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热传导方程的差分解法

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热传导方程的差分解法

物理学中对热传导现象和扩散现象等物理过程的描述, 通常采用二阶偏微分方程, 统称

为热传导方程.

9.1. 热传导方程概述

一般而言, 在介质内部传导的热量与传热时间、传热截面及温度梯度成正比. 设t时刻,

点,,xyz处的温度为,,,uxyzt, 则t时间内通过S横截面积传导的热量为

,,,uQkxyzttSn

其中,,,0kxyzt, 是介质的热传导系数. un是温度沿S面的法向微商, 即温度梯度的

法向分量. 为讨论热传导的规律, 设在介质中任取一小区域V, 其边界面S为一封闭曲面.

现讨论自1t至2t时间内, 小体积V内热量变化的情况. 首先, 通过包面S传入V的热量为

211,,,ttSuQdtkxyztdsn

由矢量积分定理可得 211,,,ttVQdtkxyztudV

其中是哈密顿算子.

设介质的比热容为c, 密度为, 则V内温度变化所消耗的热量为

212ttVuQdtcdVt

设体积V内部热源密度为,,,Fxyzt, 其物理意义是, t时刻, 点,,xyz处, 单位体积

热源在单位时间内产生的热量. 所有内部热源产生的热量为 213,,,ttVQdtFxyztdV

由能量守恒定律, 即

213QQQ

可得

2110ttVuQdtckuFdVt

因为体积和时间都是任取的, 所以有

uckuFt (9.1)

式(9.1)称为各向同性介质有热源的热传导方程, 也叫做三维非齐次热传导方程. 为简单起见,

设介质是均匀的, 即c、和k都是常量. 再设体积V内无热源, 即,,,0Fxyzt, 则有 uckut (9.2)

式(9.2)称为各向同性介质无热源的热传导方程, 也叫做三维齐次热做传导方程. 其中是拉

普拉斯算子. 式(9.2)也可表示为 2222222uuuuatxyz (9.3) 其中2kac.

9.2. 一维热传导方程的差分解法

各向同性介质中无热源的一维热传导方程为 22220,0uuaatTtx (9.4)

其中T表明时间的有限范围. 要求解方程(9.4), 需要一定的初始条件和边界条件, 统称为定

解条件.

9.2.1 初值问题 ,0uxxx (9.5)

即初始时刻空间各点的温度颁布函数.

9.2.2 初、边值混合问题

初始条件为 ,00uxxxl (9.6)

0x和xl两端的边界条件有三种情况:

第一类边界条件 120,0,utgttultgt (9.7)

第二类边界条件 

1

20,

0,utgtxtTultgtx (9.8)

其中1gt、2gt为给定函数.

第三类边界条件 

11

220,0,0,,uttutgtxtTulttultgtx

 (9.9)

其中1、2、1gt、2gt为给定函数, 其中10, 20, 且不同时为零.

用差分方法求解偏微分方程式(9.4), 首先要建立差分格式. 通常取空间步长和时间步长

均为常量. 设空间步长为h, 时间步长为, 计算时的步序号空间用i表示, 时间用k表示.

定义一阶向前商近似为

1kkkiiiuuuxh

一阶向后差商近似为

1kkkiiiuuuxh 二阶中心差商作为二阶微商近似为 21122,2kkkiiiikuuuuxh (9.10)

对时间的一阶差分近似为 1

,kkiiikuuut (9.11)

将(9.10)和式(9.11)代入(9.4), 并令 22ah (9.12)

即可得一维热传导方程的差分格式为 111121,2,,10,1,,kkkkiiiiuuuuiNkM (9.13) 其中,lTNMh, “”表示取整.

定解条件为 

0

01211,2,,1

1,11,,1ikkNuihiN

ugkugkkM





差分公式(9.13)为显式格式, 可由初始条件和边界条件逐次计算出任一时刻各点的温度. 习

惯上把时刻计算的各点称为一层, 而计算则是一层一层进行的. 计算过程中层间各点的关系

如图9.1所示. 从图中可直观地看出, 1k时刻第i个点的值是由k时刻1i, i和1i三点

的值算出来.

由于初始条件和边界条件的误差及其计算中的舍入误差, 用式(9.13)计算出的值并非该

式的精确解kiu. 设计算值与其精确之间的误差为ki, 若当k增加时, ki有减小的趋势, 或

至少不增加, 则称其差分格式为稳定差分格式. 可以证明, 对于一维热传导方程, 差分格式

(9.13)为稳定差分格式的充分条件是 2212ah (9.14)

差分格式(9.13)计算的具体步骤如下: 1. 给定2,,,,alhT

2. 计算初始值: ,lTNMh, 计算22ha

3. 计算初始值:011,2,,1iuihiN;

计算边界值:0121,11,,1kkNugkugkkM

4. 用差分格式(9.13)计算1kiu.

