林木最近距离分布模型的参数估计

安徽农业科学，Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＡｎｈｕｉ　Ａｓｈ．Ｓｃｉ．２００８，３６（２４）：１０２８８—１０２８９　责任编辑王森责任校对傅真治　

林木最近距离分布模型的参数估计　

朱成莲（淮阴师范学院数学系，江苏淮安２２３３０ｏ）　

摘要林木距离分布是森林空间结构的重要体现，描述林木空间分布的方法是评价和分析自然森林经营的基础。以Ｗｅｉｂｕｌｌ函数所表　

达的林木距离分布为基础，利用顺序统计量对Ｗｅｉｂｕｌ１分布的参数进行估计。　

关键词林木距离分布；模型；参数估计　

中图分类号ｓＩＩ　４　文献标识码Ａ　文章编号０５１７—６６“（２００８）２４—１０２８８—０２　

Ｐａｒａｍｅｔｅｒ￣ｔｉｏｎ　ＯｉｌｔｈｅＤｉｓｔｒｉ［ｍｔｉｏｎＭｏｄｅｌ　ｏｆ蛐ｎ　呻　Ⅱ毪．ｔｏ－ｔｒｅｅＤｉｓｔａｉｘ￣　

删Ｏ）ｅ￣－ｔｉａｎ（Ｄｅｐａｒｌｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕａｉｙｉｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　ｃ０Ⅱｅ　，Ｈｕａｉａｎ，Ｊｉａｎｇｓｕ　２２３３００）　

Ａｈｓｔｒａｅｔ　Ｔｒｅｅ—ｔｏ－ｔｒｅｅ　ｄｉｓｔａｎｃｅｗａｓｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｅｍｂｏｄｉｍｅｎｔ　ｏｆｆｏｒｅｓｔ　ｓｐａｔｉａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．　ｆｈｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒ　ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｆｏｒｅｓｔ　ｓｐａｔｉａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｗａｓｔｈｅ　ｂａ．　

ｓｉｓｆ０ｒｔｈｅ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｎａｔｕｌ￣ｆｏｒｅｓｔｍａｎａｇｅｍｅｎｔ．Ｏｎｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆｔｒｅｅ－ｔｏ－ｔｒｅｅ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ｂｙＷｅｉｂｕｌｌｆｕｎｃｔｉｏｎ．ｔｈｅ　

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｅｓｔｉｍａｔｅｄ　ｂｖ　ｏｒｄｅｒ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｒｅｅ．ｔｏ－ｔｒｅｅ　ｄｉｓｔａｎｃｅ；Ｍｏｄｅｌ；Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　

