【高斯数学思维训练】第03讲 方程解应用题.吴昊.初稿

店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱.已知购进
3个A款纪念品比购进2个B款纪念品多用120元；购进1个A款纪念品和2个
B款纪念品共用200元.
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价.
解：设A，B两款纪念品的进货单价分别为x元，y元.
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭
火器(50－x)个.
根据题意，得540x＋380(50－x)≤21 000，解得x≤12.5.
∵x为整数，
∴x的最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
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方法讲练·拓思维
13．(2024·资阳)2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销
月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( A )
A．1.2x＋1 100＝35 060
B．1.2x－1 100＝35 060
C．1.2(x＋1 100)＝35 060
D．x－1 100＝35 060×1.2
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方法讲练·拓思维
3．(2024·北京)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，
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考点梳理·精整合
3．一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120
km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 80 km 所用时间相等，则江水的
流速为_________.
8 km/h
4．(人教七上P84习题11改编)一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x
，把1与x对调，新两位数比原两位数少18，则x＝___.
6年2考
8．(2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两

图解思路规范解答解：设购置新设备共用了x元，根据题意有2%x＋3%（x＋264）＝264解这个方程得x＝5121.6。

答：这家公司购置的新设备花费了5121.6元。

例2　小李和师傅共同做一批机器零件，30天完成了任务，已知师傅每天比小李多做2个，而小李在中途请假5天，于是，小李完成的零件个数恰好是师傅的一半，求这批零件的总个数。

图解思路如果设这批零件的总个数为x，那么很难列出方程。

根据“小李完成的零件个数恰好是师傅的一半”可以列出方程。

规范解答解：设小李每天做x个零件，则师傅每天做x＋2个零件，列方程得：2（30－5）x＝30（x＋2）50x＝30x＋60x＝3（30－5）x＋30（x＋2）＝25×3＋30×5＝225（个）答：这批零件一共有225个。

例3　男生和女生平均每人植树16.5棵，男生24人共植树506棵，女生平均每人植树11棵。

男生、女生共植树多少棵？图解思路根据“男生24人共植树506棵”可以列出方程。

规范解答解：设女生是x人，列方程得：16.5（24＋x）－11x＝50616.5x＋396－11x＝5065.5x＝506－396x＝20男生、女生植树总棵数：506＋11×20＝506＋220＝726（棵）答：男生、女生共植树726棵。

例4　学校有篮球和足球共100个，篮球个数的比足球个数的多16个。

学校有篮球和足球各多少个？图解思路设学校有篮球x个。

（足球就是（100－x）个）根据题目中的条件“篮球个数的比足球个数的多16个”，规范解答解：设学校有篮球x个。

100－60＝40（个）答：学校有篮球60个，足球40个。

小试身手1．有甲，乙两堆苹果，从甲堆中拿走2个后，甲堆剩下的个数是乙堆的2倍。

再从乙堆拿走3个苹果，这时甲堆剩下的个数是乙堆剩下个数的3倍。

求乙堆原来共有多少个苹果？2．某校六年级有三个班，平均每班有46人。

已知（一）班比（二）班多9人，（二）班比（三）班少6人。

a32 a22
1.5 2.5
0.6 ，有
2x1 x2 x3 4 0 2.5x2 1.5x3 4 (3) m32 (2) 0 0 0.6x3 0.6
回代
x3 1, x2 1, x1 1
系数行列式的计算：
det
A
a a (1) (2) 11 22
a(n) nn
例
2 1 1
2 2
5 7 3 2
0 0.8
2.2
-2.2
0 -1.6 -0.4 0.4
5 7 3 5 4 4
3 2 4 -1 2 2
m21
3 5
m31
4 5
选主元
r2 r3
5 7 3 2
0
1.6
0.4
0.4
0 0.8 2.2 2.2
m32
0.8 1.6
0.5
r3m32 r2
)
，
b(k)
bk (k )
，
a(k) kn
a(k) nn
b(k ) n
(k 1, 2, , n)
矩阵形式
A(k ) x b(k ) ， (k 1, 2, , n)
消元过程
设
主元
a(1) 11
0,
a(2) 22
0,
,
a(n) nn
0
消元过程
mik ai(jk 1)
a(k) ik
4
3 3
x2 0 , x3 1
3.1 高斯消去法
3.1.1 顺序高斯消去法
(按方程和未知量的自然顺序进行)
基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为 上三角形方程组进行求解 。 求解 分成两步：

