江苏省盐城市2016-2017学年度第二学期高二年级期终考试数学试题

2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是．2．（5分）设z=3+4i，则复数z的模为．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．（5分）若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为．5．（5分）函数y=1+lnx的导函数y′=．6．（5分）条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的条件．7．（5分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为．8．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是．9．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．10．（5分）已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是．11．（5分）椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．12．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．13．（5分）函数f（x）=，x∈[﹣2，+∞）的单调减调区间是．14．（5分）若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．16．（15分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．17．（15分）（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．18．（理科做）用数学归纳法证明：．19．（15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（I）求f（x）的表达式；（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（15分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是[1，2]．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：∵不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2．∴解集为[1，2]．故答案为：[1，2]．2．（5分）设z=3+4i，则复数z的模为5．【考点】A8：复数的模．【解答】解：|z|==5，故答案为：5．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为30．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：分层抽样的抽取比例为：=，∴抽取学生的人数为600×=30．故答案为30．4．（5分）若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为±1．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设P的横坐标为a，曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，可得2﹣3a2=﹣1，解得a=±1．故答案为：±1．5．（5分）函数y=1+lnx的导函数y′=．【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，函数y=1+lnx，则导数y′=1′+（lnx）′=，即y′=，故答案为：．6．（5分）条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的充分不必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由x2﹣1=0，解得x=±1．∴条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为x2=16y．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，设抛物线方程为：x2=my，抛物线过点P（4，1），可得16=m，所求的抛物线方程为：x2=16y，故答案为：x2=16y，8．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是127．【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1a=3不满足条件a＞64，a=7不满足条件a＞64，a=15不满足条件a＞64，a=31不满足条件a＞64，a=63不满足条件a＞64，a=127满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．故答案为：127．9．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为1．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0×2+1=1，故答案为：110．（5分）已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵a＞1，且b＞1，a+b=6，变形为：（a﹣1）+（b﹣1）=4．则（a﹣1）（b﹣1）≤==4，当且仅当a=b=3时取等号．故答案为：4．11．（5分）椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：根据椭圆的第二定义可知P到F1的距离与其到准线的距离之比为离心率，依题意可知a=2，b=，∴c==，∴e==，右准线方程为x==．∵P到椭圆左焦点的距离为3，∴P到椭圆右焦点的距离为1，∴点P到椭圆右准线的距离d；．d=故答案为：．12．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，可得b=12，则c=12，双曲线的离心率为：=．故答案为：．13．（5分）函数f（x）=，x∈[﹣2，+∞）的单调减调区间是[﹣2，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：f′（x）=x+e x﹣（e x+xe x）=x﹣xe x=x（1﹣e x），当﹣2≤x≤0时，f′（x）≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f′（x）≤0在[﹣2，+∞）上恒成立，∴f（x）在[﹣2，+∞）上单调递减，故答案为：[﹣2，+∞）．14．（5分）若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴4c≤=，令=t＞1，∴4c≤，令f（t）=，则f′（t）==，当t＞2+时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=2﹣4．