新超混沌系统的动力学行为及自适应控制与同步

第15卷第4期2017年8月动力学与控制学报V〇1.15N〇.4 1672-6553/2017/15(4)/335-7 JOURNAL OF DYNAMICS AND CONTROL Aug.2017新超混沌系统的动力学行为及自适应控制与同步王贺元t尹霞(辽宁工业大学理学院，锦州121001)摘要分析了一个新混沌系统的超混沌动力学行为，给出了这个未知参数的超混沌系统的自适应控制和同步问题的数值模拟结果.运用相图、分岔图、Lyapunov指数谱和庞加莱截面图，返回映射和功率谱等揭示了系统混沌行为的普适特征，基于Lyapunov稳定性理论，采用自适应控制方法将系统的混沌运动控制到一个不稳定的平衡点.此外，设计自适应控制律以实现超混沌系统的状态同步，仿真结果表明所提出的方法的有效性.关键词超混沌系统，混沌控制，同步，Lyapunov稳定性D O I:10.6052/1672-6553-2017-002引言混沌系统是复杂的、类似于噪声的难以预测的 非线性确定性系统，对初始条件及其参数变化的高 度敏感性是它的一个显著特征，混沌广泛存在于物 理、化学、生物学、地质学，以及社会科学等各个学 科领域[1].然而，除了特殊应用需要混沌的效果外，在众多工程技术领域中需要改变混沌，因此，稳定 混沌系统到周期轨道或平衡点的控制问题被普遍 接受.混沌同步是使两个混沌系统以同步的方式振 动，两个混沌系统的动力学行为当初始条件接近时 最终达到相同，第二个系统被第一个系统驱动.许多 结果已经展示了如何在一定条件下实现混沌同步[2,3].同步混沌系统也有效地保证了创建安全的通 信系统[4_6].混沌系统的控制与同步在物理系统、激 光、等离子、电路、化学反应器、生态系统、生物系统 都有潜在应用，例如心肺相互作用、对帕金森病人的 大脑活动、太阳活动以及安全通信等方面均显示出 混沌控制与同步的应用潜力.由于这些潜在的应用 价值，在过去的几十年中科学家们一直致力于混沌 控制与同步方面的研究，因此，混沌控制与同步的各 种有效方法被陆续提出[l_l l].超混沌系统大多是非 严格反馈并不像只有一个正的L y a p u n o v指数的混 沌系统，超混沌系统具有多个正的L y a p u n o v指数, *2015-12-26收到第1稿，2016-10-01收到修改稿.*国家自然科学基金资助（11572146, 11526105)t通讯作者E-m ail: wangheyuan6400@ 这意味着,超混沌系统动力学在多个方向扩展，从 而形成比混沌系统更复杂的行为和丰富的动态.因 此，超混沌系统的控制与同步被认为比混沌系统的 控制与同步有更广泛的应用.基于此，研究人员一 直致力于实现超混沌控制与同步的目标[12_27].超 混沌的控制与同步提出了更多的挑战，因为他们比 混沌系统有更高的维度,表现出更复杂的动态，混 沌控制与同步中的有些方法已扩展到超混沌的控 制与同步领域，包括线性和非线性反馈控制与同 步[13，14，18，19,24,25]，自适应控制与同步[16,27]，b a ck-s te p p in g技术[12，17]，滞后控制与同步[20,21]，主动控 制[22]，脉冲同步[23]，滑模同步[26]，及皮科拉-卡罗 尔法[27].尽管固有的自适应控制技术，如前面所讨 论的众多优点，在超混沌的控制与同步中的应用还 没有得到充分的研究，大多数混沌控制方法仍无法 实现超混沌系统的稳定和混沌跟踪[17].本文中我们主要研究了一个不同于超混沌刘 系统[28]的新超混沌系统的动力学行为和数值模拟 以及控制与同步问题，我们工作的动机是探讨这 个新超混沌系统和超混沌刘系统的异同.这个新超 混沌系统的动力学行为和数值模拟以及控制和同 步问题还没有系统的研究过，根据李雅普诺夫稳定 性理论和自适应控制理论稳定超混沌系统到不稳 定平衡点，实现两个超混沌系统之间的同步.论文 安排如下.在第二部分，我们描述了此超混沌系统336动力学与控制学报2017年第15卷的动力学行为，给出了数值模拟结果.第三节我们研究新超混沌系统的稳定性，第四节我们讨论超混沌系统的同步，第五节我们提供数值模拟结果，最后一^节是结论.1新超混沌的动力学行为及其数值模拟考虑如下超混沌刘系统[28]0C= l(J~x)y-= mx-nxz+wV^2⑴z= -pz+hxW= -qx其中1，爪，^，3和h为常数参数.