x ln x x 1⎝ ⎭ 3 6 ⎪ ( ) 2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”所以1 = g (0)≤ g (x ) ≤ g (1) = e + 2,所以1 ≤ a ≤ e + 2 . 故选：A.高三期中联考数学试题参考答案9.【解析】不等式a + b ≥ 2 恒成立的条件是 a ≥ 0 ， b ≥ 0，故 A 不正确； 一、单项选择题：1－4 CBAB 5－8 ACCA当 a 为负数时，不等式a + ≤ 2 成立.故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确；a二、多项选择题：9.BCD 10. AC 11. BC12. BC三、填空题:2 1 ⎛ 2 1 ⎫ 对于 + = + x + 2 y = 4 + x y x y 4 y + x ≥ 4 + 2 x y= 8， 13．1414．（0，1]15．-3 1 16．当且仅当4 y = x ，即 x = 1 ， y = 1时取等号，故 D 正确.故选；BCD. 2x y 2 41.【解析】集合 B = {x | y = log 2 (1- x )} ，则其中定义域 B = {x |1- x > 0} = {x | x < 1} ,又有集合 A = {-2, -1, 0,1, 2} ，则 A B = {-2, -1, 0}．故选：C. 10.【解析】因为 a 2 ， a 3 + 1， a 4 成等差数列，所以 a 2 + a 4 = 2(a 3 + 1) ，因此， a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = a 1 + 3a 3 + 2 = a 1 + 14 ，故 a 3 = 4 ．又{a n }是公比为q 的等比数列，2.【解析】如图，由条件知四边形 ABCD 为正方形， 所以由 a + a = 2(a+ 1) ，得a (q + 1) = 2(a +1) ，即 q + 1 = 5 ，解得 q = 2 或 1 ．故选：AC ． ∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m.2 4 33 q 3 q 2 2在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，11.【解析】因为 f ( x ) = cos(2x +ϕ)，所以 f '(x ) = -2sin(2x +ϕ) ，∴EC ＝CD·tan 60°＝20 m ，∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋20 )m.故选 B.⎛π ⎫所以 F ( x ) = f ( x ) + 2f '( x ) = cos( 2 x + ϕ) - 3 sin( 2 x + ϕ) = 2 cos 2 x + ϕ+ ⎪ ⎝ ⎭=<= < =1 3< =⎛π ⎫ π π3.【解析】 a log 1 3 log 1 10 ； 0 b ( 2)1； c32 >1．故选 A.因为F (x ) 为奇函数，则 F (0) = 0 ，即cos ϕ+ ⎪ = 0 ，所以ϕ+= k π+ ， k ∈ Z ，因为 22⎝3 ⎭3 24.【解析】 原命题∀x ∈ R ， e x+1≥ 2 ，∴ 命题∀x ∈ R ， e x+1≥ 2 的否定是: ∃x ∈ R ，ππe x + 1e xe x e x< 2 ．故选:B ．|ϕ|< ，所以ϕ= ， 2 6对于 A ， tan ϕ= tan π=3 ，故 A 错误；⎧ lnx , x > 06 35.【解析】因为 f (x ) = = ⎨-ln (-x ), x < 0 是奇函数排除 B , C ，且当 x > 1时， f (x ) > 0 .⎛ π⎫ k π π⎩对于 B ，令 f ( x ) = cos 2x + ⎪ = 0，得x = ⎝⎭ + ，k ∈ Z ，若 f (x ) 在[-a , a ]上存在零点，则 a > 0 2 6 故答案为 A.6．【解析】 y = f (x ) 关于 y 轴对称，∴ y =f (x ) 为偶函数，又 y = sin x 为奇函数，且 a 的最小值为 π ，故 B 正确；6⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫ ⎛ π 3π⎫ ⎛ π 3π ⎫∴y ＝ln (mx + 1 + 4x 2) 为奇函数，则 m = ±2 ．故选 C ．对于 C ，F (x ) = 2 cos 2x + + ⎪ = -2sin2x ，当 x ∈ , ⎪ 时，2x ∈ , ⎪ ，则F (x ) 在 , ⎪ 上 7.【解析】∵等差数列{a n }中， a 3 + a 9 < 0 ，∴ a 3 + a 9 = 2a 6 < 0 ，即 a 6 < 0 .又 a 7 > 0，∴ {a n }的前 n 项和 S n 的最小值为 S 6 .故答案选 C.⎝ 单调递增，故 C 正确. ' 6 3 ⎭ ⎛ π ⎫ ⎝ 4 4 ⎭ ⎛ 5π ⎫ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 5π π ⎫ ⎝ 4 4 ⎭8.【解析】由 f (x )为增函数可得 f ( y ) = y ，又可知 y ∈ [0,1]，则问题等价于方程 f (x ) = x ，对于 D ，因为 f ( x ) = -2 sin 2x + 6⎪ ，当 x ∈ 0, 12 ⎪时， f '(x ) < 0 ，当 x ∈ , ⎪时， f '(x ) > 0 ， 0 0 0⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 12 2 ⎭x ∈[0,1] 有 解 ， 即 x 2 = e x + 3x - a 在 x ∈[0,1] 有 解 ， 分 离 参 数 可 得 a = e x + 3x - x 2 ， 令∴ f (x ) 在⎛ 0, π ⎫上存在一个极小值点，没有极大值点，故 D 错误.2 ⎪3 3 ab4 y ⋅ x x y 31g (x)=e x +3x -x2 ， g'(x)=e x +3 -2x > 0, x ∈[0,1]，所以函数g (x)在[0,1]上单调递增，⎝⎭故选：BC.33 3 2 ⎪ ⎪ 12.【解析】当 x ≤ 0 时， f (x )= e x(x +1)，则 f ' (x ) = e x (x +1) + e x = e x (x + 2)a + a + a = d + 2d + 4d = 7 = ∈ *16.