描述林木空间分布的方法是评价和分析自然森林经营　定理１设　１，　，…，　为来自两参数Ｗｅｉｂｕｌ１分布总体　

的基础＿ｌ　Ｊ。林木距离分布是森林空间结构的重要体现，它　

是森林自然演替、竞争发育和人为干涉的直接结果，距离分　

布是进行林分可视化的前提　ｊ，已成为现代森林经营的重要　

研究内容。现代森林经营研究正致力于通过获得变量来预　

测林木距离及其分布。Ｓｔｏｙａｎ给出了随机分布林分的林木最　

近距离分布的理论分布函数Ｌ４　；惠刚盈提出了林木最近距离　

分布服从Ｗｅｉｂｕｌ１分布ｌ　，除特别均匀的人工林外，通常用两　

参数Ｗｅｉｂｕｌ１分布足以很好地表达【　。两参数Ｗｅｉｂｕｌ１分布的　

密度函数为：　

．　）：÷（÷）一　ｅ一（言　（１）　

Ｗｅｉｂｕｌ１分布的分布函数为：　

，（　）：１一ｅ一（言）　（２）　

式中，　为距离；ｂ为尺度参数；ｃ为形状参数。　

使用容量为．ｒｔ的样本进行参数估计时，由于距离测量耗　

时费力，或条件有限，时常记录某些ｉ（１≤ｉ≤ｎ）个的试验数　

据中第　个试验数据，如最大试验数据或最小试验数据。笔　

者利用这些不完整的数据来估计参数。　

引理１［　ｊ设　ｌ，　２，…，墨为来自总体　的容量为ｎ的　

简单随机样本，总体　的密度函数为ｆ（　），分布函数为　

Ｆ（ｘ），以Ｘ（１１＜Ｘ（２）＜…＜Ｘ（　）表示　ｌ，　，…，　的顺序统　

计量，则第ｋ个顺序统计量Ｘ㈩（１≤　≤ｎ）密度函数为　

，（　）＝　可　［Ｆ（　）　［１一Ｆ（　）　（　）（３）　

推论设　】，　，…，以为来自两参数Ｗｅｉｂｕｌ１分布总体　

的容量为ｎ的简单随机样本，以Ｘ（Ｉ）＜Ｘ（２）＜…＜　（　）表　

示　，　，…，　的顺序统计量，则第ｋ个顺序统计量　（　）（１　

≤ｋ≤ｎ）密度函数为　

ｆ　可ｎ　！厕　ｃ　６ｘ一　ｅ山山　

，（　）　１　［１－　一（　，　＞ｏ（４）　

ｌ　０　，　≤０　

基金项目　江苏省教育厅自然科学基金资助项目（０５Ｋ．１Ｄ１１００３４）。　作者简介朱成莲（１９６６一），女，江苏涟水人，硕士，副教授，从事概率　论与数理统计方面的研究。　收稿日期２００８—０６４３６　Ｘ的容量为Ｉ＇ｔ的简单随机样本，以　（１）＜　（２）＜…＜　（　）表　

示Ｘ　，ｘ２，…，　的顺序统计量，则第ｋ个顺序统计量　）　

（１≤ｋ≤ｎ）的一阶原点矩、二阶原点矩分别为　

Ｅ（Ｘ㈥）＝　前　ｒ（１＋　Ｃ）　ｉ＝１　（－１）‰一　

＋１＋　）一（１＋　’　（５）　

Ｅ（研　＝　＝　ｒ（１＋÷）　（一１）　（ｎ一．ｉ｝　

＋１＋　）一（１＋　（６）　

证明由于　１（１≤ｋ≤ｎ）密度函数由（４）给出，因此　

Ｅ（乩））＝』　詈（詈）　。　

ｅ一（ｎ一　＋１）（詈）　［１一ｅ一（　）　］　一ｌｄｘ　

＝　紊』　￣ｘＣｅ－（ｎ－ｋ＋１）（ｋ　１　ｋ　ｌ一　一（　一　）！（　一　）１　６ｃ　ｏ　”　

ｅ一（　）　

＝　ｋ　１　ｋ紊　（一¨　一　（一）！（ｎ一）１　６ｃ　岛　一’　、　

』　一（ｎ一…＋　）（詈）　ｄｘ　（令ｔ＝（ｎ—ｋ＋１）　

（詈）　）　

：　—　Ｌ　ｋ薹－Ｉ（一１）　』　＊￡　１ｋ　～ｔ（ｎ一矗＋ｌ１　一（一）！（ｒｔ—ｋ）！　、　０　、”…　

＋　）一（１＋｛）　

：万—　—丽ｒ（１＋　（一１）　（ｎ一　＋１＋ｋ　１　ｋ　一（一）！（ｎ一）！　ｃ盘　。　、”　’　’　