泛定方程 2201,0uuxttx

初始条件 ,04101uxxxx

边界条件 0,001,0uttut

程序设计:

clear

%设置参数

lambda=1;

alpha=1/6;

L=1;

h=0.01;

T=0.6;

tao=alpha*h^2/lambda;

N=fix(L/h);

M=fix(T/tao);

%设置u矩阵及x的值

I=N+1;

K=M+1;

for i=1:I

x(i)=(i-1)*h;

end

u(I,K)=zeros;

%设置初始条件

u(:,1)=4.*x.*(1-x);

%设置左端第一类边界条件

u(1,:)=0;

%设置右端第一类边界条件

u(I,:)=0;

%计算矩阵u

for k=1:K

for i=2:I-1

u(i,k+1)=1/6*u(i+1,k)+2/3*u(i,k)+1/6*u(i-1,k);

end

end

%u；

for k=1:1000:K

plot(x,u(:,k),'-k','LineWidth',2)

hold on

end

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91

x/cmTCOaxis([0,1,0,1])

xlabel ('\fontsize{14}\bfx/cm')

ylabel ('\fontsize{14}\bfTC^O')

grid on 8.6 一维扩散方程的有限差分格式

8.6.1 隐式六点差分格式(C—N格式)

以下介绍一维扩散方程或热传导方程的有限差分解法, 考虑一维扩散方程的定解问题 





22max2

002

111

222,,0,0

,

0tuxtuxtaxltttxuxtuxkaucaubcxnuaubcxln (8.62)

取,xht进行离散化, 如图8.12所示, 结点坐标为 11,2,11,2,ikxihiNtkkK (8.63)

结点处的函数为,kikiuxtu. 在,12ik点, ut用中心差商,

22ux用,ik和,1ik两点的中心差商的平均值代替, 则(8.62)

中的偏微分方程变为 1111111121222kkkkkkkkiiiiiiiiuuuuuuuuh(8.64) 引入212211,1,1aPPPhPP, 将上式中的含1ku项移至等号左边, 将含ku项移至等

号右边, 式(8.64)变为 11111112122kkkkkkiiiiiiuPuuuPuu (8.65)

上式表明由k时的值可求得1k时的u值, 但要解联立方程组, 所以这种差分格式是隐式的.

整个方程涉及到六个点处的u值, 所以称为隐式差分格式, 又称为Crank_Nicolson格式, 简

称C_N格式, 误差为22OOh, 是无条件稳定的.

8.6.2 边界条件的差分格式

由式(8.62)知, 一维扩散方程的边界条件为



111

22200uaubcxnuaubcxan (8.66)

在x轴上设置两个虚格点0i和1iN(见图8.13). 用中心差商代替.66)中的un, 则

得



111021

221122

2NNNbauuuchbauuuch (8.67)

由式(8.67)解出

011111222uhcbhaubu

t

1k

k

O1ii1ix图8.12

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求解对流扩散方程的ICT—MMOCAA差分解法

求解对流扩散方程的ICT—MMOCAA差分解法

２００２年６月　高等学校计算数学学报　第２期　

求解对流扩散方程的　

ＩＣＴ—ＭＭＯＣＡＡ差分解法’　

由同顺　

（南开大学数学学院，天津３０００７１）　

ＴＨＥ　ＩＣＴ—ＭＭＯＣＡＡ　ＤＩＦＦＥＲＥＮＣＥ　ＭＥＴＨＯＤ　ＦＯＲ　ＴＨＥ　

ＣＯＮＶＥＣＴＩＯＮ　ＤＩＦＦＵＳＩＯＮ　ＥＱＵＡＴＩＯＮ　

Ｙｏｕ　Ｔｏｎｇｓｈｕｎ　

（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｋａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎｇ　３０００７１）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｃｏｍｂｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｄｅａｓ　ｏｆ　ＦＣＴ［　’。］ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ＭＭＯＣＡＡＥ　．ｔｈｅ　ＩＣＴ—ＭＭ０一　

ＣＡＡ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｐｏｒｔ　ｉｓ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ，ｉｓ　

ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｆｏｒ　ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｐｏｓ—　ｓｅｓｓｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌ　ＦＣＴ　ｓｃｈｅｍｅｓ　ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ｆｒｅｅ　ｆｒｏｍ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ，ｗｉｔｈ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｓｏｌｖｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ＭＭＯＣＡＡ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ（≥２）Ｌａｇｒａｎｇｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　．Ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｎ［３］　

ｉｓ　ｏｎｌｙ　ｓｕｉｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｄｉｆ—　ｆｅｒｅｄ　ｆｒｏｍ［３］ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　ｏｂｔａｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　

一类热传导方程区域分解简易算法

一类热传导方程区域分解简易算法

第３８卷第２期　２０１２年６月　延边大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎｂｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．３８　Ｎｏ．２　Ｊｕｎｅ　２０１２　文章编号：１００４—４３５３（２０１２）０２—０１００—０４　

