分段函数的表达式写法分段函数（piecewisefunction）是指在一定区间内应用不同函数表达式的函数。
这种函数可以用一个坐标系来描述，比如（x，f(x)）。
其中，当x属于某一段时，其值对应着一个特定的函数。
以笛卡尔坐标系为例，要描述分段函数，需要指定不同段的函数表达式以及每个函数表达式所对应的区间范围。
分段函数的表达式写法分段函数的表达式写法一般是用“区间因式分解法”，也就是说，把一个分段函数分割成若干个“区间-函数”组合。
这样，可以表达每个区间对应的函数表达式，而函数表达式又可以通过几何方式表示出来。
以 f(x) = {2x + 1 | x < 0 ; x + 2 | 0 x < 3 ; 3x + 5 | x 3} 为例，这个函数可以用区间因式分解法表示为：f(x) ={2x + 1, x < 0;x + 2, 0 x < 3;3x + 5, x 3}区间因式分解法的另一种表示法是用“函数拼接法”，它的记号形式是“f(x) = f1(x) | x < t ; f2(x) | x t”，其中，t代表某个标量值，f1(x)和f2(x)分别代表x在不同区间所对应的函数，这种表示方法能够清楚地表达出每一段函数的表达式以及它们之间的拼接处。
以上面的函数为例，可以拆分成下面两个函数：f1(x) ={2x + 1, x < 0}f2(x) ={x + 2, 0 x < 3;3x + 5, x 3}再用函数拼接法表示就是：f(x) = f1(x) | x < 0 ; f2(x) | x 0特殊的分段函数有的时候，有一些特殊的分段函数，比如三角函数，就可以用下面的公式表示：f(x) = sin(x) | -π < x < -π/2 ; cos(x) | -π/2 x < 0; tan(x) | 0 x/2; cot(x) |/2 x由此可见，分段函数可以用区间因式分解法来表示，也可以用函数拼接法来表示，它们分别可以表示特定函数在不同区间内的表达式，从而满足分段函数的特殊性，为数学模型的运用和解析提供了便利。
simulink 分段函数Simulink 分段函数Simulink 是一种基于模型的设计和仿真环境，用于在MATLAB 中进行动态系统建模和仿真。
它提供了一个直观的图形界面，使工程师和科学家能够以图形方式建立和修改系统模型，并通过模拟来评估系统的性能。
在Simulink 中，分段函数是一种常用的数学建模工具，它允许我们将系统的行为分段描述，以便更好地理解和分析系统的性能。
分段函数是指在不同的输入范围内，使用不同的函数表达式来描述系统的行为。
例如，我们可以使用一组线性方程来描述一个汽车的加速度与速度之间的关系，当速度在某个范围内时，使用一个方程，当速度在另一个范围内时，使用另一个方程。
通过使用分段函数，我们可以更准确地模拟和分析系统的行为。
在Simulink 中，我们可以使用分段函数模块来构建分段函数模型。
该模块允许用户定义不同的函数表达式，并将它们与不同的输入范围相关联。
当Simulink 模型运行时，系统会根据输入值选择适当的函数表达式，并输出相应的结果。
这种灵活性使得Simulink 在各种领域的研究和工程应用中都得到了广泛的应用。
使用Simulink 构建分段函数模型的过程相对简单。
首先，我们需要定义每个分段函数的函数表达式。
这些表达式可以是线性的、非线性的，甚至是离散的。
然后，我们需要确定每个分段函数的输入范围。
这些范围可以是连续的，也可以是离散的。
最后，我们将这些分段函数和输入范围与分段函数模块相连，构建一个完整的Simulink 模型。
一旦我们构建了分段函数模型，我们就可以使用Simulink 提供的分析工具来评估系统的性能。
例如，我们可以使用仿真工具来模拟系统在不同输入条件下的行为，并观察输出结果。
我们还可以使用优化工具来寻找系统的最佳参数配置，以实现某些特定的性能要求。
通过使用Simulink 的分段函数模块，我们可以更准确地理解和预测系统的行为，从而优化系统设计和性能。
Simulink 的分段函数模块为我们提供了一个强大的工具，用于建立和分析系统的数学模型。
3.1.3 简单的分段函数课程标准学习目标（1）通过具体实例, 了解简单的分段函数, 并能简单应用。
（1）了解分段函数的概念;（2） 会求分段函数的解析式或函数值；（3）分段函数的性质与应用.（难点)知识点01 分段函数定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．Eg f(x)=|x|=x, x ≥0―x, x <0，f(x)=(―1)x =―1, x 为奇数1, x 为偶数(x ∈N).【即学即练1】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，用水量单价（元/吨）不超过40吨的部分 1.8超过40吨的部分2.2求用水量与水费之间的函数关系，并求用水30吨和50吨的水费.解析 设用水量为x 吨，水费为y 元，依题意知当x ≤40时，y =1.8x 元；当x >40时，y =2.2(x ―40)+1.8×40=2.2x ―16元，故用水量与水费之间的函数关系为f (x )= 1.8x , x ≤402.2x ―1.6, x >40，所以f (30)=54，f (50)=109.4，即用水30吨和50吨的水费分别为54元、109.4元.