圆周率的计算及简单应用

圆周率π的计算及简单应用一、π的来历π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。

通常用希腊字母π来表示。

英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。

但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。

此后π才成为圆周率的专用符号。

π的历史是饶有趣味的。

对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。

实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。

直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。

后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。

然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。

他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。

但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。

在我国称这种方法为割圆术。

直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。

后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。

同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。

用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。

直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。

他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。

人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。

之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。

1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。

π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。

在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。

到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。

至2010年最新记录是2000万亿。

π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。

二、π的定义圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。

π也等于圆形之面积与半径平方之比。

因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。

在分析学里，π可以严格地定义为满足0x的sin=最小正实数x。

圆周率（π）一般定义为一个圆的周长（C ）与直径（d ）的比：dC =π。

由图形的相似性可以知道对于任何的图形的d C 的值都相等。

这样就定义出了常数π。

但是也可以换一个角度--从求圆面积和半径的比来定义。

现说明如下：任取半径为R 的圆，画出它的内接正n 边形，并把多边形的面积记作n S 。

显然，当n 无限增加时，内接正n 边形周长n p 接近于圆周长C ，n p 接近于圆周长；同时，n S 也接近一个确定值。

这个值叫圆的面积A 。

也就是说当n 无限增加C 时，内接正多边形面积组成的无穷数列,...,...,,543n S S S S 的极限是A 。

现在证明：圆周率π又是A 和R 的平方的比，即（1）2R A π=成立。

事实上，这时R D 2=,而n a n ,和园内接正n 2边形的面积n S 2之间，有2/)2(2n n nRa S =和n n na p =)3(的关系。

其中（3）成立是显然的，下面证明（2）也成立。

如左图画⊙O 的内接正n 2边形并连接它的中心和顶点，这n 2条连线就把它分成n 2个三角形。

把其中相邻的两个三角形记作,,OCB OAC ∆∆这时，AB与AC 垂直相交于D ，于是有（4）AOB ∆的面积2/B A CD /⨯=。

而=AB n a 是圆内接正n 边形的一边，又R OC CD OD ==+。

因此，从（4）和（5）就可以得到OAC ∆)6(的面积OCB ∆+的面积AOB ∆=的面积ACB ∆+的面积2/2/)(n Ra BA CD OD =/⨯+=。

而圆内接正n 2边形是由n 个这样的相邻三角形组OCB OAC ∆∆,拼成的，因此由（6）就得到（2）。

从（2）和（3）就可得到2/)7(2R p S n n =。

当n 无限增加时，n S 2趋向于A ，n p 趋向于C ，所以)7(的两边就分别趋向于A 和2/CR ，而,2/2/2R DR CR ππ==这就得到)1(。

这样就从另外一个角度——用圆面积来定义了π。

三、π的性质π的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。

关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。

在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作《数论尺规作图及周率》一书中，将π的历史分为以下三个时代：（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求π的近似值。

（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明π是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯.伯努利和约翰.伯努利、欧拉等。

这个时代求π值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。

（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求π的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。

下面要说的是π的性质，指的是π是一个什么样的数。

例如，它是整数还是分数？是常数还是变量？是有理数还是无理数？等等。

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中，就提到了π是常数。

中国公元前的古书《墨子》中也有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载；《周髀算经》中也有“径一而周三”的记载，也认为π是一个常数。

虽然古人一直笃信π是一个常数，而且知道它的近似值，但其准确值却无人知晓。

多数国家的古人最早都认为π是整数3.在中国，出上述《周髀算经》等书籍之外，大约在1世纪的《九章算术》中也是这样认为。

在古希腊、巴比伦、埃及、印度、日本中关于数学的史料中也是同样的记载。

例如，希伯来人的《两个编年史》中就有3π的≈记载。

这种3π的认识，大致持续到刘徽之前，即约3世纪。

不过古希≈腊是一个例外--因为阿基米德在公元前200多年就科学地求得实用而较准确的π值3.14.无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现。

