[医学]心脏冠状动脉CTA成像
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第三节 牛顿迭代法与弦割法
1、牛顿法基本思想
将非线性方程线性化,以线性方程的解逼近非线性方程的解。 2. 牛顿迭代法的原理
将非线性方程线性化,如何实现?? 取 x0 x*,将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:
3. 牛顿迭代法的几何解释:
方程 f (x) 0的根 x *在几何上是曲线 y f (x)与 x 轴的交
点的横坐标。若 x k 是根 x * 的一个近似,过曲线上横坐标为 x k
的点 P k 作曲线 y f (x)的切线,则该切线与 x 轴交点的横坐
标即为 x k 1 。
y
(x0, f (x0))
lim (2) n ((xxn n1 x* x)*2)2ff''('(xx**))c
证0 :f(将x * f( x))f在(x n x)n 处f'( 作x n 2)阶x (* T ax yn lo) r展f" 开2 (! n ,并)(x 将* 解x n x)*2代入
x *x nff'((x x n n ))2 ff " '( (x n n ))(x * x n)2x n 12 ff " '( (x n n ))(x * x n)2
2
0
(a0)的正根
2 f ( x)
x3
1 2xk(3axk 2)
xk3 k0,1,2,
✓
4、牛顿迭代法的局部收敛性定理
设 x* 为方程 f (x) = 0的根,在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 续,且 f ( x) 0,则存在 x* 的邻域 B ( x*) [ x , x ], 使得任取初值 x0 B ( x*),由牛顿迭代法产生的序列 xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.