【题型一：求分段函数的函数值】例1．已知函数f (x )=f (x +2),x ≤0x 2―3x +4,x >0，则f (f (―6))=（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】C 【分析】通过函数表达式即可得出f (f (―6))的值.【详解】由题意，在f (x )=f (x +2),x ≤0x 2―3x +4,x >0中，f (f (―6))=f (f (―4))=f (f (―2))=f (f (0))=f (f (2))=f (22―3×2+4)=f (2)=22―3×2+4=2，故选：C.变式1-1．已知函数f (x )=x ―1, x >0x, x =0x+1, x <0那么f(f(3))的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【分析】先计算f (3)=3―1=2，从而f [f (3)]=f (2)，由此能求出结果.【详解】解：∵函数f (x )=x ―1,x >0x,x =0x +1,x <0，∴f (3)=3―1=2，f [f (3)]=f (2)=2―1=1.故选：A.变式1-2．已知函数f (x )=f (x ―2),x ≥02x 2―3x,x <0，则f(1)=（ ）A ．14B ．5C ．1D ．-1【答案】B【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.【详解】因为f (x )=f (x ―2),x ≥02x 2―3x,x <0，所以f (1)=f (―1)=2×(―1)2―3×(―1)=5.故选：B变式1-3．定义：|a bc d |=ad ―bc ．若f(x)=|ax ―3xx |,x ≥0f(x +3),x <0，f(1)=4，则f(―2020)=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【分析】依题意可得f(x)=ax 2+3x,x ≥0f(x +3),x <0，由f(1)=4求出a 的值，从而得到f (x )的解析式，再根据f(―2020)=f(―2020+673×3)=f(―1)=f(2)代入计算可得.【详解】依题意可得|ax―3xx |=ax 2+3x ，所以f(x)=|ax ―3x x |,x ≥0f(x +3),x <0=ax 2+3x,x ≥0f(x +3),x <0 ，因为f(1)=4，所以f(1)=a +3=4，所以a =1，所以f(x)=x 2+3x,x ≥0f(x +3),x <0，所以f(―2020)=f(―2020+673×3)=f(―1)=f(2)=4+6=10．故选：A ．【方法技巧与总结】根据分段函数求函数值，要注意分段函数中的每段函数中自变量的取值范围.【题型二：根据分段函数求解不等式】例2．设函数f(x)={|x ―1|+1,x ≤11,x >1，则满足f(x +1)<f(2x)的 x 的取值范围是（ ）A ．(―∞ ， ―12]B ．(―∞,12)C ．(―12 ， 0)D ．(―12 ， +∞)【答案】B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式f(x +1)<f(2x)求其解.变式2-1．已知f(x)=1,x⩾0,0,x<0,则不等式xf(x)+x⩽2的解集为（）A．[0,1]B．[0,2]C．(―∞,1]D．(―∞,2]【答案】C【解析】分别讨论x≥0与x<0的情况,进而求解即可【详解】当x≥0时,原不等式可化为x⋅1+x≤2,解得0≤x≤1；当x<0时.原不等式可化为x≤2,所以x<0；综上,原不等式的解集为(―∞,1]故选：C【点睛】本题考查分段函数,考查解不等式,考查分类讨论思想变式2-2．设函数f(x)=x2―4x+6,x≥0x+6,x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是（）A．(―3,1)∪(2,+∞)B．(―3,1)∪(3,+∞)C．(―1,1)∪(3,+∞)D．(―∞,―3)∪(1,3)【答案】B【分析】首先求出f(1)，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.【详解】因为f(x)=x2―4x+6,x≥0x+6,x<0，所以f(1)=12―4+6=3，不等式f(x)>f(1)等价于x≥0x2―4x+6>3或x+6>3x<0，解得0≤x<1或x>3或―3<x<0，所以不等式f (x )>f (1)的解集为(―3,1)∪(3,+∞).故选：B变式2-3．设函数f (x )=x 2+2x,x ≥0―x 2+2x,x <0，若f (f (a ))≥3，则实数a 的取值范围是（ ）A ．―1,+∞)B ．(―∞,――1]C ．[―3,1]D ．[1,+∞)【方法技巧与总结】根据分段函数求解不等式，要注意好分类讨论，找准分类讨论的标准，做到不重不漏.【题型三：根据分段函数所得方程求参数或自变量】例3．已知函数f (x )=(x ―1)2,0<x <22(x ―2),x ≥2，若f (a )=f (a +2)，则f (a +=（ ）A ．0B ．C ．0或D ．4―变式3-1．