【解析】 1 24 t (t N )由 f '(x )< 0 得 x + 2 < 0，即 x < -2，此时 f (x )为减函数， b 1 + b 2 + b 3 d + dq + dq 1 + q + q 2 2由 f '(x )> 0得 x + 2 > 0，即 -2 < x ≤ 0 ，此时 f (x )为增函数， 即当 x = -2时， f (x )取得极小值 f (-2) = - 1，e tq 2 + tq + t - 7 = 0q > 0∴q =2t作出 f (x )的图象如图：且 - 3t 2 + 28t ≥ 0∴0 < t < 28,t ∈ N * ∴t = 1,2 93由图象可知当0 < f (x )≤ 1时，有三个不同的 x 与 f (x )对应 设t = f (x )，方程[ f (x )]2- af (x ) + 1= 0有六个不等的实数根16所以t 2- at + 1= 0在t ∈(0,1]内有两个不等的实根16又q 为有理数∴ -3t 2+ 28t ≥ 0 是一个完全平方数列举可得t = 1或t = 4或t = 7或t = 9 ，则 q = 2(舍）或q = 1或q = （0 2∴ q = 12四、解答题舍）或q = - 1(舍）3⎧ ⎧1 > 0g (0) > 0 16 17.【解析】若选①，则由正弦定理3 cos C (sin A cos B +sin B cos A ) = sin C sin C ，⎪ ⎪⎪ g (1) ≥ 0 ⎪ 1- a + 1 ≥ 0设 g (t ) = t 2 - at + 1 ，即⎪ ∆ > 0 ⇒ ⎪ 16 ⇒ 1 < a ≤ 17 ，则实数 a 可取的值可能是 2 ，13 cos C sin (A + B ) = sin C sin C ，= tan C ， C = π……………………………4 分⎨ ⎨ 1 2 1616 ⎪a ⎪a 2 - 4 ⨯ > 0 3 3⎪0 < < 1 ⎪ 16 若选②，则由正弦定理知：⎪ 2 ⎪ a ⎪ ⎪ 0 < < 12π- CC CCC 1π⎩⎪⎩ sin A sin= sin C sin A ， cos= sin C = 2 sin cos ， sin = ， C = ………4 分故选：BC ．222 2 2 2 3⎧x 2 , x < 013.【解析】因为 f (x ) = ⎨所以 f (-2) = (-2)2 = 4 ， 若选③，则有正弦定理知(b - a )2= c 2 - bc ，1π ⎩2x- 2, x 0∴b 2+ a 2- c 2= bc ，由余弦定理知：cos C = ， C = ，……………………………4 分则 f ( f (-2)) = f (4) = 2 4 - 2 = 16 - 2 = 14 ．故答案为：142 32π ⎛ 2π ⎫⎛ 1 ⎫ A + B = 3 ，∴sin A ⋅ sin B = sin A ⋅ sin 3 - A ⎪ = sin A ⋅ 2 cos A + 2 sin A ⎪14.【解析】因为 x ∈R ，条件 p ：x 2＜x ，所以 p 对应的集合为 A ＝（0，1）； ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因为条件 q ： ≥a （a ＞0），所以 q 对应的集合为 B ＝（0， ]； = sin A ⋅ cos A + 1 sin 2A = sin 2 A + 1 (1 - cos 2 A ) = 1 sin ⎛ 2 A - π⎫ + 1 ……………8 分 2 6 ⎪ 42 2 4 4⎝ ⎭ 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⊆ B ，所以，所以 0＜a≤1，故答案为：（0，1]．⎛ 2π⎫ ∴2A π⎛ π 7π⎫A ∈ 0, ⎪， - 6 ∈ - , ⎪，15.【解析】因为函数 f (x ) 在(-∞, 0)单调递增，因为 f (-1) = 2-1-1(-1)2 > 0，20⎝ 3 ⎭π⎝ 6 6 ⎭3f (-2)= 2-2 - 1 (-2)2 = 1 - 1 > 0，f (-3)= 2-3 - 1 (-3)2= 1 - 9 < 0，所以 x ∈(-3, -2)，所以 a = -3.所以当 A = 时， sin A ⋅sin B 的最大值是 .……….………. …….……….………….…10 分 34 204 5208 20- t + - 3t 2 + 28t3n nn18.【解析】（1）由题意知2, a n , S n 成等差数列，所以 2a n = 2 + S n ① ,因为 平 ，所以 为平 的法向量， .可得 2a n -1 = 2 + S n -1 (n ≥ 2) ②………………………………………………………2 分 ①-②得a n = 2a n -1(n ≥ 2) ，又 2a 1 = 2 + a 1 ， a 1 = 2 ，………………………………4 分所以数列{a }是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，∴ a = 2n.……………………6 分 所以 .（2）由（1）可得b n = n ⋅ 2n，用错位相减法得：因为二面角为锐角，所以二面 的余弦值为 .………………………………12 分T = 2 + 2 ⨯ 22 + 3⨯ 23 + 4 ⨯ 24 + ⋅⋅⋅ + n ⨯ 2n ① 2T n = 22 + 2 ⨯ 23 + ⋅⋅⋅ + (n -1) ⨯ 2n + n ⨯ 2n +1 ②法 2：【几何法】 ①-②可得T n = (n -1) ⋅ 2n +1+ 2 .……………………12 分如图，G 、P 分别为线、的三等分点，19.【解析】（1）证明：因 平 ，面,所.因 是正方形，所又，面，面,平 .…………5 分（2）法 1：【向量法】 因，，两两垂直，建立空间直角坐标如图所示.因 平， 与平所成角为 60°，，所.由已知，可得，.则，，，，，所 ，.设平面的法向量，则，即.令，则.…………………………………………………9 分M 、N 分别为线、的中点， ，连， ， ，所，且所面，过 F 垂足为 Q ，连结由三垂线定理知为二面的平面角. ………………………………8 分，为直角三角形，，所以，由勾股定理得，，……………………………………10 分所以.所以二面的余弦值为.………………………………………………12 分由已知可得，所以因为平面，且与平面所成角为，即1 2 1 2 1 2 1 2 1× 2× 15× .⎨⎝ ⎭3 3 3 3y - = -m x + 2 ⎪ 20.【解析】（1）∆AF 1F 2 面积的最大值为 ，则： bc = 所以 X 的分布列为：又e = c = 1， a 2 = b 2 + c 2 ，解得： a 2 = 4 ， b 2 = 3a∴椭圆C 2 x 2 的方程为：y 2+ = 1……………………4 分(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 A i (i ＝1，2，3)，则……………………5 分（2）1 为定值 4 4 3，设直线 AB: x = my -1（ m ≠ 0 ） P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－15)＝1.8所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1＝1－ 1＝511.