∴实数4c的最大值为2﹣4，则c的最大值为，故答案为：．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：由题意，得p ：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…（6分）∵p且q为真，∴p，q 同时为真，则，解之得2＜m＜3，…（9分）∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．（12分）16．（15分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）令9x2﹣9＞0，（4分）解此不等式，得x＜﹣1或x＞1．因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：（10分）从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．（12分）17．（15分）（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：（1）A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，当a=﹣4时，B={x|x2+a＜0}={x|﹣2＜x＜2}；∴A∩B={x|﹣2＜x＜2}A∪B={x|﹣3≤x≤2}；（2）若A∩B=B，则B⊆A；由题意，x2＜﹣a；当a≥0时，B=∅，满足题意；当a＜0时，﹣a＞0，解得﹣＜x＜，则，解得﹣4≤a＜0；综上，a的取值范围是[﹣4，+∞）．18．（理科做）用数学归纳法证明：．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：证明：（1）当n=1时，1=1，等式成立．（2）假设当n=k时，有1+2+3+…+k=k（k+1）成立．那么，当n=k+1时，1+2+3+…+k+k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2），=（k+1）[（k+1）+1]，∴当n=k+1时等式成立，∴对任意的n∈N*，等式都成立．19．（15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（I）求f（x）的表达式；（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元∴，∴k=800（3分）∴（7分）（Ⅱ）∵（11分）当且仅当即x=5时f（x）min=75．（14分）答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元．（15分）20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=2c，则b2=a2﹣c2=3c2，将E代入椭圆方程：，解得：c=1，则a=2，b=，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0）（y0≠0），则直线AP的方程为：y=（x+2）令x=2得M（2，）∴k1=，则k2=，∴k1k2=，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，y02=∴k1k2==为定值．∴k1k2为定值．21．（15分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f （x ）=a x +x 2﹣xlna ，∴f ′（x ）=a x lna+2x ﹣lna ，∴f ′（0）=0，f （0）=1即函数f （x ）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f （0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x ）=a x lna+2x ﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna ＞0①当a ＞1，y=2x 单调递增，lna ＞0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0 故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a ＜1，y=2x 单调递增，lna ＜0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0 故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f （x ）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1，所以当x ∈[﹣1，1]时，|（f （x ））max ﹣（f （x ））min |=（f （x ））max ﹣（f （x ））min ≥e ﹣1，（12分）由（2）知，f （x ）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[﹣1，1]时，（f （x ））min =f （0）=1，（f （x ））max =max{f （﹣1），f （1）}，而f （1）﹣f （﹣1）=（a+1﹣lna ）﹣（+1+lna ）=a ﹣﹣2lna ，记g （t ）=t ﹣﹣2lnt （t ＞0），因为g ′（t ）=1+﹣=（ ﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）。

2017-2018学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则|z|=．2．（5分）某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取人．3．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．4．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是．5．（5分）若，则x=．6．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．7．（5分）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=（用，，表示）8．（5分）若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=2e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为．9．（5分）已知命题p：∃x∈[﹣1，0]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是．10．（5分）已知f（x）=+2xf′（1），则f′（2）=．11．