已知函数f(x)=x,x<02x,x≥0，若f(m)=―f(1)，则m=（）A．―2B．―1C．―4D．2【答案】A【分析】先求出f(1)=2，然后分类讨论代入函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得f(1)=2.当m≥0时，f(m)=2m=―f(1)=―2，解得m=―1，舍去；当m<0时，f(m)=m=―f(1)=―2，解得m=―2，满足题意.所以m=―2.故选：A变式3-2．设f(x)=<x<11),x>1，若f(a)=f(a+1)，则=（）A．2B．4C．6D．8变式3-3．已知函数f(x)=x2+x，0<x<2―2x+8，x≥2，若f(a)=f(a+2)，a∈(0,+∞)，则=（）A．2B．516C．6D．172【答案】A【分析】根据分段函数，分0<a<2，a≥2，由f(a)=f(a+2)求解.【详解】因为函数f(x)=x2+x，0<x<2―2x+8，x≥2，且f(a)=f(a+2)，a∈(0,+∞)，【方法技巧与总结】根据分段函数的函数值所得的方程求其中的参数或自变量，要注意变量的取值范围，作好分类讨论.【题型四：求分段函数的解析式】例4．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f (t)．则函数y=f(t)的图象大致为（）A．B．C．D．变式4-1．已知边长为1的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A→B→C→E 运动．设点P 经过的路程为x ．△APE 的面积为y ．则y 与x 的函数图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．变式4-2．在同一平面直角坐标系中，函数y =f (x )和y =g (x )的图象关于直线y =x 对称．现将y =g (x )的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f (x )的表达式为（ ）A ．f (x )=2x +2,―1≤x ≤0x 2+2,0<x ≤2B ．f (x )=2x ―2,―1≤x ≤0x 2―2,0<x ≤2C ．f (x )=2x ―2,1≤x ≤2x 2+1,2<x ≤4D ．f (x )=2x ―6,1≤x ≤2x 2―3,2<x ≤4故选：A【方法技巧与总结】求分段函数的解析式，要抓好分段自变量的临界点以及对应的区间范围！【题型五：画具体分段函数的图象】例5．将函数y =|―x 2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.【详解】因为y =3―x 2,x ∈[―1,1]x 2+1,x ∈(―∞,―1)∪(1,+∞)，可得函数的大致图像如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C 选项中的图像.故选：C变式5-1．已知f(x)={x +1,x ∈[―1,0)x 2+1,x ∈[0,1]，则函数y =f(―x)的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数f(x)的图象，再根据函数f(x)的图象与f(―x)的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数f(x)={x +1,x ∈[―1,0)x 2+1,x ∈[0,1]的图象，如下图：因为函数f(x)的图象与f(―x)的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.变式5-2．函数f (x )=x|x |―1的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．变式5-3．设函数f (x )=|x ―1|―2|x +1|．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若f (x )的最大值为m ，正实数a,b,c 满足ab +2b 2+3ac +6bc =m ，求a +3b +3c 的最小值．（2）由（1）可知：当x =―1时，∴ab +2b 2+3ac +6bc =2，即∴a +3b +3c =(a +2b )+(b +a +b =3c 时等号成立），∴(a +3b +3c )min =22.【方法技巧与总结】画含绝对值的函数图象，可以利用|x |=x,x ≥0―x,x <0，把函数转化为分段函数，再把分段函数画出.【题型六：与分段函数有关的值域问题】例6．已知函数f (x )=―1x,x <c x 2―x,c ≤x ≤2，若f (x )值域为―14,2，则实数c 的取值范围是（ ）A ．[―1,0]B ．―12,0C ．―1,―D ．―∞,变式6-1．已知函数f (x )=(3a ―1)x +4a,x <2x +1,x ≥2的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）AB+∞C ．―∞D +∞变式6-2．已知函数f (x )=(1―2a )x +3a,x <1x ―1x,x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―1]B ．