他计算出边长为1的正方形的对角线长2。

但是2不能用任何两个数的比来表示即不是有理数，也就是是无限不循环小数。

在当时叫“没有比”或“不能表示”，后来称之为“不可通约量”。

14世纪。

数学家布拉德瓦丁最早采用“无理”一词后，至十六七世纪，欧洲人逐渐将无理数纳入运算。

荷兰科学家西蒙.斯蒂文、两位英国数学家沃利斯和哈利奥特、法国数学家笛卡尔等都承认无理数。

无理数的本质特征是“无限不循环”，由于在各种形式的π的级数展开式中，始终没有找到一个递减的几何级数，也一直没有找到π的“莱布尼兹级数和”的公式，对π值的“马拉松”式的计算竞赛中也一直没有发现任何循环现象。

于是，认为π可能是有理数的希望逐渐消失。

事实上，早在十五六世纪，印度数学家尼拉斯塔.萨玛亚吉就确信π是无理数了。

此后在超越数时期，人们又猜测π是超越数，在1822年，林德曼在连续函数的意义下，用欧拉公式01=+πi e ，终于证明了π是超越数。

下面分别给出π是无理数好超越数的证明。

π是无理数的证明苏格兰数学家詹姆斯.格雷戈里是第一个企图证明π是无理数的人。

不过，他的巧妙的证明不很严格，因而不太令人满意。

此外，法国数学家托马斯.范特.德.拉尼也在17世纪末对π的物理性做出过推断，这一推断在半个世纪后，有兰伯特证明。

1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成三种无限连分数。

1761年，兰伯特向柏林科学院提交论文，初步证明了π也是无理数。

他用欧拉的方法，并从欧拉发现的 ...141101611121++++=-e 和数学家布隆克子爵发现的 (25232114)222++++=π 入手，先得到后来以他姓氏命名的两个连分式：.../51/31/11tan ...,/101/61/2111xx x x x x x e e x x --++==+-。

兰伯特研究了两个式子的性质之后，得到以下两个定理。

定理1 如果x 是0以外的有理数，则x tan 必然是无理数；反之，如果x tan 是0以外的有理数，则x 必然是无理数。

定理2 如果x 是0以外的有理数，则x e 必然是无理数；反之，如果x e 为1以外的有理数，则x 必然为无理数。

最后，他假设4/π=x ，则;1t a n =x 因为1是有理数，所以由定理1知道，4/π必然是无理数，因而π也必然是无理数。

不过，兰伯特的上述证明并不十分严格。

下面给出π是无理数的两种证明方法。

证法一：首先给出π一个定义。

定义 {}0cos ,0m in 2=>=ααπ，即π是使0cos =α的最小正数的两倍。

按这个定义，利用定积分容易得到半径为r 的圆的面积为r π2，因此这样的定义是合理的。

下面证明π是无理数。

利用反证法。

设π是有理数，则π2也是有理数，于是存在正整数p ，q ，使得q p =2π。

由于),(0!∞→→n n p n因此存在正整数N 使得1!<n p n π。

设f 是如下定义的N 2次多项式,!)1()(N X x x f NN -= 则f 满足,...)2,1)(1()1()(),1()()()(=--=-=k x f x f x f x f k k k展开f 的表达式得∑==NNn n n x C N x f 2!1)(。

对其求导k 次)20(N k ≤≤得{}∑=-+--=N k N n k n n k x C k n n n N x f 2,max )()1)...(1(1)(。

若,0N k ≤≤显然Z f k ∈)0()(，因此由)1()1()()()(x f x f k k k --=，知Z f k ∈)1()(； 若N k N 2≤≤,显然Z C N k f k k ∈=!!)0()(,因此显然Z f k ∈)1()(。

令∑=--=N j j j j N j x f q p x F 0)2(),()1()(则利用Z f Z f k k ∈∈)1(,)0()(得到Z F Z F ∈∈)1(,)0(。