52与圆有关的位置关系及答案.docx

则点O2移动的长度是（
）D。
A、4 B、8 C、16 D、8或16
6、如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、 B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC。
求证：（1）△ABC∽△POM。（2）2OA2 OP BC
22_内内______切含_______
理由是 理由是
o1o2 =R-r o1o2 <R-r
练一练
1、已知⊙O的半径为5， 圆心O的坐标为（0，0） ，点P
的坐标为（4，2），则点P与 ⊙O的位置关系是（ A ）
A 、在⊙O内
B 、在⊙O上
C 、在⊙O外
D、不能确定
2、两圆的半径分别为3 cm 和5 cm ,那么当两圆相切时， 圆心距为_______8_c_m__或__2_c_m。
理由是OA_=__r 理由是OB〈___r 理由是OC__〉_r
直
直线与圆相离
d>r
线
与
圆
的 直线相交 d<r
切线的性质 切线的判定 切线长定理
问题2 已知⊙O的直径为13cm，
如果直线L与圆心O的距离为4.5 cm时， 直线L与⊙O _相__交___ 理由是d__<_r 如果直线L与圆心0的距离为6.5 cm时， 直线L与⊙O _相__切___ 理由是d_=__r 如果直线L与圆心O的距离为8 cm时， 直线L与⊙O _相__离___ 理由是d_>__r
南丹县大厂中学 阮绍伟
与
点与圆的位置关系
圆
有
关
的
直线与圆的位置关系
位
置
关
系
圆与圆的位置关系
点 与
点在圆上 d=r
圆
的 位

2.5.2圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系的判断及其应用1.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.相离2.设圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆C2:x2+y2-4x+2y-9=0,则它们公切线的条数是()A.1B.2C.3D.43.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是()A.5B.7C.9D.114.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则()A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8C.E=-4,F=-8D.E=4,F=85.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程.6.已知圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心为O 2(2,1). (1)若圆O 1与圆O 2外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 1与圆O 2相交于A,B 两点,且|AB|=2√2,求圆O 2的方程.题组二 圆与圆的位置关系的综合运用7.集合M={(x,y)|x 2+y 2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r 2,r>0},且M ∩N=N,则r 的取值范围是( ) A.(0,√2-1) B.(0,1] C.(0,2-√2] D.(0,2]8.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)上存在点P(不同于点A,B),使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则r 的取值范围是( ) A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5)9.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为()A.-1B.1C.3D.010.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为()A.2√3B.94C.32D.√6211.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4√2C.8D.8√212.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.13.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广.能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.()若圆C:x2+y2=r2(r>0)与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有公共点,则r的取值范围是()A.(3,6)B.[1,7]C.[1,9]D.[4,8]2.()若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(-√22,0)∪(0,√22)B.(-2√2,-√2)∪(√2,2√2)C.(-3√22,-√22)∪(√22,3√22)D.(-∞,-3√22)∪(√2,+∞)3.(2019河南鹤壁高一期末,)已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(易错)A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3)D.[1,3]4.(2020安徽六安一中高一期末,)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为.5.(2020山西太原第五中学高二上期中,)已知圆C1:(x-1)2+(y+5)2=50,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=10.(1)证明圆C1与圆C2相交;(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点,求圆C3的方程.深度解析题组二圆与圆的位置关系的综合运用6.