―C ．―D ．(0,1)变式6-3．已知函数f (x )=1―x,―1≤x <0|x ―1|,0≤x ≤a的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,3]C ．[1,2]D ．[2,3]【答案】B【分析】先求出当―1≤x <0时，f (x )的值域为(1,2].由题意可知，当0≤x ≤a 时，f (x )=|x ―1|=0有解，此时x =1，所以1∈[0,a ]，故a ≥1，然后根据f (x )=|x ―1|的单调性对a 分1≤a ≤2和a >2两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当―1≤x <0时，f (x )=1―x ∈(1,2]，又函数f (x )=1―x,―1≤x <0|x ―1|,0≤x ≤a的值域是[0,2]，当0≤x ≤a 时，f (x )=|x ―1|=0有解，此时x =1，所以1∈[0,a ]，所以a ≥1，当a ≥1时，f (x )=|x ―1|=1―x,0≤x ≤1x ―1,1<x ≤a在[0,1]上单调递减，在[1,a ]上单调递增，又f (0)=1,f (1)=0,f (a )=|a ―1|，①若1≤a ≤2，则|a ―1|≤1，所以f (x )∈[0,1]，此时[0,1]∪(1,2]=[0,2]，符合题意；②若a >2，则|a ―1|>1，所以f (x )∈[0,|a ―1|]，要使[0,|a ―1|]∪(1,2]=[0,2]，只须|a ―1|≤2，即2<a ≤3；综上，1≤a ≤3.故选：B.【方法技巧与总结】1 处理与分段函数有关的值域问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要.2 对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．【题型七：与分段函数的最值问题】例7．已知函数f(x)=x 2―2ax ―2,x ≤2,x +36x―6a,x >2,若f(x)的最小值为f(2)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,5]B ．[2,+∞)C ．[2,6]D ．(―∞,5]当x ≤2时，f(x)=x 2―2ax ―2，要使得函数f(x)的最小值为f(2)，则满足a ≥2,f(2)=2―4a ≤12―6a,解得2≤a ≤5．故选：A ．变式7-1．函数f (x )=(1―x )|x ―3|在(―∞,t )上取得最小值―1，则实数t 的取值范围是A ．(―∞,2)B ．[2―C ．[2,2D ．[2,+∞)【点睛】本题考查零点分段法得分段函数，以及图象法解决函数最值问题变式7-2．设f (x )=(x -a )2,x ≤0x +1x+a +4,x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(0,3]D ．[0,3)【答案】A【分析】利用基本不等式可求得f 得出实数a 的取值范围.因此，实数a 的取值范围是[0,3].故选：A.变式7-3．已知f (x )=1―|x +1|,x <0x 2―2x,x ≥0，若实数m ∈[―2,0]，则|f (x )―f 在区间[m,m +1]上的最大值的取值范围是（ ）A B C D 因为f ―12=1―|―12+1因为m ∈[―2,0]，所以[m,m |f (x )―f―12|表示函数f (由图可知，当x =1时，|f (x 当m ∈[―2,―1]时，―1∈【方法技巧与总结】1 处理与分段函数有关的最值问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往很重要；2 结合分段函数的图象的话，要把问题进行等价转化，注意如何才能使得图象取到最值或在哪里取到等.【题型八：其他分段函数的性质及应用】例8．定义max a，b=a，a≥bb，a<b，若函数f(x)=max―x2+3x，|x―3|，若f(x)在区间[m,n]上的值域3，则区间[m,n]长度的最大值为（）A．6B．52C．72D．74变式8-1．已知函数f(x)=x2―8x+8,x≥02x+4,x<0．若互不相等的实根x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的范围是（）A．(2,8)B．(―8,4)C．(―6,0)D．(―6,8)【答案】A【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在(―8,4)之间，第一段函数关于x =4对称，即可求出x 2+x 3=8，再根据图象得到x 1的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根x 1,x 2,x 3满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，根据图象可得x 2与x 3关于x =4，则x 2+x 3=8，当2x 1+4=―8时，则x 1=―6是满足题意的x 1的最小值，且x 1满足―6<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的范围是(2,8).