文献[28]给出了超混沌刘系统，讨论了当l= 10，m= 40，n= 1，p= 2.5，h= 4，q=10.6时系统的动力学行为.本文研究了当l= 8, m= 25, n= 2，jp= 4，h= 5时超混沌刘系统的动力学行为和数值模拟以及自适应控制与同步问题.对于 l= 8，m= 25，n= 2，jp= 4，h= 5，当q=18 时系统(1)有超混沌行为，在平衡点&(0,0,0,0)，系统(1)被线性化，对应的J a c o b ia n矩阵为：_-8800""-8800J 0=25-2 z0-2 x1_ 2500110 x0-40_00-40_ -18000_瓦0_-18000(2)利用A/-J。

= 0，得J a c o b ia n矩阵人的特征值为:A i=-18.9532A2= 10.2090A3= 0.7442A4= -4.000 (3)从（3)中我们看出有两个正的L y a p u n o v指数，因此，系统（1)是超混沌系统，并且五0(0,0,0,0)是 不稳定平衡点.这一段，我们研究当l= 8, m= 25, n= 2，jp= 4，h= 5时超混沌系统（1)的基本性质.1.1耗散性系统（1)流的散度 dX+ dJ+ dZ+dW= -1+ 0-JP=x J z w-(l+p)<0,因此，系统（1)是耗散系统，并且系统（1)的指数收缩率S d^=e-(l'因此，体积元素F在时间at广内通过流收缩成一个体积元素设-(叶).1.2混沌行为和数值模拟当l= 8，m= 25，n= 2，jp= 4，h= 5 时，系统（1)蕴含着丰富复杂的混沌动力学行为，图1〜8展示了系统（1)的各种吸引子.图9是q变化时状态变量x 的分岔图，图10是对应的最大L y a p u n o v指数.图 11，12显示了不同q值下系统（1)庞加莱映射，图13是返回映射，图14是功率谱，他们均表明了系 统（1)混沌特征.从分岔图9我们发现混沌区内有 变化很宽的拟周期轨道窗口，吸引环面、拟周期轨 道和极限周期在不同的q值交替出现，图5,6,8给出了几个准周期状态.图1奇怪吸引子(q = -50) 图2奇怪吸引子(q = -1)Fig.1 Strange attractors( q = -50) Fig.2 Strange attractors ( q = -1)图3奇怪吸弓丨子(q = -0.5) 图4奇怪吸弓丨子(q=10)Fig.3 Strange attractors ( q = -0.5) Fig.4 Strange attractors ( q =10)图5吸引环面(q = 35) 图6拟周期轨道(q = 55) Fig.5 Attracting torus(q = 35) Fig.6 Quasi -periodic orbit (q = 55)图7周期轨道(q = 56.4) 图8拟周期轨道(q=105) Fig.7 Periodic orbit( q = 56.4) Fig.8 Quasi-periodicorbit( q = 105)第4期王贺元等:新超混沌系统的动力学行为及自适应控制与同步337图9 g变化时状态变量％的分岔图Fig. 9 Bifurcation diagram of x with increasing q图11庞加莱映射(g = -5)Fig. 11 Poincare map(q =-5)图12庞加莱映射（q= 120)Fig. 12 Poincare map (q=120)图13返回映射(q=8)Fig. 13 Return map ( q = 8)图14功率谱(q=8)Fig. 14 Power spectrum ( q = 8)这些结果表明新超混沌系统的动力学行为与 超混沌刘系统非常不同，因此，这个超混沌系统的 控制与同步问题尤为重要.2超混沌系统的稳定为了控制带有未知参数的超混沌系统稳定到 不稳定的平衡点^，让我们假设的超混沌系统（1) 的动力学方程如下：X= Z(y_x)y- mx-nxz+w+u1^ =-pz+hx2+u2W- _q x+u3这里/，m，n，jp，q和h是未知参数，U i，％，^是设 计的控制器.