()已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.√2B.√3C.2D.37.(2019福建三明高一期中,)已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆C1:x2+y2=14上的动点,点F是圆C2:(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为()A.2B.52C.3D.48.(2019浙江嘉兴一中期中,)我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC为半径作圆E,交AD的延长线于F;③以D为圆心,以DF为半径作圆D;④以A为圆心,以AD为半径作圆A交圆D于G,则△ADG为黄金三角形.根据上述作法,可以求出cos 36°=(易错)A.√5-14B.√5+14C.√5+√34D.√5-√349.()在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M,满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是.10.(2019广东深圳耀华实验中学高二期中,)已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则1a2+1b2的最小值为.11.()在平面直角坐标系Oxy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线方程; (2)若圆C 上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.A 由题意得,圆x 2+y 2=2的圆心O 1(0,0),圆x 2+y 2+2x-2y=0的圆心O 2(-1,1),圆心距d=|O 1O 2|=√1+1=√2,两个圆的半径均为√2,故|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,所以两个圆相交.故选A.2.B 圆C 1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆心为(5,3),半径为3;圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-9=0,圆心为(2,-1),半径为√14,两圆的圆心距为√(5-2)2+(3+1)2=5,∵√14-3<5<√14+3,∴两个圆相交,∴两个圆的公切线有2条.故选B.3.C 由题意知圆C 1的圆心为(-3,1),半径r 1=2;圆C 2的圆心为(1,-2),半径r 2=2.所以两圆的圆心距d=√[1-(-3)]2+[(−2)−1]2=5>r 1+r 2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.4.C {x 2+y 2-2x +F =0,①x 2+y 2+2x +Ey -4=0,②②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+E4y-F+44=0,由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0, 得{E4=−1,-F+44=1,解得{E =−4,F =−8.5.解析 (1)证明:圆C 1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C 2的方程可化为x 2+(y-1)2=5,∴C 1(2,-1),C 2(0,1),两圆的半径均为√5,∵|C 1C 2|=√(0-2)2+(1+1)2=2√2∈(0,2√5),∴两圆相交. (2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,(x 2+y 2-4x+2y)-(x 2+y 2-2y-4)=0,即x-y-1=0.6.解析 (1)设圆O 1、圆O 2的半径长分别为r 1、r 2,且易知r 1=2. 因为两圆相外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2.所以r 2=|O 1O 2|-r 1=√(2-0)2+(1+1)2-2=2(√2-1). 所以圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8√2.(2)由题意,设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r 32(r 3>0),圆O 1,O 2的方程相减,得弦AB 所在直线的方程为4x+4y+r 32-8=0.所以圆心O 1(0,-1)到直线AB 的距离为32√22=√4−(2√22)2=√2,解得r 32=4或r 32=20.所以圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.7.C 由M ∩N=N 知N ⊆M,所以圆x 2+y 2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r 2(r>0)内切或内含,且4>r 2.所以2-r ≥√2,又r>0,所以0<r ≤2-√2.8.B ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴点P 在以AB 为直径的圆x 2+y 2=4上.∵圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)上存在点P(不同于点A,B),使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)与圆x 2+y 2=4有公共点,∴|r-2|≤3≤r+2,解得1≤r ≤5,故选B.9.B 由题意知,直线x-y+c=0为线段AB 的垂直平分线,且AB 的中点(1+m 2,1)在直线x-y+c=0上,∴1+m 2-1+c=0,∴m+2c=1.10.B 由题意得,圆C 1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C 1(-a,2),半径r 1=1. 圆C 2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C 2(b,2),半径r 2=2.