保姆的招聘
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保姆的招聘
摘要
这是一个线性规划的的优化问题，旨在为保姆公司制定一个招聘计划，以达到为公司节省尽量少的工资支出。
针对问题一与问题二分别建立了线性规划模型，运用Lingo软件求解得出该保姆公司下一年的保姆招聘计划：在公司不允许解聘保姆的前提下，公司下一年的招聘计划是：春季：0人，夏季：15人，冬季：0人，冬季：59人，公司需要支付保姆的总工资金额是1148426元，同时在春季需求增加1800人日，秋季需求增加937人日的情况下，公司的招聘计划不会受影响；在公司允许解聘保姆的前提下，公司下一年的的招聘计划是春季：0人，夏季：15人，冬季：0人，冬季：73人，公司需要支付保姆的总工资金额是1116292元，同时在春季需求增加1800情况下，公司的招聘计划不会受影响。
关键字：线性规划、Lingo
一、问题重述
一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。
根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。
公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。
保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月800元。
春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职。
问题1 如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？
问题2 如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
二、模型假设
1、保姆公司只在每个季度开始初招聘保姆；
2、 凡在保姆公司工作的保姆的工资按月发放；
3、 保姆公司解聘保姆的时间只能在这个季度结束，下个季度开始之前；
4、被保姆公司解聘的保姆不包含在自动离职的保姆人数中；
5、招聘保姆的人数按实数处理。
三、符号说明
表1 各种符号的说明
四、问题分析
4.1 问题1的分析：
以每个季度雇主的保姆需求量作为约束，同时力求达到保姆公司支付最少的工资的目标，现以夏季为例来分析：夏季的保姆需求量是7500人日，而春季结束后保姆公司拥有的保姆人数是2h =1(120)*0.85x +，倘若2h 个保姆工作一个季度达不到7500人日，则需要考虑
招聘新保姆，但是新招的保姆需要培训5天，即新保姆一个在他刚被招聘的那个季度里个工作时间只有60天，因此要尽可能要让新招聘的保姆人数少。
由于在每个季度开始初保姆的人数是一个定值，要求新招个保姆人数少，即使这个季度的总保姆人数到达最低，从而使保姆公司在这个季度里支付给保姆的总工资最少。
同理对于其他季度的分析也是如此。
4.2 问题二的分析：
问题一的分析在这里同样适用，只是在每个季度开始初(从第二个季度开始)公司拥有的保姆人数将略微变化，以夏季为例：春季结束后，保姆公司拥有的保姆人数是
2h =11(120)*0.85x y +-，其中1y 是春季结束后公司解聘保姆的人数。
五、问题求解
5.1 问题1的求解：
11223344()*2400()*2400()*2400()*240M IN S h x h x h x h x =+++++++0 (模型1)
112
233441
2
11
32243312341234
..
*6560*6000*6560*7500*6560*5500*6560*9000
120()*0.85
()*0.85()*0.85
,,,,,,,0s t h x h x h x h x h h h x h h x h h x x x x x h h h h +≥⎧⎪
+≥⎪⎪+≥⎪
+≥⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪=+⎪
=+⎪⎪≥⎩ 其中S 为保姆公司一年支付给所有保姆的薪水，i x 是第i 个季度新招聘的保姆，
1,2,3,4i =.i h 表示第i 个季度开始时保姆公司拥有的保姆人数，1,2,3,4i =.
这是一个线性规划模型，运用Lingo 软件求解，得出结果见图1.
图1 问题1的Lingo 求解
从图1 中知， 在不允许解聘保姆的情况下，该保姆公司下一年的招聘计划见表1.
表2 不允许解聘保姆前提下的招聘计划
5.2 问题二的求解：
11223344()*2400()*2400()*2400()*240M IN S h x h x h x h x =+++++++ (模型2)
112
2334412
111
32224333
12341234123
..
*6560*6000*6560*7500*6560*5500*6560*9000
120
()*0.85()*0.85()*0.85,,,,,,,,,,0s t h x h x h x h x h h h x y
h h x y h h x y x x x x h h h h y y y +≥⎧⎪
+≥⎪⎪+≥⎪
+≥⎪⎪
=⎨⎪=+-⎪⎪=+-⎪
=+-⎪⎪≥⎩ 其中i y 表示第i 个季度结束后，保姆公司解聘保姆的人数，1,2,3i =. 这同样是一个线性规划模型，运用Lingo 软件求解，得出结果见图
2.
图2 问题2的Lingo求解
从图1 中知，在允许解聘保姆的情况下，该保姆公司下一年的招聘计划见表3.
比较表2知，相对于不允许解聘保姆的情况，允许解聘保姆将给公司节省32134元的开支。
六、模型的优缺点
6.1模型的优点：
模型的建立合理，得出的结论可靠性高。
6.2模型的缺点：
由于每个季度有15%的保姆主动离开，而用每个季度末的总人数乘以15%将会出现不是整数的情况，故在用Lingo求解模型时没有强制将每个季度需要招聘的人数取整，可能得出的结果与将招聘的人数取整的结果有一定的出入。
七、附件
附件1
求解模型1的源代码：
h1*65+60*x1>6000;
h2*65+60*x2>7500;
h3*65+60*x3>5500;
h4*65+60*x4>9000;
h1=120;
h2=(h1+x1)*0.85;
h3=(h2+x2)*0.85;
h4=(h3+x3)*0.85;
x1>0;
x2>0;
x3>0;
x4>0;
h1>0;
h2>0;
h3>0;
h4>0;
min=(h1+x1)*2400+(h2+x2)*2400+(h3+x3)*2400+(h4+x4)*2400;
附件2
求解模型2的源代码
h1*65+60*x1>6000;
h2*65+60*x2>7500;
h3*65+60*x3>5500;
h4*65+60*x4>9000;
h1=120;
h2=(h1+x1)*0.85-y1;
h3=(h2+x2)*0.85-y2;
h4=(h3+x3)*0.85-y3;
x1>0;
x2>0;
x3>0;
x4>0;
h1>0;
h2>0;
h3>0;
h4>0;
min=(h1+x1)*2400+(h2+x2)*2400+(h3+x3)*2400+(h4+x4)*2400;。
