【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案

2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算高效测评 新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．答案： A2．已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析： AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.答案： A3．下列条件使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →＋OC → B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C.OM →＝15OA →＋23OB →＋12OC →D.MA →＋MB →＋MC →＝0解析： 根据共面向量定理知A ，B ，C 均错，只有D 能使其一定共面． 答案： D4．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 若x ＋y ＋z ＝1，则OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，即AP →＝yAB →＋zAC →，由共面定理可知向量AP →，AB →，AC →共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当O 与四个点中的一个(比如A 点)重合时，OA →＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线也共面；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部． 上述命题中的真命题是________．解析： ①中a 所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a ＝0，而b ≠0时，则找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；③中M 是△ABC 的重心，故M 在平面ABC 上且在△ABC 内，故③是真命题．答案： ③6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC →＋AB 1→＋AD 1→与向量AC 1→之间的关系是________． 解析： ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，AC →＝AB →＋AD →，AB 1→＝AB →＋AA 1→，AD 1→＝AD →＋AA 1→，∴AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→.答案： AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 证明： 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.又∵EF →与EB →有公共点E ， 所以E ，F ，B 三点共线．8．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解析： ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，∴x ＝12，y ＝－32.9． (10分)如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接PA ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 解析： (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ， 连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形， ∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →) ＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →) ＝32(EF →＋EH →)． 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)平行．证明如下： 由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG ∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE →＝32EF →，∴MN →∥EF →.即EF ∥平面ABCD .又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH与平面ABCD平行．。

A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c 解析： －3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0. 答案： C
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第三章 空间向量与立体几何
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解析： A→B＋D→D1＋D→1C1＝A→B＋D→C1＝A→B＋A→B1≠A→C1， ②不正确；
1→ 2(AB1
＋C→D1
)
＋A→1C1
＝12(A→B1
＋B→A1
)
＋A→1C1
＝A→A1
＋A→1C1
＝A→C1，④正确；①③明显正确． 答案： 3
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4．如图所示，四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO
⊥平面 OABC，设 O→A ＝a，O→C ＝b，O→P ＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F ，B→E ，A→E ，E→F .
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解析： 如图所示，
设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D ，
则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.【答案】 B2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内【解析】 ∵AB→＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．【答案】 D3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 对于B ，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，4，－12，则n ·AP →＝(3，1，2)·⎝⎛⎭⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32在平面α内．【答案】 B4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.【答案】 D5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x ＝－10.【答案】 －107．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －328．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．【解析】 AB→＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)， AP→＝(x －4，－2，0)，由题意知A ，B ，C ，P 四点共面， ∴AP→＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1， 而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 11 三、解答题9.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且OE→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH→＋mEF →.求证： 【导学号：18490106】图3-2-6(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG→＝kOC →. 【解】 (1)由AC→＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG→＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD→－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC→∥EG →. (3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO → ＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG→＝kOC →. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量． 【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0，0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1，0，1)，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1，0，0)．∵AE →·D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝12－12＝0， 又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ， ∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量． [能力提升]1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A ．(4，2，－2)B ．(2，0，4)C ．(2，－1，－5)D ．(4，－2，2)【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.【答案】 D2．已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．是( )A ．(1，－4，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12 D ．(0，－1，1)【解析】 因为PM→＝(0，2，4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.【答案】 D3．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．【解析】 因为AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y .所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4)4.如图3-2-7，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由. 【导学号：18490107】图3-2-7【解】 分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0), 设E (0，y ，z )，则PE→＝(0，y ，z －1)， PD→＝(0，2，－1)， ∵PE→∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①∵AD→＝(0，2，0)是平面P AB 的法向量， CE→＝(－1，y －1，z )， ∴由CE ∥平面P AB, 可得CE→⊥AD →， ∴(－1，y －1，z )·(0，2，0)＝2(y －1)＝0， ∴y ＝1，代入①式得z ＝12.∴E 是PD 的中点， 即存在点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .。

D．－12
解析： 若 α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即 m·n
＝0，
即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得 x＝－10，故选 B. 答案： B
第十三页，编辑于星期五：十七点 十二分。
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第三章 空间向量与立体几何
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3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则 平面α的一个法向量为________．
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1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n＝
(－2,0,4)，则( )
A．l∥α
B．,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，
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4．如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE.
第十五页，编辑于星期五：十七点 十二分。
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∴l⊥α.
答案： B
第十二页，编辑于星期五：十七点 十二分。
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2．若平面 α，β 的法向量分别为 m＝(－1,2,4)，n＝(x，
－1，－2)，且 α⊥β，则 x 的值为( )
A．10
B．－10