人教版八年级数学下册第16章16.2二次根式的乘除测试题(含答案)

2021年春季人教版八年级数学下册第十六章二次根式单元测试（基础卷）单元测试题注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题（共12小题）1.二次根式，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤﹣2C．a＞2D．a＜02.要使有意义，则（）A．x≥﹣5B．x≤﹣5C．x＜﹣5D．x＞﹣53.若代数式+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（）A．0B．5C．4D．﹣54.下列运算正确的是（）A．8÷4×＝2B．＝×＝6C．＝2﹣D．﹣＝5.已知a＞b，化简二次根式的正确结果是（）A．b2B．b2C．﹣b2D．﹣b26.若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式+有意义，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣3B．﹣2C．1D．27.若，则的值是（）A．3B．±3C．D．±8.当m＝3时，m+的值等于（）A．6B．5C．3D．19.从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（）A．+1B．5﹣1C．﹣2D．1﹣10.小明在作业本上做了4道题：①＝﹣5；②±＝4；③＝9：④＝﹣6，他做对的题有（）A．1道B．2道C．3道D．4道11.如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（）A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k12.下列说法中：①直角三角形两边长为3和4，则第三边长是5；②所有的有理数和无理数都可以在数轴上找到唯一的对应点；③﹣8没有立方根；④有意义的条件是b为正数；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题）13.代数式有意义，则x的取值范围是．14.已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是．15.若最简根式与是同类根式，则a＝．16.我们在二次根式的化简过程中得知：＝﹣1，＝﹣，＝﹣，……，则（+++…+）（+1）＝．三、解答题（共7小题）17.计算：（1）．（2）．18.实数在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣．19.已知正实数x，y，z满足方程组求该方程组的所有实数解．20.计算：（1）（2﹣3）÷；（2）（﹣）×+；（3）已知：x＝+2，y＝﹣2．求x2+xy+y2的值．21.数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S＝，其中p＝（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．22.若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：（1）求的值．（2）设S＝++…+，求S的整数部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x 的取值范围．23.阅读下列解题过程：＝＝＝﹣1；＝＝＝﹣．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①＝；②＝；（2）应用：求++++…+的值；（3）拓广：﹣+﹣＝．参考答案一、单选题（共12小题）1.二次根式，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤﹣2C．a＞2D．a＜0【答案】A【分析】根据负数没有平方根确定出a的范围即可．【解答】解：二次根式有意义，可得2﹣a≥0，解得：a≤2，故选：A．【知识点】二次根式有意义的条件2.要使有意义，则（）A．x≥﹣5B．x≤﹣5C．x＜﹣5D．x＞﹣5【答案】A【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+5≥0，解得x≥﹣5．故选：A．【知识点】二次根式有意义的条件3.若代数式+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（）A．0B．5C．4D．﹣5【答案】B【分析】利用二次根式的定义、绝对值、平方数的性质分析得出答案．【解答】解：代数式，+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则a﹣5≥0，|b﹣1|≥0，c2≥0，所以代数式，+|b﹣1|+c2+a的最小值是a，a＝5，故选：B．【知识点】二次根式有意义的条件、代数式求值4.下列运算正确的是（）A．8÷4×＝2B．＝×＝6 C．＝2﹣D．﹣＝【答案】D【分析】利用二次根式的乘除法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2＝，所以A选项错误；B、原式＝＝×＝2×3＝6，所以B选项错误；C、原式＝﹣2，所以C选项的计算错误；D、原式＝2﹣＝，所以D选项的计算正确．故选：D．【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化5.已知a＞b，化简二次根式的正确结果是（）A．b2B．b2C．﹣b2D．﹣b2【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件和a＞b得出b≤0，再根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：∵a＞b，∴中﹣ab5≥0，∴b≤0，∴＝b2，故选：B．【知识点】二次根式的性质与化简6.若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式+有意义，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【答案】C【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可．【解答】解：，不等式组的解集是：≤x＜5，∵不等式组有且只有四个整数解，∴0＜≤1，解得：﹣2＜a≤3，即整数a＝﹣1，0，1，2，3，∵关于a的代数式+有意义，∴a≤2且a≠1，∴符合条件的所有整数a的值是﹣1，0，2，∴符合条件的所有整数a的和为：﹣1+2＝1；故选：C．【知识点】二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的整数解、分式有意义的条件7.若，则的值是（）A．3B．±3C．D．±【答案】A【分析】先（）2＝x+2+＝7+2＝9，再开平方，可得结论．【解答】解：∵，∴（）2＝x+2+＝7+2＝9，∵＞0，∴＝3，故选：A．【知识点】分式的加减法、二次根式的化简求值、平方根8.当m＝3时，m+的值等于（）A．6B．5C．3D．1【答案】B【分析】利用二次根式的性质得到原式＝m+|m﹣1|，然后把m的值代入计算即可．【解答】解：原式＝m+＝m+|m﹣1|，当m＝3时，原式＝3+|3﹣1|＝3+2＝5．故选：B．【知识点】二次根式的化简求值9.从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（）A．+1B．5﹣1C．﹣2D．1﹣【答案】B【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【解答】解：A、（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B、无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；C、（+1）﹣（﹣2）＝3，故本选项不合题意；D、（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：B．【知识点】分母有理化10.小明在作业本上做了4道题：①＝﹣5；②±＝4；③＝9：④＝﹣6，他做对的题有（）A．1道B．2道C．3道D．4道【答案】A【分析】分别根据立方根、平方根及二次根式的性质与化简法则计算分析即可得出答案．【解答】解：①＝﹣5，正确；②±＝±4，故②错误；③≠9，故③错误：④＝6，故④错误．∴他做对的题有1道．故选：A．【知识点】立方根、二次根式的性质与化简、平方根11.如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（）A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k【答案】D【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k﹣6|﹣|2k﹣5|，根据绝对值性质得出6﹣k﹣（2k﹣5），求出即可．