我们选择如下的L y a p u n o v函数：F- y(x2+y2+z2+w2+P+m2+n2+jp2+q2+h2)其中 l—飞一l，m—m-m，n—n-n，p—p-p，q-q_q，h-h_h，2，汾，6，^，$，&是这些未知参数的估计值.F沿系统(4)的轨线关于时间的导数为：V - x l(y-x)+y(m x-nxz+w+u1)+z(-pz+h x2+u2)+w(-q x+u3)+l l+m m+n n+jp jp+q q+hh338动力学与控制学报2017年第15卷=(/ +m)x j~( l+r h)x j~x2-(l-1)x2+lx1—nxjz—j1—w1+7i xjz+yw—z1—(p-1) z2^p z2+h z x2—h z x2+ j2W2+_ZWi—^WX+&WX+WU3+l l+m m+7 7 +jj p+h hl(l+x2—x j)+fh(m—xj)+7( n+xjz)+p(p+z2)+h(h—zx2)q(•+wx)+(l-1 )x2ju,—n x z~+(m+l)x+jz[U2+hx2—(p—1)z]+w(U3—qx+w+j)—x2—j2—z2—w2控制器U|，U2，U3选择如下：u l= 7x z+(l—1)x2—(m+l)x—jjU2= —h x2+ (p—1)zU3= q x—w—j并且下列参数估计校正:I = —x2+x j—l，m= x j—i n，n= —x jz—7,•= —z2—p，h= zx2—h，q= —w x—qL y a p u n o v函数y关于时间的导数变为：(5)(6)(7)y=—x2—j2—z2—w2—l2—m2—72—p2—h2—q2<0显然在系统(4)零解的邻域内y是正定的，并 且^负定的，因此，基于L y a p u n o v稳定性理论，利 用控制器（6)和参数估计校正律(7)，控制系统(4) 能渐近收敛到不稳定平衡点£〇(0,0,0,0).3超混沌系统的同步这一部分，基于L y a p u n o v稳定性理论和自适应 控制理论，我们实现两个相同具有未知参数的超混 沌系统之间的同步.驱动系统和响应系统分别如下：x1=l(j「x1)j1=m x1—7^1之1+祕1j h2W.^1= —p z1+h x1w1=—qx1土2=K j2—x2)+U,j2=肌1尤2_71尤2之2+切2+以2z〗=-^1之2+"1尤22+“3IV2= —q1x2+U4其中l，m，7，p，q，h是驱动系统的未知参数，l h m i，71，P1，q1，h1是响应系统需要估计的未知参数，U,，U2，U3和U4是设计使得两个超混沌系统相互同步 的控制器.响应系统(9)减驱动系统(8)得到下列误差系统:61= l(j2—x2)+l(e2—e1)+U1e、=m x2+m€1—7x2:2—7x263—7z1e1+e4+U2'〜〜222(10)63= -pz〕-pe3+hx22+hx22-hx12+U364= —qx2—qe,+U4其中 e1=x2—x1，e2= j2—j1，e3= z2—z1，e4=w2—w1，并且l= l,—l，m= m,-m，7 = 7,一7，户_户1—p，q= q,—q，h= h.控制目标是找到方程（10)的控制器和参数估 计校正律，使得驱动系统和响应系统的彼此状态达 到全局渐近同步，我们得到如下结论.定理构造自适应控制器U,=—le2+ (l—1) e,U2= —^^1+7x263+72161—64—己2U3= (p—1) 63—h x22+h x12U4= q e1—64(11)其中 l=l1—l，m= m1—m，7 = 71—7，_p=户1—户，q= q1—q，h=h「h，和如下参数估计校正律:^1=—(j2—x2)61—lm1= —x262—fhr i1= x2z262—7‘〜（12)1= z2e3—P/l1= —x2263—hSi1= x264—q则驱动系统(8)和响应系统(9)将全局同步.