设 A (x 1, y 1 )， B (x 2 , y 2 )，线段 AB 的中点为 N (x 0 , y 0 )因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511.……………………9 分512 512 ⎧ x 2 y 2⎪ + 由 ⎨ 4 3 = 1，消去 x 可得： (3m 2 + 4)y 2 - 6my - 9 = 0 512 (3)由(1)知，随机变量 X 的数学期望为 EX ＝ 3＋ 3＋5×1－ 1＝－1⎪⎩x = my -1这表明，获得分数 X 的均值为负．8 8 8 8 8 ∆ > 0 恒成立 ∴ y + y = 6m 1 23m 2+ 4 y y = - 91 2 3m 2+ 4……………………………6 分 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．……………………12 分22.【解析】（1）∵ f '(x ) = 2x 2- 4x = 2x (x - 2) ∴ f (x )在(- ∞,0)和(2,+∞)上单调递增，AB = 1 - y 2 = 12(m 2 +1)3m 2 + 4在 (0,2)上单减， f (x )的极大值为 f (0) = 4 ， f (x )的极小值为 f (2)= - 4，∴ x = - 4y = 3m， N (-4,3m)……………………8 分3 又 f (3) =4 ，若 f (x )的最大值是 4，则⎧a - 5 ≤ 0 3，∴1 ≤ a ≤ 4……………4 分3m 2 + 4 ,3m 2+ 43m 2 + 4 3m 2 + 433⎩0 ≤ a -1 ≤ 33m⎛4 ⎫ 直线 PN ： 3m 2 + 4 3m + 4 （2） h (x ) = x 3- 3x 2- x + 3 = (x +1)(x -1)(x - 3)，当 x ≤ 0 时， g (x ) = e x- ax > 0 ，此时 F (x ) = h (x ) ∴ F (x )在(-∞,0]有一个零点， x 1 = -1……………………6 分1 当 x > 0 时， g '(x ) = e x - a ∴ g (x )在(0, ln a )上单调递减，在(ln a ,+∞)上单调递 令 y = 0，则 x p = -3m 2 + 4……………………………………………………………10 分增。
湖北省荆门市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得c e a =.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题3．在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24D ．163【答案】A 【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V ，由此能求出结果. 【详解】解： Q 在四面体P ABC -中，ABC V 为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ， 则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且=36-9=33AD 4362511DE AE ==-=，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂Q I ，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V1111=863232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u u v u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B ．1C 2D 2【答案】D 【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u r u u u u r ,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +，代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．6．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P ，则实数t 的值为（ ）A B ．52C ．ln 222+D ．ln 322+【答案】C 【解析】 【分析】设(,)xP x e ，求2AP ，作为x 的函数，其最小值是6，利用导数知识求2AP 的最小值．【详解】设(,)xP x e ，则222()x AP x t e =-+，记22()()xg x ex t =+-，2()22()x g x e x t '=+-，易知2()22()x g x e x t '=+-是增函数，且()g x '的值域是R ，∴()0g x '=的唯一解0x ，且0x x <时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>，即min 0()()g x g x =， 由题意02200()()6x g x ex t =+-=，而0200()22()0x g x e x t '=+-=，020x x t e -=-，∴00246x x e e +=，解得022x e =，0ln 22x =． ∴020ln 222x t ex =+=+． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对0x 和t 的关系的处理是解题关键． 7．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B 【解析】 【分析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57. 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 8．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.9．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若04x =，则()0()417f x f ==，即017y =成立，若2()1f x x =+，则由00()17f x y ==，得04x =±，则“017y =”是“04x =”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题． 10．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．i B ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A 【解析】 【分析】先化简求出z ，即可求得答案. 