专题01 第三章 函数的概念与性质(知识串讲)-

专题一函数的概念与性质（知识串讲）必备知识1.函数的概念设A，B是两个非空数集如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.5.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.6.函数的最值7.函数的奇偶性8.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.9.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.常用结论1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1()f x的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为()，()；单调减区间是[0)，(0].4.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).5.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.6.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1()f x，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1()f x，则T＝2a(a>0).7.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.典型例题考点一求函数的定义域【例1】 (1)(2020·湘潭模拟)函数y log 2(tan x －1)的定义域为________. (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝(2)1f x x -的定义域为________. 【答案】(1) ,14π⎛⎤⎥⎝⎦(2)[0，1)【解析】(1)要使函数y log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋2π(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且4π＋k π<x <k π＋2π，k ∈Z ， 可得4π<x ≤1. 则函数的定义域为,14π⎛⎤⎥⎝⎦.(2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足022,10,x x ≤≤⎧⎨-≠⎩解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.【训练】1．（2020·河北省唐山一中高二期中）函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C2．（2020·天津市耀华嘉诚国际中学高一期中）若函数(),y f x =的定义域是[0,4]，则函数()g x =）。

A ．(1,8) B ．(1,2)C ．(1,8]D ．(1,2]【答案】D【解析】由函数()y f x =的定义域是[0,4]，函数()g x =02410x x ≤≤⎧⎨->⎩解得(1,2]x ∈，故答案选D 。

考点二 求函数的解析式【例2】（2020·全国高一专题练习）（1）已知)1f x =-，则()f x ＝________；（2）已知函数()f x 是一次函数，若()()48ff x x =+，则()f x ＝________；（3）已知函数()f x 对于任意的x 都有()()212f x x f x --=+，则()f x ＝________. 【答案】()()2431f x x x x +≥＝－ ()823f x x =+或()28f x x =-- ()213f x x =- 【解析】（1）利用换元法或者配凑法求复合函数的解析式； （2）已知函数的性质和利用待定系数法求函数解析式； （3）利用方程组的方法求函数解析式. 【详解】（1）法一(换元法)：令1t ，则2(1)1t x t ≥，＝－， 代入原式有()()()2212143f t t t t t =---=-+， 所以()()2431f x x x x +≥＝－.故答案为：()()2431f x x x x +≥＝－.法二(配凑法)：21143))3141)f x ＝＋－＋＝－＋，11≥，所以()()2431f x x x x +≥＝－.故答案为：()()2431f x x x x +≥＝－.（2）设()()0f x ax b a ≠＝＋， 则()()2()()f f x f ax b a ax b b a x ab b ＝＋＝＋＋＝＋＋，又()()48ff x x ＝＋，所以248a x ab b x ＋＋＝＋，即248a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得283a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或28a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()823f x x =+或()28f x x =--. 故答案为：()823f x x =+或()28f x x =--.（3）由题意，在()()212f x x f x --=+中， 以x -代x 可得()()212f x x f x -=--，联立可得()()()()212212f x f x xf x f x x ⎧--=+⎪⎨--=-⎪⎩，消去()f x -可得()213f x x ＝－. 故答案为：()213f x x ＝－. 规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】1.（2020·陕西省西安一中高二期中（文））已知()y f x =是一次函数，且有[()]1615f f x x =-，则()f x 的解析式为______．【答案】()43f x x =-或()45f x x =-+ 【解析】由题意设()f x ax b =+()0a ≠，2(())()1615f f x a ax b b a x ab b x ∴=++=++=-，则21615a ab b ⎧=⎨+=-⎩，解得45a b =-⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=-⎩，()43f x x ∴=-或()45f x x =-+，故答案为：()43f x x =-或()45f x x =-+．2.（2020·贵州省凯里一中高一期中）已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，其图象过点()1,1-，且满足()()244f x f x x +=++，则()f x 的解析式为______. 【答案】22f xx【解析】根据题意可知1a b c ++=-，又()()222244a x b x c ax bx c x ++++=++++恒相等， 化简得到()()44244a b x a b c b x c ++++=+++恒相等，所以444241a b b a b c c a b c +=+⎧⎪++=+⎨⎪++=-⎩，故1a =，0b =，2c =-，所以()f x 的解析式为22f x x .故答案为：22f xx .考点三 分段函数 多维探究角度1 分段函数求值【例3－1】 （2020·山西省高三其他（理））已知函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】8.【解析】∵函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则1211()log 388f ==； ∴18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （3）＝32﹣1＝8.故答案为：8.角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】（2020·山西省高三月考（文））已知函数()22g x x x =-+，()()2g x f x x⎧⎪=⎨⎪⎩00x x ≥<，若()()1f a f a <+，则a 的取值范围为______.