故选：A.变式8-2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数y =D (x )=1,x 为有理数0,x 为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D (D (x ))=0；②对任意x ∈R ，恒有D (x )=D (―x )成立；③任取一个不为零的有理数T ，D (x +T )=D (x )对任意实数x 均成立；④存在三个点A (x 1,D (x 1))，B (x 2,D (x 2))，C (x 3,D (x 3))，使得△ABC 为等边三角形；其中正确的序号为（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①②③【答案】B【分析】根据狄利克雷函数的定义分别验证x 为无理数和为有理数两种情况，判断①②③；结合狄利克雷函数的定义找特殊点验证④.【详解】对①，当x 为无理数时，D (x )=0，所以D (D (x ))=D (0)=1，当x 为有理数时，D (x )=1，所以D (D (x ))=D (1)=1，所以对任意x ∈R ，恒由D (D (x ))=1，所以①错误；对②，当x 为无理数时，―x 为无理数，所以D (x )=D (―x )=0，当x 为有理数时，―x 为有理数，所以 D (x )=D (―x )=1，所以②正确；对③，任取一个不为零的有理数T ，当x 为无理数时，则x +T 为无理数，变式8-3．已知函数f(x)=ax2―x,x≥―1,―x+a,x<―1.若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是．所以函数在―∞,12a上单调递减，在所以∃x1，x2∈R，且x1≠x当a<0时：当x≥―1时，函数的开口下，对称轴①当―1<1<0，即a<―由此可知∃x 1，x 2∈R ，且②当12a ≤―1时，即―12≤此时函数的大致图象如图所示：易知函数在R 上单调递减，所以不存在x 1,x 2∈R ，且x 综上，a 的取值范围为：故答案为：―∞,―1∪(0,【方法技巧与总结】处理与分段函数有关的函数性质问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中掌握函数的单调性是关键.一、单选题1．已知函数f(x)=2x ,x >0f(x +2),x ≤0，则f (―3)=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.【详解】由函数可得，f(―3)=f(―1)=f(1)=21=2.故选：B.2.已知f(x)=―x 2+2x,x≥0x2+2x,x<0，满足f(a)<f(―a)，则a的取值范围是（）A．(―∞,―2)∪(0,2)B．(―∞,―2)∪(2,+∞)C．(―2,0)∪(0,2)D．(―2,0)∪(2,+∞)A．―1B．―2C．―3D．―4所以a≥0⇒f(a)=|a―1|=所以f(―2a)=f(―1)=―2.故选：B4.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5.已知函数f (x )=x 2―1，x >1，若n >m ，且f (n )=f (m )，设t =n ―m ，则t 的最大值为（ ）A ．1912B ―1C ．1712D ．43【答案】C【分析】借助分段函数f(x)图象得出m,n 的范围，由m,n 的关系，化t =n ―m 为关于n 的二次函数，由此可得最大值．【详解】作出函数f (x )=3x +1，x ≤1x 2―1，x >1的图象如下图，f(1)=4，令f(x)=4，解得若n>m，且f(n)=f(m可得3m+1=n2―1，可得则t=n―m=n―13(n2对称轴为n=32，3（）A．∀x∈[0,+∞),f(x―2)>f(x)B．∀x∈[1,+∞),f(x―2)>f(x)C．∀x∈R,f(f(x))≤f(x)D．∀x∈R,f(f(x))>f(x)【答案】C【分析】分别画出y=|x―2|,y=x2,y=|x+2|的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.【详解】解:如图所示:由题意可得A中，f(x)=x2,x∈[0,1]|x―2|,x∈(1,+∞).B中，当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，f(x―2)＝f(2―x)≤2―x＝f(x).当2＜x≤3时，0＜x―2≤1，f(x―2)≤x―2=f(x).当3＜x≤4时，1<x―2≤2，f(x―2)=2―(x―2)=4―x≤x―2=f(x).当x≤4,x―2≥2，恒有f(x―2)<f(x)，所以B不正确，A也不正确；C中，从图象上看，x∈[0,+∞),f(x)≤x.令t=f(x)，则t≥0所以f(t)≤t，即f(f(x))≤f(x)，故C正确，D不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画y=|f(x)|的函数图象时，一般地，先画出y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象向上翻折即可.7.