2020年中考数学考点专题《几何综合题》
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专题八 几何综合题(必考)
针对训练
1. (2018北京)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.
(1)求证：GF＝GC；
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.
第1题图
2. (2014北京)在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图①；
(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明.
第2题图
综合训练
1. (2019海淀区二模)已知C为线段AB中点，∠ACM＝α.Q为线段BC上一动点(不与点B重合)，点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP.
(1)若α＝60°，k＝1，
①如图①，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
(2)如图②，当α＝45°时.探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由.
第1题图
2. (2019北京)已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝3＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.
(1)依题意补全图①；
(2)求证：∠OMP＝∠OPN；
(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明.
第2题图
3. (2017北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M. (1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.
第3题图
4. (2015北京)在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.
(1)若点P在线段CD上，如图①，
①依题意补全图①；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明；
(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可．以不写出计算结果．．．．．．．．)
第4题图
5. (2019北京黑白卷)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点(不与端点B、C重合)，点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG. (1)若AB＝72，当BE＝2时，求FG的长；
(2)用等式表示线段DF与FG的数量关系，并证明.
第5题图
6. (2019丰台区二模)如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(不与点B、C重合)，延长AE到点F，连接BF，且∠AFB＝45°，G为DC边上一点，且DG＝BE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM.
(1)依据题意，补全图形；
(2)求证：∠DAG＝∠MAB；
(3)用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明.
第6题图
7. (2019平谷区一模)在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于点P. (1)若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)求AB，BC，BD之间的数量关系；
(3)当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系.
第7题图
8. (2019平谷区二模)在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E，连接AD、BD.
(1)依据题意补全图形；
(2)当α＝20°时，∠ADC＝ °；∠AEC＝ °；
(3)连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；
(4)当0°<α<60°时，用等式表示线段AE， CD，DE之间的数量关系，并证明.
第8题图
参考答案
针对训练
1. (1)证明：如解图①，连接DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA＝DC＝AB，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
DF＝DC，DG＝DG，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，
∴GF＝GC；
第1题解图①
(2)解：线段数量关系：BH＝2 AE.
证明：如解图②，在线段AD上截取AM＝AE，连接EM.
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，
由(1)得∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ADC＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，
∴2∠2＋2∠3＝90°，
∴∠2＋∠3＝45°，
∴∠EDH＝45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90° ∴∠DHE＝45°，
∴DE＝EH，
∵∠DEH＝90°，∠A＝90°，
∴∠1＋∠AED＝90°，∠5＋∠AED＝90°，
∴∠1＝∠5，
第1题解图②
在△DME和△EBH中，
DM＝EB∠1＝∠5DE＝EH ，
∴△DME≌△EBH(SAS)，
∴ME＝BH，
∵∠A＝90°，AM＝AE，
∴ME＝2 AE，
∴BH＝2 AE.
2. 解：(1)补全图形如解图①所示；
第2题解图①
第2题解图②
(2)如解图②，连接AE，则∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB＝AD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝130°，
∴∠ADF＝25°； (3)线段数量关系：2AB2＝EF2＋FD2.
证明：如解图③，连接AE、BF、BD，AD与BF相交于点G.
由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFB(SSS)，
∴∠AEF＝∠ABF.
又∵AB＝AD，∴AD＝AE，
∴∠AEF＝∠ADF，
∴∠ABF＝∠ADF.
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠AGB＝90°.
又∵∠AGB＝∠FGD，
∴∠FGD＋∠ADF＝90°，
∴∠BFD＝90°.
∴根据勾股定理可得：BF2＋FD2＝BD2，
又∵AD2＋AB2＝BD2，且AD＝AB，
∴2AB2＝BD2.
∴2AB2＝EF2＋FD2.
第2题解图③
综合训练
1. 解：(1)①如解图①，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，
第1题解图①
∵∠ACM＝60°，
∴△ADC为等边三角形．
∴∠DAC＝60°.
∵C为AB的中点，Q为BC的中点， ∴AC＝BC＝2BQ.
∵BQ＝CP，
∴AC＝BC＝CD＝2CP.
∴AP平分∠DAC.
∴∠PAC＝∠PAD＝30°；
②PA＝PQ；
【解法提示】∵∠ACP＝60°，PC＝CQ，∴∠PQC＝∠CPQ＝30°，∴∠PAC＝∠PQC＝30°，∴PA＝PQ.
(2)存在k＝2 ，使得②中的结论成立．
证明：过点P作PC的垂线交AC于点D.
第1题解图②
∵∠ACM＝45°，
∴∠PDC＝∠PCD＝45°.
∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°.
∵CD＝2 PC，BQ＝2 PC，
∴CD＝BQ.
∵AC＝BC，
∴AD＝CQ.
∴△PAD≌△PQC(SAS).
∴PA＝PQ.
2. (1)解：补全图形如解图①所示；
第2题解图①
(2)证明：在△OPM中，∠AOB＋∠OMP＋∠OPM＝180°.
又∵∠AOB＝30°，
∴∠OMP＋∠OPM＝150°.
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN，
∴∠MPN＝150°，即∠NPO＋∠OPM＝150°.
∴∠OMP＝∠OPN；
(3)解：OP＝2.