∵圆C 1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切, ∴|C 1C 2|=r 1+r 2,即a+b=3,由基本不等式,得ab ≤(a+b 2)2=94,当且仅当a=b 时取等号.故选B.11.C ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. 设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a 2,(4-b)2+(1-b)2=b 2,即a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x 2的两个实数根, 整理得x 2-10x+17=0, ∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C 1C 2|=√(a -b)2+(a -b)2=√32×2=8.12.解析 两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61−m .(1)当两圆外切时,√(5-1)2+(6−3)2=√11+√61−m ,解得m=25+10√11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径√11小于两圆圆心间距离5,故只有√61−m -√11=5,解得m=25-10√11.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2+y 2-2x-6y-1)-(x 2+y 2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2√(√11)2-(√22)2=2√7.13.解析 (1)如图,点A 在圆C 上,OP 为圆C 的直径,所以OA ⊥PA,同理可得OB ⊥PB.(2)由(1)还可以得到:PA 是圆O 的切线,PB 也是圆O 的切线.这一结论可以推广为:圆O 外一点P,以OP 为直径的圆与圆O 交于A 、B 两点,则PA 、PB 是圆O 的切线.能力提升练 1.C 两圆心间的距离|CE|=√32+42=5, 依题意得,|r-4|≤5≤r+4, 解得1≤r ≤9.因此,r 的取值范围是[1,9].故选C.2.C 根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x 2+y 2=1相交,两圆圆心的距离d=√a 2+a 2=√2|a|,所以2-1<√2|a|<2+1,即√22<|a|<3√22,所以-3√22<a<-√22或√22<a<3√22.故选C.3.A 由PM ⊥PN 得,P 点在以MN 为直径的圆上(不同于M,N),以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4,由x 2+y 2-6x+9-r 2=0得(x-3)2+y 2=r 2(r>0). 所以两圆的圆心间的距离d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.易错警示 由PM ⊥PN 知,P 点在以MN 为直径的圆上(不同于M,N),由P,M,N 不共线知,点P 的轨迹是以MN 为直径的圆(不含M,N 两点),从而由两圆有公共点得|r-2|<3<r+2.4.答案 x+1=0解析 圆C 1:x 2+y 2=1,圆心为(0,0),半径为1; 圆C 2:(x-4)2+y 2=25,圆心为(4,0),半径为5.易知两圆内切,切点为(-1,0),又两圆圆心都在x 轴上, 所以两圆公切线的方程为x=-1,即x+1=0.5.解析 (1)证明:依题意得,C 1(1,-5),r 1=√50=5√2,C 2(-1,-1),r 2=√10, 因此,5√2-√10<|C 1C 2|=√4+16=2√5<√10+5√2,∴C 1与C 2相交. (2)设圆C 1与圆C 2的交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立{(x -1)2+(y +5)2=50①,(x +1)2+(y +1)2=10②,②-①得x-2y+4=0,即x=2y-4,代入①式得,(2y-5)2+(y+5)2=50,解得{y 1=0,x 1=−4,{y 2=2,x 2=0, ∴圆C 3过A(-4,0),B(0,2),原点O(0,0).易得△ABO 为直角三角形,∴r=12AB=√5,圆心为AB 的中点(-2,1),∴圆C 3的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.解题模板 求过两圆交点的圆的方程有两种方法:一是利用圆系方程,先设后求,待定系数;二是求出交点坐标,再结合其他条件求解.本题给出第三点是坐标原点,利用求交点坐标,根据三点的特殊关系求解即可. 6.D C 1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1, C 2的方程可化为(x-1)2+y 2=1.设圆C 2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心C'2(a,b).依题意得{a+12+b2+1=0,b -0a -1=1⇒{a =−1,b =−2,因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1. 如图所示.∵|C 1C'2|=√(-1-2)2+(−2−2)2=5, ∴(|PM|+|PN|)min =|C 1C'2|-2=3, 故选D.7.D 易得点P(t,t-1)在直线x-y-1=0上,设圆C 1关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C'1,则C'1:(x-1)2+(y+1)2=14,由几何知识知,当F 、E'、P 共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|=|E'F|=|C'1C 2|+12+32=4,故选D.8.B 以A 为原点,直线AD 为x 轴,直线AB 为y 轴建立平面直角坐标系, 设|AD|=2,则|CE|=√5=|EF|,又|ED|=1,∴|DF|=√5-1. 圆A 的方程为x 2+y 2=4,① 圆D 的方程为(x-2)2+y 2=(√5-1)2,② 设G(x 0,y 0), 由①②得x 0=√5+12,∵|AG|=|AD|=2, ∴cos 36°=x 0|AG|=√5+14,故选B.