由模拟滤波器到数字滤波器的设计举例概要

H a ( j)
1 2
1
N=8
N=4 N=2
c 0 图11. 巴特沃思滤波器幅频特性与其阶数N的关系
6
模拟低通滤波器设计方法简介
二、切比雪夫低通滤波器 设计思想：使滤波器的幅频特性在一个频带中(通带或 阻带)具有等波纹特性。若在通带内等波纹，则称为切 比雪夫Ⅰ型滤波器(阻带内单调下降)；若在阻带内等 波纹，则称为切比雪夫Ⅱ型滤波器(通带内较平坦) 切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅度平方函数为
由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
解二：利用双线性变换法进行设计 设计步骤(2)，为解决双线性变换的频率非线性关 系，模拟频率必须对相应的数字频率作预畸变，即 用=ctan(/2)来求模拟滤波器的相应频率。 这里设c=2/T，则有
2 0.2 1 1 tan 2 tan 0.650 rad s T 2 2
二、首先将模拟低通滤波器利用冲激响应不变法和双 线性变换法设计为数字低通滤波器，再利用数字频带 变换法将它变换为所需要的各种类型的数字滤波器。
设计模拟LF 模 数 从s平面转换到 数 数 求得相应的DLF, DHF,DBF,DBB 并对其归一化 z平面得到DLF 等 c 1 图15. IIR DF频率变换法Ⅱ
1 1 2
1
N为偶数
1 A
1 A
c st

c
st

图12. 切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性
8
模拟低通滤波器设计方法简介
三、椭圆滤波器 设计思想：使滤波器的幅频特性在通带和阻带均具有 等波纹特性的滤波器。椭圆滤波器的幅度平方函数为
1 H a ( j) (5-30) 2 2 1 U N
§5.6 IIR数字滤波器的频率变换法
思考题： 1) 在这种设计方法中，是否可用冲激响应不变法 设计各种数字滤波器？ 2) 在这种设计方法中，是否可用双线性变换法设 计各种数字滤波器？ 思考题答案： 1）不能，只能用于设计限带的数字滤波器； 2）能，因为该法没有混叠失真现象。
20
§5.6 IIR数字滤波器的频率变换法
设计模拟低通滤 在模拟域频率变换 模 模 模 数 求得相应的 为模拟低通,高通, 波器并对其进行 DLF,DHF, 归一化 c 1 带通,带阻等 DBF,DBB等 或： 设计模拟低通滤 求得相应的 模 数 波器并对其进行 DLF,DHF, 归一化 c 1 DBF,DBB等 19 图14. IIR DF频率变换法Ⅰ
H a ( jc )
2
通常允许的最大衰减(波纹)
H a ( j 0) 1 20lg 20lg H a ( jc )
1 1 H a ( j c ) 2 2
2 3dB
4
所以又称c为巴特沃思低通滤波器的3dB带宽。
模拟低通滤波器设计方法简介
3dB带宽是一个很有用的指标——代表功率谱以最 大值下降到一半时对应的频带宽度。 巴特沃思低通滤波器的特点： (1)=0时，|Ha(j)|2=1，滤波器在=0处无衰减 (2)=c时，|Ha(j)|2=1/2，无论滤波器如何设计 (即选择不同的N)，所有的幅频特性均经过-3dB 点——3dB点不变性 (3)<c时，通带内|Ha(j)|2有最平坦的幅度特性 (与其它滤波器相比) 当从0到c时，|Ha(j)|2单调减小，N越大， 减小的越慢，即通带越平坦
H ( z ) H a ( s) s 21 z 1
1 z 1
0.0007378(1 z 1 )6 (1 1.2686 z 1 0.705 z 2 )(1 1.0106 z 1 0.3583z 2 )(1 0.9044 z 1 0.2155z 2 )
11
由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
根据题意有：
1 1 20 lg 1 H a ( j1 ) 10 20 H a ( j1 ) 15 1 H ( j ) 10 20 20 lg 2 15 a H a ( j 2 )
模拟低通滤波器设计方法简介
在设计举例之前，有必要先简单介绍一下 模拟滤波器设计的思想和方法。 一、巴特沃思低通逼近(又称最平幅度逼近) 巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为
H a ( j )
2
1 1 c
2N
(5-28)
其中N为滤波器的阶次，c称为截止频率, 当=c时有
将(5-28)式代入上式有：
H a ( j 0.2 ) 1 0.2 1 c 1
2N
通带条件
ห้องสมุดไป่ตู้10