设函数f(x)=(x―a)2，x≤0x2―2x+3+a，x>0，若f(0)是函数f(x)的最小值，则实数a的取值范围是() A．[﹣1，2]B．(―1,2)C．[0,2)D．[0，2]【答案】D【分析】通过分类讨论a的取值范围，并利用一元二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，不妨设g(x)=(x―a)2，ℎ(x)=x2―2x+3+a，①当a<0时，由一元二次函数的性质可知，g(x)=(x―a)2在[a,0]上单调递增，故对于∀x∈[a,0]，f(x)=g(x)<g(0)=f(0)，这与f(0)是函数f(x)的最小值矛盾；②当a=0时，g(x)=x2，ℎ(x)=x2―2x+3=(x―1)2+2，由一元二次函数的性质可知，g(x)=x2在(―∞,0]单调递减，故对于∀x∈(―∞,0]，f(x)=g(x)>g(0)=f(0)=0，当x>0时，f(x)=ℎ(x)=x2―2x+3=(x―1)2+2在x=1时取得最小值2，从而当a=0时，满足f(0)是函数f(x)的最小值；③当a>0时，由一元二次函数性质，g(x)=(x―a)2在(―∞,0]上单调递减，故对于∀x∈(―∞,0]，f(x)=g(x)>g(0)=f(0)=a2，当x>0时，f(x)=ℎ(x)=x2―2x+3=(x―1)2+2+a在x=1时取得最小值2+a，若使f(0)是函数f(x)的最小值，只需a2≤2+a且a>0，解得，0<a≤2.综上所述，实数a的取值范围是[0,2].故选：D.8.设函数y=f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义f p(x)=f(x),f(x)>pp,f(x)≤p则称函数y=f p(x)为y=f(x)的“p下界函数”．若给定f(x)=x2―2x―1，p=2，则下列结论不正确的是（）A．f p(f(0))>f f p(0)B．f p(f(1))>f f p(1)C．f(f(2))=f p f p(2)D．f(f(3))>f p f p(3)【答案】D【分析】根据已知条件求出f2(x)的解析式，再分别求函数值即可得正确选项.【详解】因为f(x)=x2―2x―1，p=2，由f(x)>p即x2―2x―1>2，可得x2―2x―3>0，解得：x<―1或x>3，由f(x)<p即x2―2x―1<2，可得x2―2x―3<0，解得：―1<x<3，所以f2(x)=x2―2x―1,x∈(―∞,―1)∪(3,+∞)2,x∈[―1,3]对于A：f(0)=―1，f2(f(0))=f2(―1)=2，f2(0)=2，f f p(0)=f(2)=―1，所以f p(f(0))>f f p(0)成立，对于B：f(1)=―2，f2(f(1))=f2(―2)=(―2)2―2×(―2)―1=7，f2(1)=2，f(f2(1))=f(2)=22―2×2―1=―1，所以f p(f(1))>f f p(1)成立，对于C：f(2)=22―2×2―1=―1，f(f(2))=f(―1)=(―1)2―2×(―1)―1=2，f2(2)=2，f2(f2(2))=f2(2)=2，所以f(f(2))=f p f p(2)成立，对于D：f(3)=32―2×3―1=2，f(f(3))=f(2)=―1，f2(3)=2，f2(f2(3))=f2(2)=2，所以f(f(3))>f p f p(3)不成立，所以选项D不正确，故选：D.二、多选题9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：每户每月用水量x(m3)水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3则下列说法正确的是（）A．若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费30元B．若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费96元C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为15m3D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过18m3，则该月甲户用水量为9m3（甲，乙两户的月用水量均为整数）【答案】AC【分析】根据表格中的“阶梯水价”，逐一选项进行计算并判断正误即可【详解】对于A选项，居民用水量未超过12m3，则按3元/m3计算，故应缴水费为3×10=30元，故A 选项正确；对于B选项，居民用水量超过12m3，但未超过18m3，因此其中12m3，按3元/m3计算；剩余的4m3，按6元/m3计算；故应缴水费为3×12+4×6=60元，故B选项错误；对于C选项，根据居民所缴水费，可以判断居民用水量超过12m3，但未超过18m3，设居民用水量为x，则有3×12+6×(x―12)=54，解得：x=15，故C选项正确；对于D选项，根据题意，设甲居民用水量为x，乙居民用水量为y，则根据已知条件可得：3x+3×12+6 (y―12)=93，整理可得：x+2y=43.通过方程无法确定甲居民用水量一定为9m3，故D选项错误.故选：AC10.