易错警示 本题的实质是计算,而不是证明,题中已经给出“黄金三角形”的作法,在此基础上我们只需计算,即利用两圆的方程求出交点G 的坐标,进而可以得到结论.如果解题过程中不能正确理解题意,试图证明结论将造成极大的麻烦. 9.答案 [0,3]解析 设满足|MA|=2|MO|的点的坐标为M(x,y), 由题意得,√x 2+(y +3)2=2√x 2+y 2,整理可得,x 2+(y-1)2=4,即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆,原问题转化为圆x 2+(y-1)2=4与圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1有交点, 据此可得关于实数a 的不等式组{√a 2+(a -3)2≥1,√a 2+(a -3)2≤3,解得0≤a ≤3,所以实数a 的取值范围是[0,3].10.答案 9解析 由题意知两圆内切,根据两圆分别为C 1:x 2+y 2+4ax+4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by+b 2-1=0,得圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径分别为2和1,故有√4a 2+b 2=1,所以4a 2+b 2=1,所以1a 2+1b 2=(1a 2+1b 2)(4a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√b 2a2·4a 2b 2=9,当且仅当b 2a2=4a 2b2时,等号成立,所以1a2+1b 2的最小值为9.11.解析 (1)由{y =2x -4,y =x -1得圆心C(3,2),∵圆C 的半径为1,∴圆C 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1,过点A 作圆C 的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0, ∴√2=1,∴|3k+1|=√k 2+1,∴2k(4k+3)=0,∴k=0或k=-34,∴所求圆C 的切线方程为y=3或y=-34x+3. (2)∵圆C 的圆心在直线l:y=2x-4上, ∴设圆心C(a,2a-4),则圆C 的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又∵|MA|=2|MO|,∴设M(x,y), 则√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2, 整理得x 2+(y+1)2=4,设为圆D,∴点M 既在圆C 上又在圆D 上,即圆C 和圆D 有交点,∴2-1≤√a 2+[(2a -4)-(-1)]2≤2+1,解得0≤a≤125,所以a 的取值范围为[0,125].高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

第23讲 与圆有关的位置关系,知识清单梳理)两种位置关系1．点与圆的位置关系共有三种：①__点在圆内__；②__点在圆上__；③__点在圆外__．对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d __＝__r ；②d __＜__r ；③d __＞__r.2．直线与圆的位置关系共有三种：①__相交__；②__相切__；③__相离__．对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：①d __＜__r ，②d __＝__r ，③d __＞__r.切线1．切线定义：与圆只有__一个交点__的直线叫做圆的切线．2．判定定理：到__圆心__的距离等于__半径__的直线是圆的切线；经过__半径的外端__且垂直于__半径__的直线是圆的切线．3．性质：从圆外一点可以向圆引__两__条切线，__交点到切点的距离__相等．,云南省近五年高频考点题型示例)切线的判定与性质【例】(2017官渡一模)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若OF ＝2，求AC 的长度．【解析】(1)作半径证垂直，∵DE ⊥AC 于点E ，∴只要证OD ∥AE 即可；(2)证明△DFO ∽△BCA 即可．【答案】解：(1)连接OD ，AD.∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ， ∴∠DAC ＝∠ODA ， ∴OD ∥AE. ∵DE ⊥AE ， ∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线； (2)连接BC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OD ∥AE ，∴∠DOB ＝∠EAB.∵DF ⊥AB ，∴∠DFO ＝∠ACB ＝90°， ∴△DFO ∽△BCA ， ∴OF AC ＝OD AB ＝12， 即2AC ＝12， ∴AC ＝4.1．(2013昆明中考)已知：如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，∠PBA ＝∠C.(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若OP ∥BC ，且OP ＝8，BC ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)连接OB.∵AC 是直径， ∴∠ABC ＝90°.∴∠CAB ＋∠C ＝90°. ∵OB ＝OA ， ∴∠OAB ＝∠OBA. ∵∠PBA ＝∠C ，∴∠PBA ＋∠OBA ＝90°， ∴OB ⊥BP.又∵点B 在⊙O 上，OB 是半径， ∴PB 是⊙O 的切线； (2)∵OP ∥BC ， ∴∠POB ＝∠OBC. 又∵OC ＝OB ，∴∠ACB ＝∠OBC ， ∴∠POB ＝∠ACB.又∵∠OBP ＝∠CBA ＝90°， ∴△ABC ∽△PBO ，∴CB OB ＝CAOP .设OB 的长为x ，那么AC 的长为2x ， ∵BC ＝2，OP ＝8， ∴2x ＝2x 8， ∴x ＝22或x ＝－22(舍去)，∴⊙O 的半径为2 2.2．