（5分）若（3x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a o+a2+a4）2﹣（a1+a3））2的值为．12．（5分）有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有种．（用数字作答）13．（5分）已知F是椭圆C1：=1与双曲线C2的一个公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若=0，则C2的离心率为．14．（5分）若函数f（x）=﹣4x3﹣mx2+（3﹣m）x+1是R上的单调减函数，已知g（x）=ln（x+m﹣6）﹣2nx，h（x）=，且g（x）h（x）≤0在定义域内恒成立，则实数n的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）假定某射手每次射击命中目标的概率为，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：（Ⅰ）X=2的概率；（Ⅱ）数学期望E（X）．16．（14分）在如图所示的坐标系中，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，已知AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F 是A1B1的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线AA1与平面BDF所成角的正弦值．17．（14分）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生．若某商家的一款外卖便当每月的销售量y（单位：千盒）与销售价格x（单位：元/盒）满足关系式y=+4（x﹣16）2，其中12＜x＜16，a为常数，已知销售价格为14元/盒时，每月可售出21千盒．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大．（结果保留一位小数）18．（16分）已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2，a3是（1+）m展开式的前三项的系数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求（1+）m展开式的中间项；（Ⅲ）当n≥2时，用数学归纳法证明：．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的长轴长2，短轴长2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）记椭圆的左右顶点A，B，分别过A，B作x轴的垂线交直线y=于点D，C，P为椭圆上位于x轴上方的动点，直线AP，BP分别交直线CD于点E，F．（i）当直线AP的斜率为2时，求△BEF的面积；（ii）求DE+CF的最小值．20．（16分）已知函数f（x）=x2+2mlnx﹣（m+4）x+lnm+2．（Ⅰ）当m=4时，求函数f（x）在区间[1，4]上的值域；（Ⅱ）当m＞0时，试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意m∈（1，），存在x∈（3，4]，使得不等式f（x）＞a（m﹣m2）+2m（ln4﹣1）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则|z|=5．【解答】解：∵z=3+4i，∴|z|=．故答案为：5．2．（5分）某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取40人．【解答】解：由分层抽样的定义得在高一抽取×=40人，故答案为：403．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有22=4中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．4．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣25．（5分）若，则x=3或6．【解答】解：利用组合数的性质易得若C18x=C183x﹣6，则：x=3x﹣6或x+3x﹣6=18，则x=3或6故答案为：3或6．6．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为21．【解答】解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环故答案为：217．（5分）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=（用，，表示）【解答】解：在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E 为AD的中点，∴=（+）=+=+×（+）=+（+）=++，故答案为：++．8．（5分）若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=2e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为．【解答】解：根据题意，曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x，其导数y′=3ax2﹣12x+12，则有y′|x=1=3a﹣12+12=3a，即曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x在x=1处的切线斜率k1=3a，曲线C2：y=2e x，其导数y′=2e x，则有y′|x=1=2e，即曲线C2：y=2e x在x=1处的切线斜率k2=2e，若两条切线互相垂直，则有3a×2e=﹣1，则a=﹣；故答案为：﹣．9．（5分）已知命题p：∃x∈[﹣1，0]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是（]．【解答】解：∃x∈[﹣1，0]，a≤e x，则a≤e0=1，即命题p：a≤1，∀x∈R，x2+x+a＞0，则判别式△=1﹣4a＜0，得a＞，即q：a＞，若命题p且q是真命题，则若命题p，q都是真命题，即，得＜a≤1，即实数a的取值范围是（]，故答案为：（]10．（5分）已知f（x）=+2xf′（1），则f′（2）=．【解答】解：根据题意，f（x）=+2f′（1）x，则f′（x）=2f′（1）﹣，当x=1时，有f′（1）=2f′（1）﹣1，解可得f′（1）=1，则f′（x）=2﹣，则f′（2）=2﹣=，故答案为：11．（5分）若（3x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a o+a2+a4）2﹣（a1+a3））2的值为16．【解答】解：在等式（3x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4 =①，再令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4 =②，①×②可得（a o+a2+a4）2﹣（a1+a3）2 =（﹣2）4=16，故答案为：16．12．