【答案】1,2⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】函数()()2g x f x x⎧⎪=⎨⎪⎩00x x ≥<的图象如图所示：当1a <-时，10a+<，所以()()()=2,121f a a f a a +=+， 因为()()1f a f a <+，所以()221a a <+，成立，此时，1a <-， 当10a -≤<时，0+11a ≤<，所以()()()()()2=2,11121f a a f a g a a a +=+=-+++， 因为()()1f a f a <+，所以()()22121a a a <-+++，成立，此时，10a -≤<， 当01a ≤≤时，1+12a ≤≤，所以()()()()()()()()22=2,111121f a g a g a a a f a g a g a a a ==-++=+=+=-+++，因为()()1f a f a <+，所以()()222121a a a a -+<-+++， 解得12a <，此时，102a ≤<，当12a <≤时，+12a >，所以()()()()()()()()22=2,111121f a g a g a a a f a g a g a a a ==-++=+=-+=+-+，因为()()1f a f a <+，所以()()222121a a a a -+<+-+， 即2210a a -->，解得12a +>或12a -<，此时，122a <≤，当2a >时，+13a >，所以()()()()()()()()22=2,111121f a g a g a a a f a g a g a a a =-=-+=+=-+=+-+，因为()()1f a f a <+，所以()()222121a a a a -<+-+， 即210a ->，解得12a >，此时，2a >，综上：a 的取值范围为11,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,22⎛⎫+⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】1.（2020·延安市第一中学高三月考（文））设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.【答案】[0,)+∞【解析】1x ≤时，1()22xf x -=≤，11x -≤，0x ≥，∴01x ≤≤，1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[0,)+∞． 故答案为：[0,)+∞．2.（2020·山东省高三其他）若函数()ln ,01,02x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】2 【解析】11()ln 1f e e ==-，111(())(1)()22f f f e -=-==. 故答案为：2.考点四 确定函数的单调性(区间)【例4】1.（2020·福建高一期中）已知函数f （x ）=log 0.5（x 2-ax +3a ）在区间[2，+∞）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,4]B ．[4,+∞)C ．(−4,4]D ．[−4,4] 【答案】C【解析】因为函数f(x)=log 0.5(x 2−ax +3a)在区间[2,+∞)是减函数，根据复合函数的性质可知，外层是递减，内层在定义域内递增，故a2≤2∴a ≤4∵4−2a +3a >0∴a >−4，综上可知实数a 的范围是(−4,4]，选C2.（2020·上海高一课时练习）求函数1()1f x x x =++的单调区间.【答案】增区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，减区间为[2,1)--和(1,0]- 【解析】由题意函数1()1f x x x =++的定义域为{|1}x x ≠-， 取11x ≠-，21x ≠-， 则()()()12121212121211()()1111x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=-- ⎪++++⎝⎭ ()()()()()()()()1212121212111111111x x x x x x x x x x ⎡⎤++-=--=-⋅⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦， 当212x x <<-时，120x x ->，()()12111x x ++>，()()121110x x ++->， 此时12())0(f x f x ->，12()()f x f x >，()f x 单调递增；当2121x x -<<<-时，120x x ->，()()120111x x <++<，()()121110x x ++-<， 此时12())0(f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 单调递减；当2110x x -<<<时，120x x ->，()()120111x x <++<，()()121110x x ++-<， 此时12())0(f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 单调递减；当210x x <<时，120x x ->，()()12111x x ++>，()()121110x x ++->， 此时12())0(f x f x ->，12()()f x f x >，()f x 单调递增； 综上，函数1()1f x x x =++的单调增区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，减区间为[2,1)--和(1,0]-. 规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 考点五 求函数的最值【例5】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C.2D.4(2)已知函数f (x )＝223,1,lg(1), 1.x x xx x ⎧+-≥⎪⎨⎪+<⎩则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________. 解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数， 所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6， 则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6， 即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2. (2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f [f (－3)]＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥－3，当且仅当x时，取等号，此时f (x )min ＝－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0. ∴f (x )的最小值为－3. 答案 (1)C (2)0－3规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练5】 1.(2020·邵阳质检)定义max{a ，b ，c ，}为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】画出函数M ＝{2x ，2x －3，6－x }的图象(如图)，由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22＝6－2＝4， 故M 的最小值为4.考点六 函数单调性的应用 角度1 利用单调性比较大小【例6－1】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f 52⎛⎫ ⎪⎝⎭.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例6－2】 (2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝2,0,1,0x x x -⎧≤⎨>⎩则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当210,20,2 1.x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或11,20.x x +≥⎧⎨<⎩解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例6－3】 已知f (x )＝(2)1,1,,1x a x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -- >0成立，那么实数a 的取值范围是________. 解析 对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.所以20,1,(2)11,a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.答案 3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.