高斯九年级（初三）暑假班（教师版）最新讲义高斯教育九年级（初三）暑假辅导讲义学员姓名：刘小米年级：辅导科目：小学思维学科教师：五块石1 上课时间2019-06-25 14:00-16:00授课主题第10讲_一元二次方程的应用一元二次方程的应用一．列一元二次方程解应用题的一般步骤1．找出题中的等量关系；2．设未知数；3．根据找出的等量关系列出方程；4．解一元二次方程；5．将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；6．作答结论．注意：列方程解应用题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题．一．考点：一元二次方程的应用．知识图谱错题回顾知识精讲三点剖析二．重难点：列一元二次方程解应用题．三．易错点：建立一元二次方程解决实际问题时一定要注意检验是否符合实际意义．题模一：面积问题例1.1.1某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．x （x ﹣11）=180B ．2x+2（x ﹣11）=180C ．x （x+11）=180D ．2x+2（x+11）=180【答案】C【解析】设宽为x 米，则长为（x+11）米，根据题意得：x （x+11）=180．例1.1.2如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m 3，则根据图中的条件，可列出方程：_____________-．【答案】x （x+1）=3【解析】长方体的高是1，宽x ，长是x+1，根据题意得x （x+1）=3．例1.1.3如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，恰好用完，试求AB 的长，使矩形花园的面积为300m 2．【答案】15米【解析】该题考查的是列方程解应用题． 设m AB x =，则()502m BC x =-．…………1分根据题意可得，()502300x x -=，………… 3分解得：110x =，215x =，…………4分题模精讲当110x=，5010103025BC=--=>，故110x=（不合题意舍去），…………5分答：AB的长为15米．………… 6分题模二：经济问题例1.2.1某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．10%B．20%C．30%D．40%【答案】B【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意得150×（1﹣x）2=96，解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率是20%．故选：B．例1.2.2某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．【答案】（1）每件衬衫应降价20元（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多【解析】（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（50﹣x）（40+2x）=2400，解得：x1=10，x2=20，因为尽量减少库存，x1=10舍去．答：每件衬衫应降价20元．（2）设每天盈利为W元，则W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）2+2450，当x=15时，W最大为2450．答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．题模三：其他问题例1.3.1有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45B．x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45【答案】A【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）=45，例 1.3.2假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144人染上了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有__________人【答案】24【解析】设假如一人患红眼病，第一轮传染给x 人，由题意得1(1)144x x x +++=，解得x=11，故若有两人患病，经过第一轮传染后患病的人数共有2+11+11=24人．随练1.1有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm 2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．4x 2=3600B ．100×50﹣4x 2=3600C ．（100﹣x ）（50﹣x ）=3600D ．（100﹣2x ）（50﹣2x ）=3600【答案】D【解析】设切去的小正方形的边长为x ．根据题意得（100﹣2x ）（50﹣2x ）=3600．随练1.2如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为 ．【答案】300【解析】设道路的宽应为x 米，由题意有（22﹣x ）（17﹣x ）=300，随练1.3如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD ，为了节约材料，花园的一边AD 靠着原有的一面墙，墙长为8米（8AD <），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB 的长．【答案】10米【解析】该题考查的是一元二次方程的应用．设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为()242x -米． 随堂练习DC B A 8米根据题意：()24240x x -=．解得：2x =或者10x =，当2x =时，BC 的长度为20，大于8米，不合题意．∴AB 边长为10米．答：AB 的长为10米．随练1.4某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ）A ．30%B ．40%C ．50%D ．60%【答案】B【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x ，由题意得：0.5（1+x ）2=0.98，解得：x 1=40% x 2=-2.4（不合题意舍去）．答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%．故选：B ．随练1.5山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元（2）九折【解析】（1）设每千克核桃应降价x 元． …1分根据题意，得 （60-x -40）（100+2x ×20）=2240． …4分 化简，得 x 2-10x+24=0 解得x 1=4，x 2=6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60-6=54（元），5460×100%=90%． …9分 答：该店应按原售价的九折出售． …10分随练 1.6参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x 家公司参加商品交易会，则x 满足的关系式为（ ） A ．x （x+1）=45B ．x （x ﹣1）=45C ．x （x+1）=45D ．x （x ﹣1）=45【答案】B【解析】设有x家公司参加，依题意，得x（x﹣1）=45，故选B．随练1.7有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）7个人（2）448人【解析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=64x=7或x=-9（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）64×7=448（人）．答：第三轮将又有448人被传染．自我总结课后作业作业1如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？【答案】20AB =，20BC = 【解析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设AB 的长度为x ，则BC 的长度为（100-4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．根据题意得 （100-4x ）x=400，解得 x 1=20，x 2=5．则100-4x=20或100-4x=80．∵80＞25，∵x 2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米．作业2小萍要在一幅长90厘米，宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为x 厘米，根据题意所列方程为（ ）A ．()()904054%9040x x ++⨯=⨯B ．()()90240254%9040x x ++⨯=⨯C ．()()9040254%9040x x ++⨯=⨯D ．()()9024054%9040x x ++⨯=⨯【答案】B【解析】由题意可得，()()90240254%9040x x ++⨯=⨯，故答案为B 选项．作业3为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为____米．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）【答案】1 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（30-2x ）（20-x ）=532．整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞20（不合题意，舍去），∵x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．作业4一件产品原来每件的成本是100元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了19元，则平均每次降低成本的（）A．8.5%B．9%C．9.5%D．10%【答案】D【解析】设平均每次降低成本x，根据题意得100﹣100（1﹣x）2=19，即（1﹣x）2=0.81，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），所以平均每次降低成本10%．作业5某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【答案】9【解析】由题意得出：200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+（4-6）[（600-200）-（200+50x）]=1250，即800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1250，整理得：x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵10-1=9．答：第二周的销售价格为9元．作业6近年来某市加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3600B．2500（1+x）2=3600C．2500（1+x%）2=3600D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3600【答案】B【解析】设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：2500（1+x）2=3600，故选：B．作业7某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均每台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】每轮感染中平均每台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台【解析】设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，则()1181x x x +++=，解得18x =，210x =-（舍去）；()()33118729700x +=+=>，故3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。