【详解】因为(1)2z i -=， 所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-= 故选：A 【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.侧面的高为22215+=，所以侧面积为1425452⨯⨯⨯=.所以该几何体的表面积是()2454cm +.故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 12．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆门市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.2．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，30B ∠=︒，23AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，当xy 的值最大时，||AE =u u u r ( )A 5B ．2C ．302D ．23【答案】B【解析】 【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =u u u r u u u r，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r 剟，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u v u uv ，结合题给AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =u u u r .【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =u u u ru u u r·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r剟 ， 则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u v u uv ， 又因为AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭…， 当1λ=时，等号成立.所以1||||22AE AB AD =+=u u u r u u u r u u u r.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.3．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C 【解析】 【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ． 【点睛】本题考查程序框图，是基础题．4．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111x h x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减， ∴()()14max hx h ==，而000024222424xx x x a a a a --⋅+⋅≥⋅⋅=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.5．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．6【答案】B 【解析】 【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．6．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 7．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．1 2B．13C．23D．56【答案】C【解析】【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中截去四棱锥1B ABCD-所形成的几何体，该几何体的体积为321211133V=-⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.8．已知函数()222ln02x x ef xe x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x<<，使得()()()123f x f x f x==，则()12f xx的最大值为（）A．1eB．eC2eD．21e【答案】A【解析】【分析】画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【详解】由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x =，()21x e ∈，， ()()21ln xg x g x x=⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e==.故选：A 【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.9．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题10．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．22C 3D 23【答案】A 【解析】 【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 33CE CAE AE ∠===， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．2C 162D ．163【答案】C 【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ， 所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ， 当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 22543-=， 所以PCE S ∆最大值为2，故P BCD V -的最大值为8223⨯162=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 12．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A ．132- B ．312i + C ．132+ D 312i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝132+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