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，∴﹣＜k＜+，∴3＜k＜4，﹣|2k﹣5|，＝﹣|2k﹣5|，＝6﹣k﹣（2k﹣5），＝﹣3k+11，＝11﹣3k，故选：D．【知识点】二次根式的性质与化简、绝对值、三角形三边关系12.下列说法中：①直角三角形两边长为3和4，则第三边长是5；②所有的有理数和无理数都可以在数轴上找到唯一的对应点；③﹣8没有立方根；④有意义的条件是b为正数；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】直接利用勾股定理以及实数与数轴的性质和立方根的定义、二次根式的性质分别分析得出答案．【解答】解：①直角三角形两边长为3和4，则第三边长是5或，故此选项错误；②所有的有理数和无理数都可以在数轴上找到唯一的对应点，正确；③﹣8的立方根是﹣2，故此选项错误；④有意义的条件是b为非负数，故此选项错误；故选：A．【知识点】勾股定理、实数与数轴、二次根式有意义的条件二、填空题（共4小题）13.代数式有意义，则x的取值范围是．【答案】x＞1【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件14.已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是．【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵y＝++，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：【知识点】二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件15.若最简根式与是同类根式，则a＝．【答案】±1【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行解答即可．【解答】解：∵最简根式与是同类根式，∴4a2+1＝6a2﹣1，解得：a＝±1．故答案为：±1．【知识点】最简二次根式、同类二次根式16.我们在二次根式的化简过程中得知：＝﹣1，＝﹣，＝﹣，……，则（+++…+）（+1）＝．【答案】2019【分析】先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2020﹣1＝2019．故答案为2019．【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类三、解答题（共7小题）17.计算：（1）．（2）．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用多项式乘多项式展开，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣5+＝﹣；（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2＝﹣2．【知识点】二次根式的混合运算18.实数在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣．【分析】根据a、b在数轴上的位置，可得a、b、a﹣b的符号，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0所以|a﹣b|﹣＝|a﹣b|﹣|b|＝b﹣a﹣b＝﹣a．【知识点】实数与数轴、二次根式的性质与化简19.已知正实数x，y，z满足方程组求该方程组的所有实数解．【分析】令x≥y，根据二次根式的性质和分母有理化的知识进行化简即可．【解答】解：不妨令x≥y，有，得，∴z≥x，∴z≥y，∴，得，∴y≥x，∴y＝x，∴x＝y＝z，代入解得：x＝y＝z＝．【知识点】分母有理化、二次根式的应用20.计算：（1）（2﹣3）÷；（2）（﹣）×+；（3）已知：x＝+2，y＝﹣2．求x2+xy+y2的值．【分析】（1）根据二次根式的除法法则计算；（2）根据二次根式的混合运算法则计算；（3）根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y，xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．【解答】解：（1）（2﹣3）÷＝（8﹣9）÷＝﹣÷＝﹣1；（2）（﹣）×+＝×﹣3×+3＝3﹣3+3＝3；（3）∵x＝+2，y＝﹣2，∴x+y＝+2+﹣2＝2，xy＝（+2）（﹣2）＝1，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝20﹣1＝19．【知识点】分母有理化、二次根式的化简求值21.数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S＝，其中p＝（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p＝，∴；（2）∵，∴，，∴．【知识点】二次根式的应用、数学常识22.若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：（1）求的值．（2）设S＝++…+，求S的整数部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x 的取值范围．【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）将++…+进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|+3|+|﹣3|，再根据|+3|+|﹣3|取最小值时，确定x的取值范围．【解答】解：（1）＝＝|++|＝；（2）S＝++…+＝++…+＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣＝2020+，故整数部分为2020；（3）由题意得，+|﹣﹣|＝|++|+|﹣﹣|＝|+|+|﹣|，又y+z＝3yz，原式＝|+3|+|﹣3|，因为|+3|+|﹣3|取最小值，所以﹣3≤≤3，而x＞0，因此，0＜x≤，答：x的取值范围为0＜x≤．【知识点】分式的加减法、实数的运算、估算无理数的大小、规律型：数字的变化类、二次根式有意义的条件23.阅读下列解题过程：＝＝＝﹣1；＝＝＝﹣．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①＝；②＝；（2）应用：求++++…+的值；（3）拓广：﹣+﹣＝．【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．【解答】解：（1）①＝＝﹣；②＝＝﹣；故答案为：﹣；﹣；（2）++++…+＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1；（3）﹣+﹣＝﹣+﹣＝﹣+﹣＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【知识点】分母有理化。

初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥32．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．03．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠35．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝；④＝；⑤＝；⑥＝；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．2022-2023学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义得出x+3≥0，进而得出答案．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．2．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．0【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据即可求解．【解答】解：当a＞0时，．故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质，掌握是解题的关键3．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【答案】C【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A.＝2，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；B.＝4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；C.是最简二次根式，故符合题意；D.