(2014曲靖中考)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D.(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ？并说明理由． 解：(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°， 又∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°，∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°； (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD. 理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°， ∴∠APB ＝180°－60°×2＝60°， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △PAD 中，∠D ＝90°－∠APD ＝30°， ∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD.3．(2015昆明中考)如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E.过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为点F ，点B 为半径OH 上一点，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．(1)求证：直线FG 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝10，EB ＝5，求⊙O 的直径．解：(1)连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠EAO ＝∠AEO. ∵AE 平分∠FAH ， ∴∠EAO ＝∠FAE ， ∴∠FAE ＝∠AEO ，∴AF ∥OE.∵FG ⊥AF ，∴FG ⊥OE ，∵点E 在⊙O 上，OE 是半径，∴FG 是⊙O 的切线．(2)解法一：∵四边形ABCD 是矩形，CD ＝10， ∴AB ＝CD ＝10，∠ABE ＝90°. 设OA ＝OE ＝x ，则OB ＝10－x ，在Rt △OBE 中，∠OBE ＝90°，BE ＝5， 由勾股定理得OB 2＋BE 2＝OE 2， ∴(10－x)2＋52＝x 2，解得x ＝254，∴AH ＝2×254＝252，∴⊙O 的直径为252.解法二：连接EH.∵四边形ABCD 是矩形，CD ＝10，∴AB ＝CD ＝10，∠ABE ＝∠EBH ＝90°， ∴∠BEH ＋∠AHE ＝90°.∵AH 是⊙O 的直径，∴∠AEH ＝90°， ∴∠EAH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠EAH ＝∠BEH ， ∴Rt △AEB ∽Rt △EHB ，∴EB HB ＝AB EB，∴EB 2＝AB·HB ，即52＝10·BH ，解得BH ＝52，∴AH ＝AB ＋BH ＝10＋52＝252，∴⊙O 的直径为252.4．(2016曲靖中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 是AB 边上的一点，以OA 为半径的⊙O 与边BC 相切于点E.(1)若AC ＝5，BC ＝13，求⊙O 的半径；(2)过点E 作弦EF ⊥AB 于M ，连接AF ，若∠F ＝2∠B ，求证：四边形ACEF 是菱形．解：(1)连接OE ，设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r.在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB ＝BC 2－AC 2＝132－52＝12. ∵⊙O 与BC 边相切于点E ， ∴OE ⊥BC ，∴∠OEB ＝∠CAB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ，∴△BOE ∽△BCA ，∴BO BC ＝OECA ，即12－r 13＝r 5，解得r ＝103. ∴⊙O 的半径为103；(2)连接AF.∵∠F ＝2∠B ，∴∠AOE ＝2∠F ＝4∠B ， ∵∠AOE ＝∠OEB ＋∠B ，⊙O 与边BC 相切于点E ， ∴∠OEB ＝3∠B ＝90°，∴∠B ＝30°，∠F ＝60°， ∵EF ⊥AD ，∴∠EMD ＝∠CAB ＝90°，∴CA ∥EF. 又∵∠MEB ＝∠F ＝60°，∴CB ∥AF ， ∴四边形ACEF 是平行四边形．∵∠CAB ＝90°，OA 是⊙O 的半径， ∴CA 是⊙O 的切线，又∵BC 也是⊙O 的切线，∴CA ＝CE ，∴平行四边形ACEF 是菱形．5．(2016昆明中考)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点D ，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F.(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)若∠F ＝30°，EB ＝4，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号和π) 解：(1)连接OD.∵四边形OBEC 是平行四边形，∴OC ∥BE ， ∴∠AOC ＝∠OBE ，∠COD ＝∠ODB. ∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠DOC ＝∠AOC.在△COD 和△COA 中，⎩⎨⎧OC ＝OC ，∠COD ＝∠COA ，OD ＝OA ，∴△COD ≌△COA ， ∴∠CAO ＝∠CDO ＝90°，∴CF ⊥OD. ∵OD 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线； (2)∵∠F ＝30°，∠ODF ＝90°， ∴∠DOF ＝∠AOC ＝∠COD ＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△OBD 是等边三角形， ∴∠DBO ＝60°.