）一（１＋÷）；　

Ｅ（碾　））＝ｆ　＝　Ｉ．＿＝＿而寺（詈）　

ｅ一（ｎ—ｋ＋１）（音）　『１一ｅ一（吾）　］　一１　

：　—　—　』　Ｘｃ＋ｌ　ｅ．（ｎ　¨）（音）　ｋ　１　一（

一）！（ｒｔ—ｋ）！ｂｃ　。　

Ｅ１一ｅ一（吾）　

＝　一二＿　ｃ　ｋ　－Ｉ　，（一１）　Ｉ　ｏ＋１　∞　一（七一）！（　一后）１　６ｃ　一　、　

ｅ一（ｎ—ｋ＋ｉ＋１）（詈）　ａｋ　

（令￡＝（ｎ—ｋ＋１）（　）　）　

Ｄ　维普资讯 http://www.cqvip.com ３６卷２４期　朱成莲林木最近距离分布模型的参数估计　１０２８９　

＝面　ｋ善－Ｉ（＿１）　ｆ　ｏ＋　￡　ｅ－ｌ（ｎ－－ｋ　１　ｋ　Ｊｉ｝　一（

一）！（ｎ一）！　…　

＋１＋　）一（１＋｛　

＝　鲁丽ｒ（１＋　）　（一Ｉ）ｉｋ　Ｉ　ｋ　（ｎ—Ｊｉ｝　一（一）！（ｎ一）！　、　。ｃ　岛、　、“　

＋１＋　）一（１＋　）　

ｎｊ（ｊ＝１，２，…，ｍ）简单随机样本，设　（　）为来自　（　＝１，２，　

跏（６，ｃ）＝　＝斋　ｒ（１＋÷）ｋ善－１（一１）　（ｎ一　

ｈｊ￣（ｂ＇ｃ）＝　ｒ（１＋　）　（－１）‰一　

＋Ｉ＋　）一（１＋　（８）　

由（５）～（８）式可以看出　（　），碾　）分别是ｇ（　）（ｂ，ｃ），　

＾（　）（ｂ，ｃ）的无偏估计，用　（＿】ｌｆ），碍　）分别估计ｇ（　）（ｂ，ｃ），　

（　）（ｂ，ｃ）。可以得到以下定理：　

有ｍ组容量分别为ｎｊ（ｊ＝１，２，…，ｍ）简单随机样本，　（　）为　

来自ｊ（ｊ＝１，２，…，ｍ）组第ｋ个顺序统计量，则可从方程组　

ｆ　孝ｃ　荸ｇｃ　（　，　）　（９）　善　

，　＾　（　

解出６和　分别作为ｂ和ｃ的估计量。把　）对应的值代　

有ｍ组容量都为ｎ的简单随机样本，Ｘ（ｊｌ、为来自ｊ（ｊ＝１，２，　

＝　………；　

蔫　

Ｉ＿１Ⅲ　，ｓ　＝　（　一　）　

有ｍ组容量都为ｎ的简单随机样本，Ｘ（ｊｌ、为来自ｊ（ｊ＝１，２，　

…，ｍ）组最小顺序统计量，由（４）式可得　（　１）（　＝１，２，…，ｍ）　

）：｛．ｎ詈（　‘　。　

Ｌ　０　，　≤０　

取Ｘ（ｊ１）（Ｊ＝１，２，…，ｍ）作为容量为ｍ的新样本，　（　１）（　＝１，　

２，…，ｍ）可以看作来自总体　

ｙ一　＝｛　｛　（詈　一　ｅ—ｎ‘詈　

的样本，总体Ｙ的数学期望和方差为：　．　＞０　

，　≤０　Ｅ（　（Ⅲ）＝』　肌詈（詈）ｃ－ｌｅ－ｎ（言　＝　一｛ｒ　

（１＋　）　

Ｅ（　）。）＝』　ｎ　Ｃ　Ｘ）ｃ＇ｌ　ｅ－ｎ（詈　＝ｂ２ｎ－　ｒ（１　

＋　）　Ｃ　

Ｖａｒ（Ｘ　））＝Ｅ（ｘＬ￣））一（Ｅ（　））　＝ｂ２／．ｔ－｛ｒ（１＋　）　

一（６　一｛ｒ（１＋—Ｌ））　

分别以　（　１）（．『＝ｌ，２，…，ｍ）容量为ｍ的新样本的矩、　