1 20
(5-31)
H a ( j 0.3 )
0.3 1 c
2N
10

15 20
(5-32)
12
由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
1 C c 其中0<<1决定波纹大小的参数。c—截止频 率，但不一定是3dB带宽的截止频率。 CN( ) 为N阶切比雪夫多项式
2 2 N
H a ( j)
2
1
(5-29)
7
模拟低通滤波器设计方法简介
H a ( j)
1
1 1 2
H a ( j)
N为奇数
10
由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
分析：按照前面模拟滤波器到数字滤波器的设计步骤， 第(1)步由题设给出，这里需完成的是设计步骤中的第 (2)到(4)步。 解：一、利用冲激响应不变法进行设计 设计步骤(2)： 利用=/T来给出模拟滤波器的参 数 1＝0.2rad，对应幅频特性衰减1dB(从最大值1衰 减1db)； 2＝0.3rad，对应幅频幅频特性衰减15dB(从最大 值1衰减15db)； 1和2对应的模拟频率为1=1 /T= 0.2rad/s， 2=2 /T= 0.3rad/s
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§5.6 IIR数字滤波器的频率变换法
一、在模拟域，将归一化原型模拟低通滤波器经过模 拟频带变换成所需要的类型(包括高通滤波器，带通 滤波器，带阻滤波器及截止频率不同的另一个低通滤 波器)，再利用冲激响应不变法或双线性变换法设计 相应的数字滤波器。若将上述两步合并，则可通过一 定的频率变换，一步完成各类型数字滤波器的设计。
§5.5 由模拟滤波器到数字滤 波器的设计举例
尚勇
1
由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
首先给出这种设计思想的设计步骤 以数字低通滤波器的设计为例 ⑴ 确定数字滤波器的性能指标(设计要求)， 这一步根据工程需要，明确设计指标
⑵ 确定对应的模拟低通滤波器的性能指标
这一步主要是根据设计方法，利用相应的映射 关系将数字低通滤波器的关键频率参数映射到 模拟域得到模拟低通滤波器相应的频率参数。 当采用冲激响应不变法设计时，映射关系为=/T
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设计步骤(3) 根据N＝6，c=0.78822rad/s， 用查表法可得模拟滤波器的传输函数
0.2025 H a ( s) 2 s 0.396s 0.5871 s2 1.083s 0.5871 s2 1.480s 0.5871
设计步骤(4) 用双线性变换关系求数字滤波器的H(z)
2
其中0<<1决定波纹大小的参数。UN()为雅各比椭圆函数
H a ( j)
1
c st

9
图13. 椭圆滤波器的幅频特性
模拟低通滤波器设计方法简介
在滤波器参量一定的情况下，波纹与过渡带的宽度、 滤波器的阶数是一对需折中考虑的矛盾。 在 N 和性能参数一定时，增加各频段的波纹可有效 降低过渡带的宽度，反之亦然。故选择何种模拟滤 波器应根据实际工程折中考虑。
H a ( s)
0.12093 s 2 0.3640s 0.4945 s 2 0.99455s 0.4945 s 2 1.3585s 0.4945 13
由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
设计步骤(4) 先将Ha(s)利用部分分式展开成基本一节环和基本二 节环形式，再对这些基本环利用冲激响应不变法设 计对应的数字基本一节环、二节环，进而设计出数 字滤波器的传输函数H(z)，设计可得：
2N
通带条件
10
1 20
(5-31)'
H a ( j1.109)
2N
10