（5分）有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有480种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为：480．13．（5分）已知F是椭圆C1：=1与双曲线C2的一个公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若=0，则C2的离心率为．【解答】解：如图，设左焦点为F，右焦点为F′，再设|AF|=x，|AF′|=y，∵点A为椭圆C1：=1上的点，2a=6，b=1，c=2，∴|AF|+|AF′|=2a=6，即x+y=6，①又四边形AFBF′为矩形，∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2，即x2+y2=（2c）2=32，②联立①②得，解得x=3﹣，y=3+，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF′|﹣|AF|=y﹣x=2，2c′=4，∴C2的离心率是e===故答案为：．14．（5分）若函数f（x）=﹣4x3﹣mx2+（3﹣m）x+1是R上的单调减函数，已知g（x）=ln（x+m﹣6）﹣2nx，h（x）=，且g（x）h（x）≤0在定义域内恒成立，则实数n的取值范围为n或n=﹣e2．【解答】解：由函数f（x）=﹣4x3﹣mx2+（3﹣m）x+1是R上的单调减函数，则可知f'（x）=﹣12x2﹣2mx+3﹣m≤0在R上恒成立，△=4m2﹣4×（﹣12）×（3﹣m）=4（m﹣6）2≤0，故m=6，则函数g（x）=lnx﹣2nx，由题可知在定义域（0，+∞）内恒成立，①当n≥0时，函数恒成立，故原不等式可转化为g（x）=lnx﹣2nx≤0恒成立，，令g'（x）=0，解得，则在上，g'（x）＞0，g（x）单调递增，在上，g'（x）＜0，g（x）单调递减，则，则ln2n≥﹣1=lne﹣1，即满足前提n≥0，故②当n＜0时，令，解得，则当时，，g（x）•h（x）≤0恒成立可转化为g（x）=lnx﹣2nx≤0恒成立，，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，故在上也单调递增，则，解得n≤﹣e2；当时，，g（x）•h（x）≤0恒成立可转化为g（x）=lnx﹣2nx≥0恒成立，由上可知，g（x）在上单调递增，故，解得n≥﹣e2，即﹣e2≤n＜0；要使得两种情形下都能恒成立，则取其交集得到，n=﹣e2，综上所述，可得要使得g（x）•h（x）≤0在定义域内恒成立，则实数n的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）假定某射手每次射击命中目标的概率为，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：（Ⅰ）X=2的概率；（Ⅱ）数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）假定某射手每次射击命中目标的概率为，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，P（X=2）=（1﹣）×=．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=（1﹣）×=，P（X=3）=（1﹣）×（1﹣）×+（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，∴E（X）==．16．（14分）在如图所示的坐标系中，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，已知AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F 是A1B1的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线AA1与平面BDF所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AA1所在的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°，而AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，∴E（，0），D（0，，0）．（4分）=（），=（﹣1，0，1），∴cos＜＞===﹣．∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．（8分）（Ⅱ）直线AA1的一个方向向量为=（0，0，1），设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，=（﹣2，，0），，取x=1，得=（1，，1），cos＜＞==，∴直线AA1与平面BDF所成角的正弦值．（14分）17．（14分）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生．若某商家的一款外卖便当每月的销售量y（单位：千盒）与销售价格x（单位：元/盒）满足关系式y=+4（x﹣16）2，其中12＜x＜16，a为常数，已知销售价格为14元/盒时，每月可售出21千盒．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大．（结果保留一位小数）【解答】解：（Ⅰ）因为x=14时，y=21，代入关系式y=+4（x﹣16）2，得，解得a=10．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，套题每日的销售量y=+4（x﹣16）2，所以每日销售套题所获得的利润：f（x）=（x﹣12）[+4（x﹣16）2]=10+4（x﹣12）（x﹣16）2从而f′（x）=4（x﹣16）（3x﹣40）．令f′（x）=0，得x=，且在（12，）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在（，16）上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以x=是函数f（x）在（12，16）内的极大值点，也是最大值点，所以当x=时，函数f（x）取得最大值．故当销售价格为13.3元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大．18．（16分）已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2，a3是（1+）m展开式的前三项的系数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求（1+）m展开式的中间项；（Ⅲ）当n≥2时，用数学归纳法证明：．【解答】解：（Ⅰ）（1+）m=1+x+（x）2+…+（x）m，依题意a1=1，a2=m，a3=，由2a2=a1+a3可得m=1（舍去），或m=8；（Ⅱ）（1+）m展开式的中间项是第五项为：T5=（x）4=x4；（Ⅲ）证明：数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，可得a n=3n﹣2，①n=2时，++=++＞，不等式成立；②设当n=k时，++…+＞，则n=k+1时，++…+=（++…+）+（++…+﹣）＞+（++…+﹣）＞+﹣=+=+，由k≥3可知，3k2﹣7k﹣3＞0，即++…+＞，综合①②可得，当n≥2时，．