证明选择下列L y a p u n o v函数：y=1(e|2+e22+e32+e42+l2+^h2+r2+_p2+h2+q2)，L y a p u n o v函数沿方程（10)的解关于时间的导数为：y= 61(^1+62<?2+63<^3+64(?4+ l l+^h7^ +77 +戶•+h h+q q=61 [l(j2—x2)+l(62—61)+U1]+62[/hX2+h€|—rX2Z2—7x263—7^161+64+U2]+63[-pz】-pe3+hx22+hx22-h x|2+u3]+64[—qx2—q61+U4]+ //1+T n T?i1+7r i1+/^1+h h1+qq1(13)第4期王贺元等:新超混沌系统的动力学行为及自适应控制与同步339把（11)和（12)代人（13)得：V=~e12~e22- e32-e42-~l2-fa2- h2-jd2~(j2-^2<0类似的，由于F为正定函数沙负定的，在控制器（11)和参数估计校正律（12)下，驱动系统（8)和响应系统(9)将达到全局渐近同步.4数值模拟这一部分，我们采用四阶龙格-库塔方法给出了一些数值算例，以验证所提出方法的有效性.在 数值模拟中，时间步长取0.001，参数选择1= 8, a= 25，h=2，p= 4，" = 5，g=18以确保超混沌系统 (1)存在混沌.算例1控制超混沌系统⑴到平衡点五0(0,0,0,0) 在图15中我们注意到系统（1)的状态变量X，y，^，^是不稳定的，但是当施加控制器"= [A%图16显示混沌系统在初始条件(x (0)，y(0)，z(0)，<0))= (2,2,2，-2)很快驱使到原点，而且误差估计为（l(0)，a(0)，h(0)，戶（0)，A(0) 々(0))= (0,0,0,0,0,0).同时，在图 17 中我们能看到当时控制器是有界的.without control law U图16状态变量(x，y，z，一的时间响应Fig. 16 Time history of the states (x，y，z，w)图17控制器作用^(0，％(〇，”（〇稳定平衡在&Fig. 17 Stabilizing equilibrium at E0of control actionsu1( t)，U2( t)，U3( t)算例2参数未知的超混沌系统的自适应同步 在这个例子的数值模拟中，我们考虑方程(8)和 (9)给出的系统.驱动系统和响应系统的初始条件取为(X1(0)，y1(0)，么1(0)，w1(0) )= (-1，-1，-1，-1)，(X2(0)，y2(0)，Z2(0)，W2(0))=(1，1，1，1).因此初始 误差为 e“0)= 2，e2(0)= 2，e3(0)= 2，e4(0)= 2,不 确定的参数选为（11(0)，叫（0)，1(0)，^(0)，"1(0)，心（0))=(8,25,2,4,5，18).图18〜20显示 了数值模拟结果，图18显示了驱动系统和响应系 统的时间演化，从中我们可以看出起始于不同条 件的两个超混沌系统是相互同步的.定义同步误差e(t)= V e^t h e^O+e^O+e/G)，图 19 显示了 其时间演化，显然误差信号渐近收敛于零.图20显 示了当 t—^ 参数时，^ (t)，(t)，h j t)，J^ (t)，^(t)，心(t)的估计值•我们能看到当t—^时不确 定参数的估计值收敛于l= 8，a= 25,h= 2,j d= 4,"=Fig. 18 State trajectories of state variables for drive systemand responsesystem340动力学与控制学报2017年第15卷图19关于时间《的误差e(〇Fig. 19 Time history of error e( t)--------丨冲-—m1(t)—n/t)---P/t) _-------------h/t) _---q/t)图20关于时间t的参数估计Fig. 20 Time history of parameter estimation5结论本文讨论了一个参数未知的新超混沌系统的 动力学行为和数值模拟以及自适应控制与同步问 题.基于相图，分岔图、L y a p u n o v指数谱、庞加莱截 面、功率谱和回归映射，在理论上和数值上研究了 该混沌系统参数9 一定范围内的动力学行为，实现 了超混沌系统稳定到不稳定的平衡点.此外，基于 L y a p u n o v稳定性理论和自适应控制理论实现了两 个相同的超混沌系统之间的同步.由于超混沌系统 具有复杂的动力学行为，因此，通过自适应控制技 术实现的超混沌系统同步是有实际意义的.参考文献1Y u X. 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