复变函数第一章答案

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. 习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）132i （2）(1)(2)iii

（3）131iii （4）8214iii

解：（1）1323213izi，

因此：32Re, Im1313zz，

1232, argarctan, 3131313zzzi

（2）3(1)(2)1310iiiziii，

因此，31Re, Im1010zz，

1131, argarctan, 3101010zzzi

（3）133335122iiiziii，

因此，35Re, Im32zz，

34535, argarctan, 232izzz

（4）82141413ziiiiii

因此，Re1, Im3zz，

10, argarctan3, 13zzzi

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）i （2）13i （3）(sincos)ri .

. （4）(cossin)ri （5）1cossin (02)i

解：（1）2cossin22iiie

（2）13i23222(cossin)233iie

（3）(sincos)ri()2[cos()sin()]22irire

（4）(cossin)ri[cos()sin()]irire

（5）21cossin2sin2sincos222ii

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1 第一章习题解答

（一）

1．设132iz，求z及Arcz。

解：由于3132iize

所以1z，2,0,1,3Arczkk。

2．设121,312izz，试用指数形式表示12zz及12zz。

解：由于64121,322iiizezie

所以()64641212222iiiizzeeee

54()146122611222iiiizeeeze。

3．解二项方程440,(0)zaa。

解：1244444(),0,1,2,3kiizaaeaek。

4．证明2221212122()zzzzzz，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()zzzzzz

2221212122Re()zzzzzz

所以2221212122()zzzzzz

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z1，z2，z3三点适合条件：0321zzz,1321zzz。证明z1，z2，z3是内接于单位圆1z的一个正三角形的顶点。

证 由于1321zzz，知321zzz的三个顶点均在单位圆上。

因为 33331zzz

212322112121zzzzzzzzzzzz

21212zzzz

所以， 12121zzzz，

又 )())((122122112121221zzzzzzzzzzzzzz

322121zzzz 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2 故 321zz，

同理33231zzzz，知321zzz是内接于单位圆1z的一个正三角形。

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精品 习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）132i （2）(1)(2)iii

（3）131iii （4）8214iii

解：（1）1323213izi，

因此：32Re, Im1313zz，

1232, argarctan, 3131313zzzi

（2）3(1)(2)1310iiiziii，

因此，31Re, Im1010zz，

1131, argarctan, 3101010zzzi

（3）133335122iiiziii，

因此，35Re, Im32zz，

34535, argarctan, 232izzz

（4）82141413ziiiiii

因此，Re1, Im3zz，

10, argarctan3, 13zzzi

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）i （2）13i （3）(sincos)ri

（4）(cossin)ri （5）1cossin (02)i.

精品 解：（1）2cossin22iiie

（2）13i23222(cossin)233iie

（3）(sincos)ri()2[cos()sin()]22irire

（4）(cossin)ri[cos()sin()]irire

（5）21cossin2sin2sincos222ii

1、 指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是

单连通域还是多连通域？ (1) 32z

(2) 31



z

(3) 31

3arg

4zz且；

(4) 21Imzz且；

解：（1） 该区域是有界多连通域，为下图阴影部分。

（2）该区域是无界多连通域，为下图阴影部分。

( 3 ) 该区域是有界单连通域，为下图阴影部分。

（4）该区域是有界单连通域，为下图阴影部分。 y

x 0 1

3 x y

0 1

3 y

x 0 2 3

2、 设











,0,0,0,

)(22

zz

yxyx

zf

试证)(zf

在0z

不连续。

证明： 若z沿直线kxy趋于0，则





2

02222

022

0,0,0,0,1limlimlimlim

kk

xkxkx

yxxy

zf

xxyxyx





，

因该极限随k的不同而不同，所以当

0,0,yx时，

zf的极限不存在。而根据

连续性的定义，只有当该极限存在并且极限值等于该函数在此处的函数值时，才

认为函数在该点处连续，所以说)(zf在0z不连续。

x y

0 2 i