15 20
(5-32)'
由上两式可得N=5.3064，取N=6代入(5-31)’式得
c 0.76622rad / s
1 c 2
显然这样设计是合乎要求的 (此时通带刚好满足要 求而阻带指标可超过)。
0.2871 0.4466 z 1 2.1428 1.1454 z 1 H ( z) 1 2 1 0.1297 z 0.6949 z 1 1.0691z 1 0.3699 z 2 1.8558 0.6304 z 1 1 0.9972 z 1 0.2570 z 2 再将z=e j代入上式，就可得到数字滤波器的频率 响应函数H(e j)，从而完成数字滤波器的设计。 14
当采用双线性变换法设计时，映射关系为=ctan(/2)
2
⑶ 按照模拟低通滤波器的参数和性能指标，利 用模拟低通滤波器设计方法设计模拟低通滤波器， 得到Ha(s) ⑷ 利用冲激响应不变法或双线性变换法， 由Ha(s)得到H(z) 以上设计步骤中 第(1)步要明确工程要求，确定满足这一要求的数字 低通滤波器指标； 第(2)步确定用何种方法(冲激响应不变法或双线性 变换法等)完成模拟低通滤波器到数字低通滤波器 的设计； 第(3)步完全是模拟滤波器的设计问题，为了下面设 计举例的完整性，这里我们予以简单介绍； 3 第(4)步实现模拟滤波器到数字滤波器的设计。
回到模拟滤波器到数字滤波器的设计问题。通过 下面的设计实例来分析这一问题： 例：设计一个低通数字滤波器，要求在通带内频 率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在 频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟 滤波器采用巴特沃思低通滤波器。试分别用冲激 响应不变法和双线性变换法设计该数字滤波器。 (假设抽样时间间隔T=1s)
5
⑷ 当>c时，即在过渡带和阻带内|Ha(j)|2也随 着的增加而单调减小，从(5-28)式可以看到，此 时/c>1，故比通带内(/c<1)衰减的速度要快 得多，且N越大，衰减的速度就越大。当=st时 (即频率为阻带截止频率时，衰减为 2=-20lg|Ha(jst)|， 2 ——阻带最小衰减 ⑸ 巴特沃思滤波器的所有零点均在s=处。在有 限的s平面仅有极点。因此该滤波器又被称为“全 极点型”滤波器。
2 0.3 2 2 tan 2 tan 1.019 rad s T 2 2
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由模拟滤波器到数字滤波器设计举例
仍采用上面的设计思想有
H a ( j 0.650) 1 0.650 1 c 1
1.109 1 c
由上例可见，采用不同的设计方法得到的Ha(s)和对 应的H(z)略有不同。在实际工程上，应根据具体应 用来选择相应的设计方法。
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§5.6 IIR数字滤波器的频率变换法
前面以低通滤波器为例，介绍了数字低通滤波器的 设计方法(间接法，即由模拟低通滤波器到数字低通 滤波器的设计方法)。 实际应用中会遇到各种数字滤波器，比较常见和常用 的有数字低通，数字高通，数字带通，数字带阻等。 这就遇到一个问题，即如何设计其他类型(非数字低 通滤波器)的数字滤波器呢？ 以数字低通滤波器为基础，可通过两条思路去完成 其他类型数字滤波器的间接法设计。
由上两式可解出N＝5.884，取N=6(滤波 器的阶数)，将N＝6代入(5-31)可得： c 0.7032rad / s 1 c 2 这样设计显然是刚好满足通带指标(通带指0~1的 频带)，同时给阻带(阻带是指2~的频段)衰减留了 一定的余量。这对防止频谱混叠是有好处的。 设计步骤(3) 根据N=6，c=0.7032rad/s，用查表法可得 模拟滤波器的传输函数 (P266表6-4，注：归一化s，即s=s/c)