一类热传导方程区域分解简易算法　

尹永学，　朴光日　（延边大学理学院数学系，吉林延吉１３３００２）　

摘要：讨论了一类求解一维热传导方程区域分解的简易算法．首先采用４阶精度显格式计算子区域间的内界　点值，然后采用０一ｓｃｈｅｍｅ在各子区域并行地求出内点值．利用最大值原理得到了误差估计式，并通过具体算　例给出了非区域分解情形和区域分解情形下的误差．结果表明，所得数值算法简单方便，适用于精度要求不高　的并行计算．　关键词：一维热传导方程；区域分解；有限差分；并行计算　中图分类号：０２４１．８２　文献标识码：Ａ　

Ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｈｅａｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＹＩＮ　Ｙｏｎｇ—ｘｕｅ，ＰＩＡＯ　Ｇｕａｎｇ—ｒｉ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙａｎｂｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｊｉ　１３３００２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉＨｅｒｅｎｃｅ　ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ａｎ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｉｎｎｅｒ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｏｌｖｅｄ　ｉｎ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｕｓｉｎｇ　０－ｓｃｈｅｍｅ．Ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｉｓ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｂｙ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ａｎｄ　ｅｒｒｏｒｓ　ｏｆ　ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｃａｓｅ　ａｎｄ　ｎｏｎ　ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｃａｓｅ　ａｒｅ　ｓｈｏｗｎ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ｒａｐｉｄ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｏｆ　ｌｏｗ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｈｅａｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ；ｐａｒａｌｌｅｌ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　

热传导方程的C-N格式区域分解方法及其稳定性分析

热传导方程的C-N格式区域分解方法及其稳定性分析

第３３卷第２期　’１．３３　Ｎｏ．２　唐山师范学院学报　ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｎｇｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ　２０１１年３月　Ｍａｒ．２ｏｌｌ　

热传导方程的Ｃ．Ｎ格式区域分解方法及其稳定性分析　

任丽丽　，朱少红２，赵凤柱３　

（１．天津师范大学数学科学学院，天津３００３８７；２．南开大学数学科学学院，天津３０００７１；　

３．中国人民武装警察部队学院，河北廊坊０６５０００）　

摘要：基于Ｃ．Ｎ格式提出了热传导方程区域分解的并行差分方法。该方法在子区域的边界处采用古典显格　

式计算，在子区域内部使用Ｃ－Ｎ格式进行求解。对算法进行了稳定性分析，得到稳定性条件为ｒ＜ｌ。　关键词：热传导方程；区域分解；Ｃ．Ｎ格式　中图分类号：Ｏ２４１．８２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－９１１５（２０１１）０２－００３６－０３　

Ｄｏｍａｉｎ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ　Ｓｃｈｅｍｅ　ａｎｄ　

Ｉｔｓ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　Ｈｅａｔ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＲＥＮ　Ｌｉ．．．１ｉ，ＺＨＵ　Ｓｈａｏ．ｈｏｎｇ２，ＺＨＡＯ　Ｆｅｎｇ．ｚｈｕ３　

（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３００３８７，Ｃｈｉｎａ；２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｎｋａｌ　

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３０００７１，Ｃｈｉｎａ；３．Ｔｈｅ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｐｅｏｐｌｅ’Ｓ　Ａｒｍｅｄ　Ｐｏｌｉｃｅ　Ｆｏｒｃｅ　Ａｃａｄｅｍ￣Ｌａｎｇｆａｎｇ　０６５０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ，ａ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｈｅａｔ　ｅｑｕｍｉｏｎ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂｙ　ｄｏｍａｉｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．１’ｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ａｔ　ｔｈｅ　ｓｕｂｄｏｍａｉｎ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅｓ　ａｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｓｃｈｅｍｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｗｉｔｈｉｎ　ｔｈｅ　●　●　ｓｕｂｄｏｍａｉｎ　ａｌｅ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ　ｂｙ　Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ．Ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ａｎａｌｙｓｉｚｅｄ　ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｓ　ｒ＜１　

热传导方程的Crank-Nicolson差分解在边界附近的变化研究

热传导方程的Crank-Nicolson差分解在边界附近的变化研究

第３８卷第１期　２０１　７年５月　（　ｊ　ｔ　ｏ　一１－　＿３８　新疆大学学报（自然科学版）　．５　一２０１７　

１６７１—５２３３（２０１７）０１—０１６—０７：　．）　＾Ｊ　

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热传导方程的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ差分解在边界附近的变化研究　

娜扎开提・阿迪力，伊马木・麦麦提，阿布都热西提・阿布都外力　摘要：用Ｃｒａｎｋ．Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式求热传导方程第一类初边值问题的近似解时，发现绝对　稳定的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式在边界附近出现振动。本文中讨论了振动的发生原因及提出了　控制振动的一种方法，并通过数值实验分析了该方法的可行性，得到了较好的结果。　关键词：热传导方程；Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式；插值多项式　Ａ：　Ｊ　．　Ｌ－ｏ　Ｏ２４１：　ｕ　．）　，　ｊ　Ｌ　

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