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的长轴长2，短轴长2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）记椭圆的左右顶点A，B，分别过A，B作x轴的垂线交直线y=于点D，C，P为椭圆上位于x轴上方的动点，直线AP，BP分别交直线CD于点E，F．（i）当直线AP的斜率为2时，求△BEF的面积；（ii）求DE+CF的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的长轴长2，短轴长2，可得a=，b=，可得椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣，0），B（，0），设P（x0，y0），则2x02+3y02=6，直线AP的方程为y=（x+），令y=，得E（，），直线BP的方程为y=（x﹣），令y=，得F（，），（i）当直线AP的斜率为2时，有=2，2x02+3y02=6，消去y0并整理得，7x02+12x0+15=0，解得x0=﹣或﹣（舍），y0=，=|EF|=|﹣|所以△BEF的面积S△BEF=•|﹣2+|=×=；（ii）DE=|（+|=||，CF=|﹣|=||，所以DE•CF=||=，则DE+CF≥2=3，所以对任意的动点P，DE+CF的最小值为3．20．（16分）已知函数f（x）=x2+2mlnx﹣（m+4）x+lnm+2．（Ⅰ）当m=4时，求函数f（x）在区间[1，4]上的值域；（Ⅱ）当m＞0时，试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意m∈（1，），存在x∈（3，4]，使得不等式f（x）＞a（m﹣m2）+2m（ln4﹣1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=4时，f（x）=x2+8lnx﹣8x+2ln2+2，定义域为（0，+∞）恒成立，当且仅当x=2时取得等号，故f（x）在[1，4]上单调递增，f（x）min=f（1）=1﹣8+2ln2+2=2ln2﹣5；f（x）max=f（4）=16+16ln2﹣32+2ln2+2=18ln2﹣14；（Ⅱ），令f'（x）=0，得到x=2或，只需要借助分子函数的图象，即可判断导函数的正负，当时，即0＜m＜4时，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增，当时，即m=4时，此时f'（x）≥0恒成立，当且仅当x=2时取得等号，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，即m＞4时，x∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当0＜m＜4时，时，f（x）单调递增，时，f（x）单调递减，x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，当m=4时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞4时，x∈（0，2）时，f（x）单调递增，时，f（x）单调递减，时，f（x）单调递增，（Ⅲ）法1，常规解法，由于对任意的，m﹣m2＜0，故将针对自变量x能成立的不等式f（x）＞a（m﹣m2）+2m（ln4﹣1）分离参数得到，对x∈（3，4]能成立，令，则，令h'（x）=0得到x=2或此时由于上，，在（3，4]上恒成立，故h'（x）＜0，即h（x）单调递减，故故，到此问题转化为对任意恒成立，令，则化简整理后得到，，当时，容易判断g'（m＜0），故需要求g（m）在时的最大值的极限．而型，故此时采用洛必达法则，=，故a≥1．。

江苏省盐城市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·南昌月考) 给出下列四个命题:①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则④函数在点处的切线方程为 .其中不正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）设函数. 若当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）.A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·亳州月考) 复数 = (i是虚数单位),则复数的虚部为（）A . iB . -iC . 1D . -14. （2分）关于的函数的极值点的个数有（）A . 2个B . 1个C . 0个D . 由a确定5. （2分）甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）种．A . 30B . 36C . 60D . 726. （2分） (2017高二下·运城期末) （1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A . 15B . 20C . 30D . 357. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 设i为虚数单位，则复数Z= 的共轭复数为（）A . 2﹣3iB . ﹣2﹣3iC . ﹣2+3iD . 2+3i8. （2分）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）（）A . 赚723元B . 赚145元C . 亏145元D . 亏723元9. （2分） (2019高二上·黄陵期中) 数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A .B .C .D .10. （2分）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（）A . 1，-1B . 1，-17C . 3，-17D . 9，-1911. （2分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）A . 各正三角形内的点B . 各正三角形的中心C . 各正三角形某高线上的点D . 各正三角形各边的中点12. （2分） (2017高二下·湖北期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·溧水期末) 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为________．14. （1分） (2016高一上·平罗期中) 已知A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2m﹣1≤x≤m+3}，若B⊆A，则实数m的取值范围________．15. （1分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为________ ．