【训练6】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f 21log 5⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝f (log 2 4.1)，c＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b(2)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)由f (x )是奇函数，得a ＝－f 21log 5⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (log 25).又log 25>log 24.1>2>20.8，且y ＝f (x )在R 上是增函数，所以a >b >c .(2)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a ≤1，g (x )＝1ax +， g ′(x )＝－2(1)ax +，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立， 故有－a <0，因此a >0，综上可知0<a ≤1. 答案 (1)C (2)D考点七 判断函数的奇偶性 【例7】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝；(2)f (x )＝22,0,,0x x x x x x ⎧+<⎪⎨-+>⎪⎩【解析】(1)由223030x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩得x 2＝3，解得x ＝即函数f (x )的定义域为{，从而f (x )0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.【训练7】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin 2xB.y＝x2－cos xC.y＝2x＋12xD.y＝x2＋sin x【答案】D【解析】对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.考点八函数的周期性及其应用【例8】(1)(一题多解)(2020·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.解析(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 法二 取一个符合题意的函数f (x )＝2sin 2x π，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.(2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个. 答案 (1)C (2)7规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练8】 (1)(2020·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f 92⎛⎫- ⎪⎝⎭＝( )A.－34B.－14C.14D.34(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数，∴f 92⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－f 92⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，故f 92⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－f 92⎛⎫⎪⎝⎭＝－12 f 112⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－34.(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6. 答案 (1)A (2)6考点九 函数性质的综合运用 多维探究角度1 函数单调性与奇偶性【例9－1】 (2020·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]解析 因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数.故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4. 答案 B规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例9－2】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈502⎛⎫⎪⎝⎭，时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( ) A.2B.－18C.18D.－2(2)(2020·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝3π，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A.3πB. 23πC.πD.43π 解析 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)，∵f (x )是奇函数，且当x ∈502⎛⎫⎪⎝⎭，时，f (x )＝x 3－3x ，∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，故f(2 018)＝－2.(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2).∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝23π.答案(1)D(2)B规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练9】(1)(2020·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，那么t的取值范围是________.解析(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)＝f1lnt⎛⎫ ⎪⎝⎭，由f(ln t)＋f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.答案(1)2(2)1,1 e⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点十幂函数的图象和性质【例10】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()(2)若a＝2312⎛⎫⎪⎝⎭，b＝2315⎛⎫⎪⎝⎭，c＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c 解析(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝1 2 .所以y，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.(2)因为y＝23x在第一象限内是增函数，所以a＝2312⎛⎫⎪⎝⎭>b＝2315⎛⎫⎪⎝⎭，因为y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，所以a＝2312⎛⎫⎪⎝⎭<c＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，所以b<a<c.答案(1)C(2)D规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练10】(1)(2020·洛阳二模)已知点1,2a⎛⎫⎪⎝⎭在幂函数f(x)＝(a－1)x b的图象上，则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数(2)(2020·上海卷)已知α∈112112,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，，，，，，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.解析(1)由题意得a－1＝1，且12＝a b，因此a＝2且b＝－1.故f(x)＝x－1是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)不是单调函数.(2)由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0，取α＝－1.答案(1)A(2)－1获取资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库.。