已知函数f(x)=2x 2,x≥1f(x+1),x<1，则下列正确的是（）A．f[f(0)]=8B．f[f(1)]D．f(x)的值域为C．f=81211.已知全集为R，对于给定数集A，定义函数f(x)=1,x0,x∉A为集合A的特征函数，若函数f(x)是数集A 的特征函数，函数g(x)是数集B的特征函数，则（）A．y=f(x)g(x)是数集A∩B的特征函数B．y=f(x)+g(x)―f(x)g(x)是数集A∪B的特征函数C．y=f(x)―f(x)g(x)是数集A∩(∁R B)的特征函数D．y=f(x)+g(x)―2f(x)g(x)是集合∁R(A∩B)的特征函数【答案】ABC【分析】根据特征函数的定义，一一验证选项中的函数是否满足特征函数的定义，即可判断出答案.【详解】对于A，由集合A的特征函数的定义可知A不为空集，则A∩B不为空集，如图示：Ⅰ部分表示A∩B，Ⅱ表示A∩(∁R B)，Ⅲ表示表示B∩(∁R A)，Ⅳ表示(∁R A)∩(∁R B)，，当x∈A∩B时，f(x)=1,g(x)=1，故f(x)g(x)=1，当x∉A∩B时，f(x),g(x)中至少有一个为0,，此时f(x)g(x)=0，符合特征函数的定义，即y=f(x)g(x)是数集A∩B的特征函数，A正确；对于B，当x∈A∪B时，如上图，若x取值在Ⅰ部分，则f(x)=1,g(x)=1，则f(x)+g(x)―f(x)g(x)=1；若x取值在Ⅱ部分，则f(x)=1,g(x)=0，则f(x)+g(x)―f(x)g(x)=1；若x取值在Ⅲ部分，则f(x)=0,g(x)=1，则f(x)+g(x)―f(x)g(x)=1，当x ∉A ∪B 时，f (x )=0,g (x )=0，则f (x )+g (x )―f (x )g (x )=0，符合特征函数的定义，即y =f (x )+g (x )―f (x )g (x )是数集A ∪B 的特征函数，B 正确；对于C ，当x ∈A ∩(∁R B )时，f (x )=1,g (x )=0，则f(x)―f(x)g(x)=1；当x ∉A ∩(∁R B )时，即x 取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分，若x 取值在Ⅰ部分，f (x )=1,g (x )=1，则f(x)―f(x)g(x)=0，若x 取值在Ⅲ部分，f (x )=0,g (x )=1，则f(x)―f(x)g(x)=0，若x 取值在Ⅳ部分，f (x )=0,g (x )=0，则f(x)―f(x)g(x)=0，故此时符合特征函数的定义，即y =f(x)―f(x)g(x)是数集A ∩(∁R B )的特征函数，C 正确；对于D ，当x ∈∁R (A ∩B )时，即x 取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分，当x 取值在上图中Ⅳ部分时，此时f (x )=0,g (x )=0，则f(x)+g(x)―2f(x)g(x)=0，不符合特征函数定义，故y =f(x)+g(x)―2f(x)g(x)不是集合∁R (A ∩B)的特征函数，D 错误，故选：ABC【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解集合A 的特征函数的定义，明确其含义，从而结合定义去判断一个函数是否为一个数集的特征函数.三、填空题12．已知f (x )=2x 2+3,x ∈[―6,―1)1x,x ∈[―1,1)x,x ∈[1,6]则f = ．min {f (x ),g (x )}，则M (x )的最大值为 .【答案】3【分析】作出函数f (x ),g (x )的图象，根据定义作出M (x )的图象，求出交点B 的坐标即可得解.【详解】作出函数f (x ),g (x )的图象如图：根据定义可得M (x )的图象如图：由y =x +2y =4―x 2解得x =―2y =0 或x =1y =3，得B (1,3)，所以M (x )的最大值为3.故答案为：314.已知关于实数t (―1≤t ≤1)的方程|t ―t 1|+|t ―t 2|=m 和|t ―t 1|―|t ―t 2|=n 对任意t 1,t 2 (―1≤t 2≤t 1≤1)有解，则m +n 的值的集合为 ．【答案】{2}【分析】构造函数g (t )=|t ―t 1|+|t ―t 2|与ℎ(t )=|t ―t 1|―|t ―t 2|，分类讨论t 的取值范围，分别作出g (t ),ℎ(t )的图像，分析它们的值域，从而确定m,n 的值，由此得解.【详解】因为―1≤t 2≤t 1≤1，则0≤t 1―t 2≤2，令g (t )=|t ―t 1|+|t ―t 2|=―2t +t 1+t 2,―1≤t ≤t 2t 1―t 2,t 2<t <t 12t ―t 1―t 2,t 1≤t ≤1，其图象如图所示，其值域为[t 1―t 2,max {―2t +t 1+t 2,2t ―t 1―t 2}]，由t 1―t 2∈[0,2]可知m ≥2；由(―2t +t 1+t 2)max ≥2或(2t ―t 1―t 2)max ≥2可知m ≤2；所以m =2．令ℎ(t )=|t ―t 1|―|t ―t 2|=t 1―t 2,―1≤t ≤t 2t 1+t 2―2t,t 2<t <t 1t 2―t 1,t 1≤t ≤1，其图象如图所示，其值域为[t 2―t 1,t 1―t 2]，由t 2―t 1≤0可知n ≥0；由t 1―t 2≥0可知n ≤0；所以n =0．