16. （1分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.（1）若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种?（2）若恰在第5次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种?18. （10分）已知函数f（x）= ，x∈[2，5]．（1）判断f（x）的单调性并且证明；（2）求f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．19. （5分）将3名男生和4名女生排成一行，在下列不同的要求下，求不同的排列方法的种数：（1）甲、乙两人必须站在两头；（2）男生必须排在一起；（3）男生互不相邻；（4）甲、乙两人之间恰好间隔1人．20. （10分）(2019·广西模拟) 已知函数f(x）=ax2-2xln x-1(a∈R）．（1）若x= 时，函数f（x）取得极值，求函数f(x）的单调区间：（2）证明：1+ + +…+ > 1n（2m+1)+ （n∈N*)．21. （10分） (2016高二下·黄骅期中) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2 ，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mAm元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA= mB时，求证：h甲=h乙；（2）设mA= mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？22. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上． 1i 为虚数单位），则 z = ▲ ． 2．已知命题p ：“n N *∃∈，使得 22nn <”，则命题p ⌝的真假为 ▲ ．3．设R θ∈，则“sin 0θ=”是“sin20θ=”的 ▲ 条件．（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）4．如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在[)60,80的汽车大约有 ▲ 辆．5．某程序框图如图所示，则输出的结果为 ▲ ．6．在区间()0,5上随机取一个实数x ，则x 满足220x x -<的概率为 ▲ ．（第4题图）（第5题图）743y x =±，则其准线方程为 ▲ ． 8在区间()0,2上有极值，则a 的取值范围是 ▲ ． 9．（理科学生做）从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种．（用数字作答）（文科学生做）已知函数()3f x x =，则不等式()()210f x f x +-<的解集是 ▲ ．10．的展开式中的常数项是 ▲ ．（文科学生做）m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ▲ ．11．已知圆222(0)x y r r +=>的内接四边形的面积的最大值为22r ，类比可得椭圆()222210x y a b a b +=>>的内接四边形的面积的最大值为 ▲ ． 12．已知集合()2,20y x M x y x y a ⎧⎫≥--⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-+≤⎩⎪⎪⎩⎭和集合(){},|sin ,0N x y y x x ==≥，若M N ≠∅，则实数a 的最大值为 ▲ ．13．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，若椭圆C 上存在两点P 、Q 满足2PF FQ =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知0a >，0b >，02c <<，20ac b c +-=，则11a b+的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（理科学生做）现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球． （1）求这两个小球都是红球的概率；（2）记摸出的小球中红球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布及其均值E (X )．（文科学生做）已知关于x 的不等式2(2)20ax a x +--≥，其中R a ∈． （1）若不等式的解集为(,1][4,)-∞-+∞，求实数a 的值；（2）若不等式22(2)225ax a x x +--≥-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）（理科学生做）观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．21(1)(1)x x x -=-+， 321(1)(1)x x x x -=-++， 4231(1)(1)x x x x x -=-+++．（文科学生做）已知函数()sin f x x x =+，(,)22x ππ∈-，函数()g x 的定义域为实数集R ，函数()()+()h x f x g x =．（1）若函数()g x 是奇函数，判断并证明函数()h x 的奇偶性；（2）若函数()g x 是单调增函数，用反证法证明函数()h x 的图象与x 轴至多有一个交点．17．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，4AC PA ==． （1）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值； （2）求二面角A PC B --的余弦值．（文科学生做）已知函数()cos cos()3f x x x π=+．（1）求()f x 在区间[0,]2π上的值域；（2）若13()20f θ=，66ππθ-<<，求cos 2θ的值．18．（本小题满分16分）如图所示，矩形ABCD 为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC 是以AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB =1 km ，BC =2 km ，现准备开发一个面积为0.6 km 2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB 边上取点E 、在BC 边上取点F ，使得△BEF 区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E 、F 的选址方案；若不能，请说明理由．ACP（第17题图∙理）F（第18题图）19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 内，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 到右准线的距离为2，直线l 过右焦点F 且与椭圆E 交于A 、B 两点． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与x 轴垂直，C 为椭圆E 上的动点，求CA 2+CB 2的取值范围；（3）若动直线l 与x 轴不重合，在x 轴上是否存在定点P ，使得PF 始终平分∠APB ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()xe xf =和函数()m kx xg +=（k 、m 为实数，e 为自然对数的底数，2.71828e ≈）． （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）当2=k ，1=m 时，判断方程()()x g x f =的实数根的个数并证明；（3）已知1≠m ，不等式()()()[]01≤--x g x f m 对任意实数x 恒成立，求km 的最大值．2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 12. 假3. 充分不必要4. 1505. 16.257. 95x =±8. ()1,1-9. （理）65 （文）1(,)3-∞10. （理）12 （文）512π 11. 2ab12.3π13. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.[)4,+∞二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（理科）解：⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A ， 则23261()5C P A C == ……………………………………………………………………4分⑵随机变量X 的可能取值为：0、1、2 ， ……………………………………………………………6分{}0=X 表示取得两个球都为黑球，23261(0)5C P X C ===，{}1=X 表示取得一个红球一个黑球，1133263(1)5C C P X C ===， {}2=X 表示取得两个球都为红球，23261(2)5C P X C ===，随机变量X 的概率分布如下：…………………………12分=)(X E 131012555⨯+⨯+⨯=1 ………………………………………………………………14分（注：三个概率每个2分）（文科）解：⑴由题意知方程02)2(2=--+x a ax 的解为4,1-，且0>a ， ………………2分 所以42-=-a，解得21=a . ……………………………4分 ⑵问题可化为03)2()2(2≥+-+-x a x a 对任意实数x 恒成立， ①当2=a 时，3≥恒成立； ……………………………………6分 ②当2≠a 时，⎩⎨⎧≤--->0)2(12)2(22a a a ，解得142≤<a ； ………………………………12分 综上①②得142≤≤a ． …………………………………………………14分16．（理科）解：归纳猜想得：)1)(1(1132-+++++-=-n n x x x x x x ，*N n ∈． ……………4分（注：如答成2,n n N ≥∈一样给分）证明如下：①当1=n 时，左边1x =-，右边1x =-，猜想成立； ……………………………6分②假设k n =（1≥k ）时猜想成立，即2311(1)(1)k k x x x x x x --=-+++++成立，当1+=k n 时，右边)1)(1(132kk x x x x x x ++++++-=-k k x x xx x x x )1()1)(1(132-++++++-=- k k x x x )1(1-+-=11+-+-=k k k x x x 11+-=k x =左边所以1+=k n 时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分由①②可得，)1)(1(1132-+++++-=-n n x x x x x x ，*N n ∈成立. ………………………14分（文科）解：⑴由题意知)(x h 的定义域为)2,2(ππ-， ……………………………………………2分 又)(x g 是奇函数 ，所以)()(x g x g -=-， ……………………………………………4分∴)(sin )()sin()(x g x x x g x x x h ---=-+-+-=-)())(sin (x h x g x x -=++-= ∴)(x h 为奇函数. ……………………………………7分 ⑵假设函数)(x h 的图象与x 轴有两个交点，不妨设其横坐标为21,x x ，且21x x <， 则0)()(21==x h x h ， ………………………………………8分又()1cos 0f x x '=+≥，所以)(x f 为单调增函数， ………………………………10分所以)()(21x f x f <，又因为)(x g 为单调增函数，所以)()(21x g x g <， 所以)()()()(2211x g x f x g x f +<+，即)()(21x h x h <，这与0)()(21==x h x h 矛盾， ………………………………………………………12分 所以假设不成立，所以函数)(x h 的图象与x 轴至多有一个交点. ………………………14分17．（理科）解：⑴如图，以A 为原点,在平面ABC 内作垂直于AC 的射线为x 轴，以射线AC 为y 轴，射线AP 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系， ……………………………………………………………2分 则P (0,0,4)，B，(0,4,0)C ，故(3,1,4)PB =-，由x 轴⊥平面P AC 得平面P AC 的一个法向量为()1,0,0n =，5分设直线PB 与平面PAC 所成角为α， 则||3sin |cos ,|||||20n PB n PB n PB α⋅=<>===， 即直线PB 与平面PAC .……………8分 ⑵(0,4,4)PC =-，(BC =，设(),,m x y z =为平面PBC 的一个法向量， 则440m PC m PC y z ⊥⇒⋅=-=，330m BC m BC y ⊥⇒⋅=-+=，取1z =得1y =，x =即()3,1,1m =为平面PBC 的一个法向量，………………………………11分平面P AC 的一个法向量为()1,0,0n =，设二面角A PC B --的平面角为β，则β为锐角，则||3cos |cos ,|||||5n m n m n m β⋅=<>=== 即二面角A P--的余弦值为14分 （文科）解：⑴211()cos (cos )cos cos 2222f x x x x x x x =-=- 2111cos 2cos cos 222224x x x x x +=-=⨯-1111cos 22cos(2)444234x x x π=-+=++ …………………………………………………………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2)1,32x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………………7分 ⑵1311()cos(2)20234f πθθ==++，4cos(2)35πθ∴+=， …………………………………………9分3sin(2)35πθ∴+==±，又66ππθ-<<，20233ππθ<+<，sin(2)03πθ∴+>，3sin(2)35πθ∴+= ……………………11分1cos 2cos (2)cos(2))33233ππππθθθθ⎡⎤∴=+-=++⎢⎥⎣⎦143255=⨯=. ………………………………………………………………14分18．