∵∠DBO ＝∠F ＋∠FDB ，∴∠FDB ＝∠EDC ＝30°.∵EC ∥OB ，∴∠E ＝180°－∠OBD ＝120°， ∴∠ECD ＝180°－∠E －∠EDC ＝30°， ∴EC ＝ED ＝BO ＝DB.∵EB ＝4，∴OB ＝OD ＝OA ＝2. 在Rt △AOC 中，∵∠OAC ＝90°，OA ＝2，∠AOC ＝60°， ∴AC ＝OA·tan 60°＝23，∴S 阴影＝2S △AOC －S 扇形OAD ＝2×12×2×23－120π·22360＝43－4π3.6．(2017云南中考)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． 解：(1)连接OC ，∵AC ∥OP ，∴∠A ＝∠BOP ，∠ACO ＝∠COP ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠COP ＝∠BOP. 在△OCP 和△OBP 中，⎩⎨⎧OC ＝OB ，∠COP ＝∠BOP ，OP ＝OP ，∴△OCP ≌△OBP(SAS )，∴∠OCP ＝∠OBP ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP ＝90°，∴∠OCP ＝90°. ∴OC ⊥PC ，且OC 为半径， ∴PC 是⊙O 的切线；(2)过点O 作OD ⊥AC 于点D. ∵OP ＝32AC ，∴OP AC ＝32，设OP ＝3k ，AC ＝2k ，∴CD ＝12AC ＝k.∵∠ODC ＝∠PCO ＝90°，∠DCO ＝∠COP ， ∴△CDO ∽△OCP.∴CD OC ＝OCOP ，∴OC 2＝CD·OP ＝k·3k ＝3k 2，OC ＝3k. ∴sin ∠CPO ＝OC OP ＝3k 3k ＝33；图①(3)如图①，过点A作AE⊥MC于点E，并延长交⊙O于点K，则AE＝d.过点B作BF⊥MC于点F，则BF＝f.连接BK，则四边形EKBF是矩形，∴EK＝BF，∴d＋f＝AE＋BF＝AE＋EK＝AK，∴AC≤AK≤AB，∴9≤d＋f≤15.,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果⊙P 是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在⊙P外B．点B在⊙P外、点C在⊙P内C．点B在⊙P内、点C在⊙P外D．点B，C均在圆P内【解析】先计算点到圆心的距离，再和半径作比较即可．∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，∴AP＝2，∴r＝PD＝7，PC＝9.∵PB＝6＜r，PC＝9＞r，∴点B在圆P内、点C在圆P外，故选C.【答案】C2．创新题【例2】(2017五华一模)如图所示，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，且CD∥AB，连接AC，AD，OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于点E.(1)求证：DA 平分∠CDO ；(2)若AB ＝12，求图中阴影部分图形的周长．(结果精确到1，参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)【解析】(1)要证明DA 平分∠CDO ，只要求得∠CDA ＝∠ADO 即可，据条件可得答案；(2)图中阴影部分图形的周长是BD ︵＋BE ＋DE 的长，据(1)中结论和题目条件可求．【答案】解：(1)∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠DAO. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ，∴∠CDA ＝∠ADO ，∴DA 平分∠CDO ； (2)连接OC ，作CF ⊥AB 于点F. ∵AC ＝CD ，∴∠CDA ＝∠CAD.∵∠CDA ＝∠ADO ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∴AC ∥OD. 又∵AC ＝CD ，CD ∥AB ，∴四边形AODC 是菱形，∴OA ＝AC. ∵AB ＝12，∴OA ＝AC ＝OC ＝6， ∴∠CAO ＝60°. ∴CF ＝AC·sin 60°＝6×32＝33， AF ＝AC·cos 60°＝6×12＝3.∵EB ⊥AB ，CF ⊥AB ，CD ∥AB ， ∴四边形CFBE 为矩形，BE ＝CF ＝33， DE ＝AB －AF －CD ＝12－3－6＝3. ∵∠CAO ＝60°，AC ∥DO ， ∴∠CAO ＝∠DOB ＝60°， ∴lBD ︵＝60×π×6180＝2π，∴图中阴影部分图形的周长是：lBE ︵＋BE ＋DE ＝2π＋33＋3＝2×3.1＋3×1.7＋3≈14.,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(呼和浩特中考)如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 的延长线于点D ，DB DP ＝CD DO ＝23.(1)求证：直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值．解：(1)连接OB ，OP ， ∵DB DP ＝DC DO ＝23，且∠D ＝∠D ， ∴△BDC ∽△PDO ，∴∠DBC ＝∠DPO ，∴BC ∥OP ， ∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠BOP. ∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠CBO ，∴∠BOP ＝∠POA.又∵OB ＝OA ，OP ＝OP ，∴△BOP ≌△AOP ，∴∠PBO ＝∠PAO.又∵PA ⊥AC ，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°， 又∵OB 为⊙O 的半径，∴直线PB 是⊙O 的切线； (2)由(1)知∠BCO ＝∠POA ，∵DB PD ＝23.设PB ＝a ，则BD ＝2a ，PD ＝3a.∵PA ＝PB ＝a ，∴AD ＝DP 2－PA 2＝22a. 