K ，连接AK ，仿照（2）利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，求得EC=DB ，利用勾股定理即可得出结论． 试题解析：解：（1）∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中{AE ABEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案为120°；（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴22EC BC-2264-∴5②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中{AB AEEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，BE=22EC BC-=25，∴AH=12BE=5，∴S△ABC=12BC•AH=25考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质10．（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时= _____ __；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=．问题2：（1）=4，．（2）PQ的最小值为．．【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值．（2）由题可知：当QP⊥AC 时，PQ最小．过点C作CD⊥AB于点D．此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=，由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=．所以=．问题2：（1）设对角线与相交于点．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由题可知：当QP⊥AB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP．所以．（2）根据题意画出图形，当AB 时，的长最小，PQ的最小值为．．试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因为∠BCA=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因为AE=nPA，所以PE==CQ=PD=AD-AP=．所以AP=．所以=．问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点．所以G是DC的中点，作QH BC，交BC的延长线于H，因为AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由图知，当AB时，的长最小，即=CH=4．易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分．但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为．．考点：1．直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质；4矩形的判定与性质．。

8．（2012 山西）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的两 边 AD．BD 上的点，EF∥AB，点 M、N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：几何概率。
解答：解：∵四边形 ABFE 内阴影部分面积= ×四边形 ABFE 面积，四边形 DCFE 内阴影部分面积= ×四 边形 DCFE 面积， ∴阴影部分的面积= ×矩形 ABCD 的面积，
16．（2012 山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图
案中阴影小三角形的个数是
．
考点：规律型：图形的变化类。
解答：解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个．第二图案有阴影小三角形 2+4=6 个．第三个图案 有阴影小三角形 2+8=12 个，那么第 n 个就有阴影小三角形 2+4（n﹣1）=4n﹣2 个， 故答案为：4n﹣2（或 2+4（n﹣1））
解答：解：（1）原式=1+2 × ﹣3
=1+3﹣3=1； （2）原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣5． 当 x=﹣ 时，原式=（﹣ ）2﹣5=3﹣5=﹣2．
20．（2012 山西）解方程：
．
考点：解分式方程。
解答：解：方程两边同时乘以 2（3x﹣1），得 4﹣2（3x﹣1）=3， 化简，﹣6x=﹣3，解得 x= ． 检验：x= 时，2（3x﹣1）=2×（3× ﹣1）≠0[来源:Z*xx*] 所以，x= 是原方程的解． 21．（2012 山西）实践与操作：如图 1 是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的 轴对称图形，图 2 是以图 1 为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．