解：（法一）△BEF 区域满足该项目的用地要求等价于△BEF 面积的最大值不小于0.6 km 2，……2分以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,2)C ，(0,2)D ，设曲线AC 所在的抛物线的方程为22(0)x py p =>，代入点(1,2)C 得14p =， 得曲线AC 的方程为22(01)y x x =≤≤，……………………………………………………………………4分欲使得△BEF 的面积最大，必有EF 与抛物线弧AC 相切，设切点为2(,2)P t t ，01t ≤≤，由22y x =得4y x '=，故点2(,2)P t t 处切线的斜率为4t ，切线的方程为224()y t t x t -=-， 即242y tx t =-，6分当0t =时显然不合题意，故01t <≤，令1x =得242F y t t =-，令0y =得12E x t =， 则232111(1)(42)222222BEF t S BE BF t t t t t ∆=⨯=--=-+，设321()222f t t t t =-+，01t <≤，…………………………………9（注：学生写成01t ≤≤不扣分）则()()1()3222f t t t '=--， 令()0f t '>得203t <<，令()0f t '<得213t <≤，故()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，故max 216()()327f t f ==，…………………………………14分 而160.627<，故该方案所得△BEF 区域不能满足该项目的用地要求． …………………………………16分(法二）转化为当0.6BEF S ∆=时，直线EF 的方程与抛物线弧AC 的方程联列所得方程组至多有一个解.(法三) 转化为当0.6BEF S ∆=时，抛物线弧AC 上所有的点都在直线EF 上方的区域，进一步转化为不等式恒成立问题.19．解：⑴由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==2222c ca a c e ，得22=a ，2=c ， ……………………………2分∵222c b a +=，∴42=b ，∴椭圆的标准方程为：14822=+y x . ……………………………4分⑵当直线AB 与x 轴垂直时，)2,2(),2,2(-B A ，设点),(00y x C ，则2020202022)2()2()2()2(++-+-+-=+y x y x CB CA 1282202020+-+=x y x ，又点C 在椭圆上，∴1482020=+y x ，消去0y 得20802022+-=+x x CB CA ，0[x ∈-，∴22CB CA +得取值范围为[28-+. ……………………………………………8分⑶假设在x 轴上存在点P 满足题意，不妨设)0,(t P ，设),(),,(2211y x B y x A ，设直线AB 的方程为：2+=my x ，联列14822=+y x ，消去x 得044)2(22=-++my y m ， 则24221+-=+m m y y ，24221+-=m y y ， ………………………………………………………………12分由PF 平分∠APB 知：0=+BP AP k k ， …………………………………………13分 又0))(()()(2112212211=---+-=-+-=+t x t x t x y t x y t x y t x y k k BP AP ， 又211+=my x ，222+=my x ，得02))(2(2121=++-y my y y t ， 即024224)2(22=+-++--m m m m t ，得4=t ， 所以存在点P （4,0）满足题意． ………………………………………………………………16分20．解：⑴()xh x e k '=-，①当0k ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；……………2分②当0k >时，由()0h x '>得ln x k >，由()0h x '<得ln x k <， 故()h x 的单调递减区间为(,ln )k -∞，单调递增区间为(ln ,)k +∞.………………………………………4分⑵当2=k ，1=m 时，方程()()x g x f =即为()210x h x e x =--=，由(1)知()h x 在(,ln 2)-∞上递减，而()00h =，故()h x 在(,ln 2)-∞上有且仅有1个零点，………6分由⑴知()h x 在[ln 2,)+∞上递增，而()130h e =-<，()2250h e =->，且()h x 的图像在[1,2]上是连续不间断的，故()h x 在[1,2]上有且仅有1个零点，所以()h x 在[ln 2,)+∞上也有且仅有1个零点， 综上，方程()()x g x f =有且仅有两个实数根. ………………………………………………………………8分 ⑶设()()()h x f x g x =-，①当1m >时，()()0f x g x -≤恒成立，则()0h x ≤恒成立，而 0mk m h e k -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，与()0h x ≤恒成立矛盾，故1m >不合题意；…………………………………10分②当1m <时，()()0f x g x -≥恒成立，则()0h x ≥恒成立，1°当0k =时，由()0x h x e m =-≥恒成立可得(,0]m ∈-∞，0km =； ……………………………11分2°当0k <时，111m km h ek --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而10mk-<，故11mk e -<， 故10m h k -⎛⎫<⎪⎝⎭，与()0h x ≥恒成立矛盾，故0k <不合题意；………………………………………13分3°当0k >时，由（1）可知()()min ln ln h x h k k k k m ==--⎡⎤⎣⎦，而()0h x ≥恒成立，故ln 0k k k m --≥，得ln m k k k ≤-，故(ln )km k k k k ≤-， 记()(ln )k k k k k ϕ=-，(0,)k ∈+∞，则()(12ln )k k k ϕ'=-，由()0k ϕ'>得0k <<()0k ϕ'<得k >故()k ϕ在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2e k ϕϕ∴==，2ekm ∴≤，当且仅当k =m =时取等号； 综上①②两种情况得km 的最大值为2e．……………………………………………………………………16分。