课时训练(二十三) 多边形及平行四边形|夯实基础|1.[2018·福建B卷] 一个n边形的内角和是360°,则n等于()A.3B.4C.5D.62.[2018·宜宾] 在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E,则△AED的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.[2017·眉山] 如图K23-1,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 ()图K23-1A.14B.13C.12D.104.[2018·呼和浩特] 顺次连结平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种B.4种C.3种D.1种5.[2017·威海] 如图K23-2,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连结BE.下列结论错误的是()图K23-2A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE6.[2017·镇江] 如图K23-3,点E,F分别在平行四边形ABCD的边BC,AD上,BE=DF,点P在边AB 上,AP∶PB=1∶n(n>1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1,S2的两部分,将△CDF分成面积为S3,S4的两部分,有下列四个等式:①S1∶S2=1∶n,②S1∶S4=1∶(2n+1),③(S1+S4)∶(S2+S3)=1∶n,④(S3-S1)∶(S2-S4)=1∶(n+1).其中成立的有()图K23-3A.①②④B.②③C.②③④D.③④7.[2018·十堰] 如图K23-4,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为.图K23-48.[2018·山西] 图K23-5是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美,图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.图K23-59.如图K23-6,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为.图K23-610.[2018·长春] 如图K23-7,在▱ABCD中,AD=7,AB=2,∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.图K23-711.[2018·朝阳区模拟] 如图K23-8,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CD到E,使DE=CD,连结AE.(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)连结OE,若∠ABC=60°,且AD=DE=4,求OE的长.图K23-812.如图K23-9,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.(1)证明:AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.图K23-9|拓展提升|13.[2018·无锡] 如图K23-10,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边△ABC.点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX 于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是.图K23-1014.[2018·重庆B卷] 如图K23-11,在▱ABCD中,∠ACB=45°,点E在对角线AC上,BE=BA,BF⊥AC于点F,BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上,且CH=AG,连结EH.(1)若BC=12,AB=13,求AF的长;(2)求证:EB=EH.图K23-11参考答案1.B2.B[解析] 如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AE和DE是角平分线,∴∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠ADC,∴∠EAD+∠ADE=(∠BAD+∠ADC)=90°,∴∠E=90°,∴△ADE是直角三角形,故选B.3.C[解析] 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,OA=OC,所以∠OAE=∠OCF,又因为∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF,所以AE=CF,OE=OF,而AB=CD,AD=BC,所以四边形EFCD的周长为AD+CD+EF=×18+2×1.5=12.4.C5.D[解析] ∵AH∥CG,∴∠H=∠HBG.∵∠HBG=∠HBA,∴∠H=∠HBA,∴AH=AB.同理AB=BG,AD=DE,BC=CF.∵AD=BC,∴DF=CE,故B正确.∵AD=BC,∴DH=CG,故C正确.∵AH=AB,AO平分∠HAB,∴BO=HO,故A正确.故选D.6.B[解析] 由题意可得△ABE≌△CDF,设△ABE的面积为S,根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,则有S1=·S,S2=·S,S3=·S,S4=·S.所以S1∶S2=1∶(n2+2n),S1∶S4=1∶(2n+1),(S1+S4)∶(S2+S3)=(1+2n+1)∶(n2+2n+n2)=1∶n,(S3-S1)∶(S2-S4)=(n2-1)∶(n2+2n-2n-1)=1∶1.故选B.7.148.3609.24[解析] ∵∠CBD=90°,∴△BEC是直角三角形,∴CE==5.又∵AC=10,∴E为AC的中点.∵BE=ED=3,∴四边形ABCD是平行四边形.∵△DBC是直角三角形,∴S△DBC=·DB·BC=×6×4=12.又S△DBC=S△ABD=12,∴S▱ABCD=S△DBC+S△ABD=12+12=24.10.20[解析] 如图,作AE⊥BC.此时四边形AEFD周长最小.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=2,∠B=60°,∴AE=AB·sin 60°=2×=3.由平移性质可知,四边形AEFD是矩形,∴四边形AEFD周长为2(AD+AE)=2×(7+3)=20.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∵DE=CD,∴AB=DE.∴四边形ABDE是平行四边形.(2)∵AD=DE=4,∴AD=AB=4.∴四边形ABCD是菱形.∴AB=BC,AC⊥BD,BO=BD,∠ABO=∠ABC.又∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.在Rt△ABO中,AO=AB·sin∠ABO=2,BO=AB·cos∠ABO=2, ∴BD=4.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BD,AE=BD=4.又∵AC⊥BD,∴AC⊥AE.在Rt△AOE中,OE==2.12.证明:(1)∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴∠AEF=∠AEB=30°,∴∠BAC=∠AEF.又∵∠ACB=90°,∠EFA=90°,∴∠EFA=∠ACB.又AE=AB,∴△AEF≌△BAC,∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠DAC=60°.由(1)的结论得AC=EF,∴AD=EF.∵∠BAC=30°,∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.又∵∠EFA=90°,∴EF∥AD,∴四边形ADFE是平行四边形.13.2≤a+2b≤5[解析] 过P作PH⊥OY交OY于点H,∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a,Rt△HEP中,∠EPH=30°,∴EH=EP=a,∴a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1, 即a+2b的最小值是2;当P在点B时,OH的最大值是1+=,即(a+2b)的最大值是5,∴2≤a+2b≤5.14.解:(1)∵BF⊥AC,∴∠BFC=∠AFB=90°.在Rt△FBC中,sin∠FCB=,而∠ACB=45°,BC=12,∴sin 45°=.∴BF=12×sin 45°=12×=12.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF===5.(2)证明:如图,以点A为圆心,AG为半径作弧,交BG于点M,连结ME,GE,AM.∵∠BFC=90°,∠ACB=45°,∴△FBC是等腰直角三角形.∴FB=FC.∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠GAC=∠ACB=45°.∴∠AGB=45°.∵AM=AG,AF⊥MG,∴∠AMG=∠AGM=45°,MF=GF.∴∠AMB=∠ECH=135°.∵BA=BE,BF⊥AE,∴AF=EF.∴四边形AMEG是正方形.∴FM=FE.∴BM=CE.又∵CH=AG,∴CH=AM.∴△AMB≌△HCE.∴EH=AB.∴EH=EB.。