＝，被开方数是小数，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6≥0，解得：x≥3，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．5．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性、二次根式的性质、立方根逐项判断即可．【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根的非负性、立方根等知识，掌握二次根式的性质、算术平方根的非负性是解本题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x ＜5．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x＜5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，解得：x＜5，故答案为：x＜5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是45．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】45．【分析】由，结合b是正整数，是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．【解答】解：∵，又∵b是正整数且是大于1的整数，∴当b＝15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，当b＝60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45．故答案为：45．【点评】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣3且x ≠0．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】x≥﹣3且x≠0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故答案为：x≥﹣3且x≠0．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】根据二次根式的分母有理化计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简，熟记分母有理化方法是解题关键．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝1；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝4a2；④＝﹣1；⑤＝；⑥＝2；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】实数；整式；分式；二次根式；运算能力．【答案】①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【分析】①根据零指数幂的意义即可求出答案．②根据负整数指数幂的意义即可求出答案．③根据积的乘方运算即可求出答案．④根据分式的加减运算法则即可求出答案．⑤根据积的乘方运算即可求出答案．⑥根据二次根式的性质即可求出答案．⑦根据二次根式的性质即可求出答案．⑧根据多项式乘多项式法则即可求出答案．【解答】解：①原式＝1．②原式＝．③原式＝4a2．④原式＝＝﹣1．⑤原式＝．⑥原式＝2．⑦原式＝．⑧原式＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2．故答案为：①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【点评】本题考查零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、积的乘方运算、二次根式的性质、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】被开方数的分子分母乘以2，然后再开方即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．【考点】二次根式有意义的条件；平方根；立方根；实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）x＝﹣4或x＝6；（2）x＝﹣6；（3）9．【分析】（1）根据平方根的概念计算；（2）根据立方根的概念计算；（3）根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，∴x＝﹣4或x＝6；（2）∵（x+3）3＝﹣27，∴x+3＝﹣3，∴x＝﹣6；（3）由题意得：x﹣2≥0，x﹣2≤0，∴x＝2，∴y＝3，∴y x＝32＝9．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根、立方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．【解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案为：；（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．【考点】二次根式有意义的条件．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝a n b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．5．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．6．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．7．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．8．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．9．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．10．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．11．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．12．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．13．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．。

五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任

a2 = 把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .
A D
＞
＜
【变式题】 化简：
归纳 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完
全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.
归纳总结
化简二次根式的步骤： 1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把式各(因或式因(数或)因的数算)术积平的方算根术的平积方；根化为每个因 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
注意：a,b都必须是非负数.
典例精析
解：
可先用乘法结合律， 再运用二次根式的 乘法法则
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算3a2·2a3= 6a5 . 例2 计算:
解:
归纳 当二次根式根号外的因数不为1时，.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
B D 30
二 积的算术平方根的性质 一般的：
这个性质在有的地方 称之为“积的算术平 方根的性质”
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例4 化简：
(2)中4a2b3含有像4， a2，b2，这样开的 尽方的因数或因式， 把它们开方后移到 根号外.
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所
发现的规律吗？
猜测：
你能证明这 个猜测吗？
归纳总结
二次根式的乘法法则: 一般地，对于二次根式的乘法是
在本章中，如 果没有特别说明， 所有的字母都表 示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘. 语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.