又∵CD DO ＝23，∴DC ＝2CO ，∴DC ＝CA ＝2CO ＝12AD ＝12×22a ＝2a ，∴OA ＝22a ， ∴OP ＝OA 2＋PA 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋a 2＝62a ，∴cos ∠BCA ＝cos ∠POA ＝OA OP ＝33. 【方法总结】1.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来第11页 说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．2．(2017毕节中考)如图，已知⊙O 的直径CD ＝6，A ，B 为圆周上两点，且四边形OABC 是平行四边形，过A 点作直线EF ∥BD ，分别交CD ，CB 的延长线于点E ，F ，AO 与BD 交于G 点．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)求AE 的长．解：(1)∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴BD ⊥BC.∵四边形OABC 是平行四边形，∴AO ∥BC ，∴BD ⊥OA.∵EF ∥BD ，∴OA ⊥EF.又∵OA 为⊙O 半径，∴EF 是⊙O 的切线；(2)连接OB.∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA ＝BC.∵OB ＝OC ＝OA ＝12CD ＝3，∴OB ＝OC ＝BC ， ∴△OBC 为等边三角形，∴∠C ＝60°，∴∠AOE ＝∠C ＝60°，在Rt △OAE 中，∵tan ∠AOE ＝AE OA， ∴AE ＝OA·tan 60°＝3tan 60°＝3 3. 请完成精练本第34页作业。

与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：① ________ ,②__________ ,③ __________ ;对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d _____ r, ②d _______ r, ③d _______ r.2.直线与圆的位置关系共有三种：① _______ ,②________ ,③ _________ •对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d _____ r,②d ________ r,③d _______ r.3.圆与圆的位置关系共有五种：① _____ ,②______ ,③______ ,④_____ ,⑤______ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r （R>r） Z间的数量关系分别为：①d R-r,②d ______________ R-r,③R—r_d R+r,④d _____ R + r,⑤d _______ R + r.4.圆的切线 _______ 过切点的半径；经过_______ 的一端，并且______ 这条_________ 的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引—条切线， _____________ 相等，_______________ 相等.6.三角形的三个顶点确定—个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫—心，是三角形 _________________ 的交点，它到_____________________ 相等。

7.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________ ,内切圆的圆心是三角形________________ 的交点，叫做三角形的 _______ ,它到____________________ 相等.练习题―、选择题A1.如图，PA、刖分别切O0于点久〃，点F是00上一点，且ZJ^60°,则ZP的度数为（- ）A. 120°B. 90°C. 60°D. 75°2.已知OO的半径为5cm,如果圆心O到直线/的距离为5.5cm ,那么直线/ 二、填空题和OO的位置关系是（C.相离D.相交或•相离）3.如图，加是00的直径，初是00的切线，点C在00上，BC//0D.個=2, 则忧的长为（）2 3 ££3B' 2 2 D ' 24.已知半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（）5.已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为1,则两圆的位置关系是（）6.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点那么这两个圆的圆心距〃的取值范围是（)A. d>8B. d>2C. 0 < J < 2D. d>8 或0W〃v27.如图.半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切.则小圆扫过的阴影部分的面积为（）.A. 17 nB. 32 兀C. 49 开D. 8（）1._____________ 如图所示，AB, AC与00相切于点B, C, ZA = 50°，点P是圆上异于B, C的一动点，则ZBPC的度数是_B2._________________________________________________________________________________ 如图，肋与相切于点氏初的延长线交OQ于点G连结处若Z/f=36.°,则ZQ ___________________________3._________________________________________________________________ 已知OO］和OO?的半径分别为3cm和5cm,且它们内切，则OQ?等于__________________________________ cm.3._________________ 如图，在比屮，Z/1-90°,分别以〃、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm,则图屮阴影部分的面积为.。