方差　

＝　ｍ　，｜ｓ　＝　（　一　

代替总体Ｙ的矩、方差，得到方程组　

ｆ　＝６　一÷ｒ（１＋÷）　

【Ｓ２＝￣２／７＂－｛ｒ（１＋　）一（／，ｎ－　＋÷））　

由方程组可得　

－２　（ｒ（１＋÷））　

－ｙ２＋Ｓ２－

．ｒ（１＋÷）　ｌ　

１Ｉ—Ｉ；　

ｒ（１＋÷）　（１０）　

由（１０）式解出；作为ｃ的估计，再将；代人（１１）式得到　

６作为ｂ的估计，得到６作为ｂ的估计。　

可以根据各组记录的数据，适当调整（９）式的表达式，如　

ｊ（ｊ＝１，２，…，ｍ）组得到第Ｊ（Ｊ＝１，２，…，ｍ）个顺序统计量，　

（９）式可以表示为　

ｍ　ｍ　

（１２）　

砘）＝　＾（　）（　

又如ｊ（ｊ＝１，２，…，ｍ）组得到是前ｊ（ｊ＝１，２，…，ｍ）个顺　

序统计量，则（９）式就可以表示为　

ｆｆ　（　）＝，　ｇ（　）（６，ｃＪ　

｛　（１３）　【

，　）＝　箍　（　）（∽　

通过（１２）或（１３）式可以解出５和　分别作为ｂ和ｃ的　

估计量，把　（　）对应的值代人就得到ｂ和ｃ的估计。　

参考文献　

［Ｉ］ＰＲＥＩＺＳＣＨＨ．ＭＭｅｌｌｉｅｍｎｇｄｅｓＷ　ａｄ劬】ｒｎｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：ＰｍＷＢｕｅｈｖｅｒｌａｇ　Ｂ既ｌｉｎ．２００１．　

【２Ｊ　ＡＧＩⅢ｛ＲＥ　０，ＨＵＩＧＹ，ＧＡＤＯＷＫＶ．Ａｎ　舳　ｓｐａｔｉａｌｆｏｒｅｓｔ　ｓ扛ｗ　Ｉ】ｓ．　ｉｎｓ　ｌ００ｄ　ｂａｓｅｄ　ｖｍｉａｂｌ￣ｓ［Ｊ］．Ｆｏｒｅｓｔ　Ｅｃｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　ｍ　，加０Ｂ，　

１８３：１３７—１４５．　

１３Ｊ　ＰＲＥＴＺＳＣＨＨ，ＳＩ￣ＦＥＲＴ　Ｓ．Ｗｉｓｓｅｎｓｄｍｆ￣ｃｈｅ　ｖｉｓｕａｌｉｓｉｅｎｍｇｄｅｓ　Ｗ　ｄｗａｄ　ｎｍＢ　［Ｊ］．ＡＦＺ／ｄｅ￣Ｗａｌｄ，１９９９，ｌ８：９６０—９６２．　

１４ｊ　ＳＩＤＹＡＮ　Ｄ，Ｓ１ＤＹＡＮ　Ｈ．Ｆｒａｋｔａｌｅ　ｎＩ　ｐｕｎｋｔｆｄｄ￣［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ａｌ【ＩＩｄｄ试ｅ　

Ｖｅｒｌａｇ，１９９２．　［５］惠刚盈，冯筐多．森林空间结构量化分析方法［Ｍ］．北京：中国科学技术　出版社，２００３．　

［６］惠刚盈，徐海，胡艳波．林木最近距离分布预测模型的研究［Ｊ］．北京林　业大学学报，２ＯＯ６，２８（５）：ｌ８—２１．　

［７］邓宇辉．样本区间的概率分布［Ｊ］．数学杂志，２００４，２４（６）：６８５—６８９．

　维普资讯 http://www.cqvip.com