回归分析与独立性检验(精)

回归分析与独立性检验

知识要点及解析

1.函数关系与相关关系的区别?

函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.

2.回归公式∑∑∑∑====--=

---=n

i i

n

i i

i n

i i

n

i i

i

x n x

y

x n y x x x y y

x x b

1

2

21

1

2

1

)

()

)((ˆ

3.回归分析的步骤:

4.回归直线的性质

⑴回归直线 过样本点的中心()y x , ⑵回归直线的估计值b

ˆ的意义:解释变量x 每增加一个单位,预报变量y 就增加b ˆ个单位. 5.如何衡量模型的拟合效果?

方法1：在残差图中，残差点比较均匀落在带状水平区域内，说明选用的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

方法2：残差平方和：残差i e

ˆ的平方和越小，回归模型拟合效果越好. 方法3：相关指数R 2： ()()

∑∑==---

=n i i

n

i i i

y y

y y

R 1

2

1

2

2

ˆ1 其中

R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，相关指数R 2

越接近于1(越大)，回归模型拟合效果越好。

例题1：在两个变量y 与x 的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的相关指数R 2

如

下,其中拟合效果最好的模型是( ) A ．模型1的R 2

=0.98 B ．模型2的R 2

=0.80 C ．模型3的R 2

=0.50 D ．模型4的R 2

=0.25 例题2：根据一位母亲记录儿子3～9岁身高数据，建立儿子身高(单位:cm)对年龄(单位：岁)

的线性回归方程 93.7319.7ˆ+=x y

,若用此方程预测儿子10岁时的身高,下列有关叙述正 确的是( )

A ．身高一定为145．83cm;

B ．身高大于145．83cm;

C ．身高小于145．83cm;

D ．身高在145．83cm 左右

例题3：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的 能耗y(吨标准煤)的几组数据:

⑴求出线性回归方程a x b y

ˆˆˆ+= ⑵已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)问求出的线性回

a x

b y

ˆˆˆ+=()

1

02≤≤R

归方程预测(估计)生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

6.独立性检验的定义：利用随机变量K 2

来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验

)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 其中d c b a n +++=

7.独立性检验的步骤：

⑴制定判别规则:根据实际问题的需要,确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α ,然后查表确定临界值k 0 ⑵利用公式计算随机变量K 2

的观测值k

⑶如果K 2

的观测值k 很大,说明“X 与Y 有关系”,观测值k 很小,说明“X 与Y 没有关系” 如果k ≥k 0 ,就推断“X 与Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α,即有α-1的把握认为“X 与Y 有关系” 例1、针对某地区的一种传染病与饮用水进行抽样调查发现:饮用干净水得病5人,不得病50 人,饮用不干净水得病9人,不得病22人。

⑴作出2×2列联表 ⑵能否有90％的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关?

例2、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已右在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.5

⑴请将上面的列联表补充完整；

⑵是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

⑶已知喜爱打篮球的10位女生中，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5还喜欢打羽毛球，B 1，B 2，B 3还喜欢打乒乓球，C 1，C 2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率。