高一上学期数学知识点总结(含答案)

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高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结

一、集合与命题

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设P Q 、为两个非空实数集合,定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{0,2,5}P =,}6,2,1{=Q ,则P Q +中元素的有________个。(答:8)(2)非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ,且满足“若S a ∈,则S a ∈-6”,这样的S 共有_____个(答:7)

2.遇到A B =∅时,你是否注意到“极端”情况:A =∅或B =∅;同样当A B ⊆时,你是否忘记∅=A 的情形?要注意到∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=,

{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,则实数a =______.(答:10,1,2

a =) 3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为,n 2,12-n ,

12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。 (答:7)

4.集合的运算性质: ⑴A B A B A =⇔⊆; ⑵A B B B A =⇔⊆;⑶A B ⊆⇔

u u A B ⊇; ⑷u u A

B A B =∅⇔⊆; ⑸u A B U A B =⇔⊆; ⑹()U

C A B U U C A C B =;⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ,若}2{=B A ,}4{)(=B A C U ,}5,1{)()(=B C A C U U ,则A =_____,B =___.(答:{2,3}A =,{2,4}B =)

5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:(){}

|x y f x =—函数的定义域;(){}

|y y f x =—函数的值域;(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集,如设集合{|M x y ==,集合N ={}2|,y y x x M =∈,则M N =_ _

(答:[4,)+∞);

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x 的不等式250ax x a

-<-的解集为M ,若3M ∈且5M ∉求实数a 的取值范围。 (答:(]519253a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭

,,) 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”,则逆命题为“若q 则p ”;否命题为“若p 则q ” ;逆否命题为“若q 则p ”。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假,这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法?如(1)“在△ABC 中,若∠C=900,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 (答:在ABC ∆中,若90C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角);(2)已知函数2(),11

x x f x a a x -=+>+,证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若B A ⊆,则A 是B 的充分条件;若B A ⊆,则A 是B 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件。如设命题p :|43|1x -≤;命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若p 是q 的必要而不充分的条件,则实数a 的取值范围是 (答:1

[0,]2

) 二、不等式

1. 不等式的性质:

(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;

(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c d

>);

(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >>

(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b

>。 如(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①2

2,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22;③22,0b ab a b a >><<则若;④b

a b a 11,0<<<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0;⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11,a b a b

>>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧) (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:[]1,7)

(3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ (答:12,2⎛⎫-- ⎪⎝

⎭) 2. 不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;

(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;

(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。

如设2a >,12

p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >) 3. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式,若0a >,则b x a >

;若0a <,则b x a

<;若0a =,则当0b <时,x R ∈;当0b ≥时,x ∈∅。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1,(--∞,则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______(答:{|3}x x <-)

4. 一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗?设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根,且x x <,则其解集如下表:

如解关于x 的不等式:01)1(2<++-x a ax 。(答:当0a =时,1x >;当0a <时,1x >或x a <

;当01a <<时,11x a <<;当1a =时,x ∈∅;当1a >时,11x a

<<) 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0,其次若0≠a ,则一定有

042≥-=∆ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形?如:(1)

()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立,

则a 的取值范围是_______(答:(1,2]);(2)关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么?(答:k D ∈,其中D 为()f x 的值域)