综上：m =2,n =0,m +n =2，故答案为：{2}．四、解答题15．已知函数f (x )的解析式为f (x )=3x +5,x ≤0x +5,0<x ≤1―2x +8,x >1.(1)求 f (―1)的值；(2)画出这个函数的图象；在函数y =3x +5的图象上截取在函数y =x +5的图象上截取在函数y =―2x +8的图象上截取图中实线组成的图形就是函数16.已知函数f(x)=2|x―2|+|x+1|.(2)请根据f(x)的图像直接写出f(x)>4的解集（无需说明理由）..（2）由题得，当x<―1时，当―1≤x≤2时，―x+5>当x>2时，3x―3>4，解得综上，f(x)>4的解集为x|x17.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y =af(x)，其中f(x)=2+x6―x ，x ∈[0，4]5―12x ，x ∈(4，10] ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效．(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放m 个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求m 的最小值．(x )[0,1](x )(x )0<m <1），存在x 0∈[0,1―m ]，使得f (x 0)=f (x 0+m )，则称f (x )具有性质P (m )．(1)已知函数f (x )=x ，x ∈[0,1]，判断f (x )是否具有性质(2)已知函数f(x)=―4x+1,0≤x≤144x―1,14<x<34―4x+5,34≤x≤1，若f(x)具有性质P(m)，求m的最大值.19．已知集合A为数集，定义f A(x)=1,x∈A0,x∈A.若A,B⊆{x|x≤8,x∈N∗}，定义：d(A,B)=|f A(1)―f B(1)| +|f A(2)―f B(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f B(8)|.(1)已知集合A={1,2}，直接写出f A(1)，f A(2)及f A(8)的值；(2)已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C=∅，求d(A,B)，d(A,C)的值；(3)若A,B,C⊆{x∣x≤8,x∈N*}.求证：d(A,B)+d(A,C)≥d(B,C).【答案】(1)f A(1)=1,f A(2)=1,f A(8)=0;(2)d(A,B)=2，d(A,C)=3;(3)详见解析【分析】（1）利用题给f A(x)=1,x∈A0,x∈A定义即可求得f A(1)，f A(2)及f A(8)的值；（2）利用题给d(A,B)定义即可求得d(A,B)，d(A,C)的值；（3）先转化d(A,B)的含义，再利用文氏图即可证得d(A,B)+d(A,C)≥d(B,C)成立.【详解】（1）集合A={1,2}，f A(x)=1,x∈A 0,x∈A则f A(1)=1，f A(2)=1，f A(8)=0（2）集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C=∅，d(A,B)=|f A(1)―f B(1)|+|f A(2)―f B(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f B(8)|=|1―0|+|1―1|+|1―1|+|0―1|+|0―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|=2 d(A,C)=|f A(1)―f C(1)|+|f A(2)―f C(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f C(8)|=|1―0|+|1―0|+|1―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|+|0―0|=3（3）由d(A,B)=|f A(1)―f B(1)|+|f A(2)―f B(2)|+⋅⋅⋅+|f A(8)―f B(8)|，可得d(A,B)的值即为两集合A,B中相异元素个数，定义Card(A)为集合A中元素个数，则d(A,B)=Card({x|x∈A∪B,x∉A∩B})令M,N,P,Q,R,S,T⊆{x|x≤8,x∈N∗}，M∩N∩P∩Q∩R∩S∩T=∅，A=M∪N∪R∪S,B=N∪P∪Q∪R,C=Q∪R∪S∪T,则d(A,B)=Card(M)+Card(P)+Card(Q)+Card(S)d(A,C)=Card(M)+Card(N)+Card(Q)+Card(T)d(B,C)=Card(N)+Card(P)+Card(S)+Card(T)则d(A,B)+d(A,C)=2Card(M)+Card(N)+Card(P)+2Card(Q)+Card(S)+Card(T)d(A,B)+d(A,C)―d(B,C)=2Card(M)+2Card(Q)≥0，故有d(A,B)+d(A,C)≥d(B,C).。
