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线性代数期末练习试卷

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《线性代数》练习
一、选择题

1．12021kk的充分必要条件是( )。

(A) 1k (B) 3k (C) 1k 且3k (D) 1k或3k
2．若AB＝AC，当（ ）时，有B＝C。
(A) A为n阶方阵 (B) A为可逆矩阵
(C) A为任意矩阵 (D) A为对称矩阵

3．若三阶行列式Maaaaaaaaa333231232221131211，则333231232221131211333333333aaaaaaaaa（ ）。
(A) －9M (B) 9M (C) 27M (D) －27M
4．齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxx有非零解，则a应满足（ ）。

(A) 0a； (B) 0a； (C) 1a； (D) 1a．
5．设12,是Axb的两个不同的解，12,是0Ax的基础解系，则
Axb
的通解是（ ）。

(A) 11212121()()2cc (B) 11212121()()2cc

(C) 11212121()()2cc (D)
1121212

1
()()2cc

二．填空题（每题3分共15分）
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A·BT = 。
7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则| 5AB | = 。

| ( AB )-1 |= 。

8. 在分块矩阵A=BOOC中，已知1B、1C存在，而O是零矩阵，则
1A
。
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9．设D=7345327254321111,则44434241AAAA 。
10. 已知35)(2xxxf，，3312A则)(Af= 。
11．设矩阵A=123235471，则A的秩R(A)= 。
三．计算题
12. 设111111111A，123124051B，求32ABA.

13．计算行列式 121212123xnxnDxnx.
14．解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0xxxxxxxxxxxx.
1
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5．解矩阵方程AXBX，其中01011111,2010153AB.
16．a取何值时，线性方程组12312312311xxxaaxxxxxax有解, 并求其解.
17. 设A为3阶矩阵，,21A求.5)2(*1AA
18. 设,321011330A,2BAAB求B.

19.设3351110243152113D，D的),(ji元的代数余子式记作ijA，求
.22334333231AAAA

20.设有线性方程组321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx，问取何值时，此方程组（1）有惟
一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解
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21.求向量组,)4,1,2,1(1T ,)4,10,100,9(2T T)8,2,4,2(3的秩，并
求一个最大无关组.

22.求非齐次方程组6242163511325432143214321xxxxxxxxxxxx的一个解及对应的齐次方程组的
基础解系.

23.求矩阵201034011A的特征值和特征向量.
四．证明题
24. 设向量组321,,线性无关，证明以下向量组线性无关：

112 ，322，313


.

25．设n阶矩阵A满足224AAIO.证明：A可逆并求1A.

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线性代数期末测试题

线性代数期末测试题

姓名 准考证号 科目 线性代数 试点院校 青岛理工大学（临沂）说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 设A 为m×n 矩阵，B 为n×m 矩阵，m ≠n, 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是（ ） A. B T A T B. A T B T C. ABA D. BAB2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ）A.-15B.-6C.6D.15 3. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |=（ ）A.(-5)n |A |B.-5|A |C.5|A |D.5n |A | 4. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321,则|A *|=（ ）A.-4B.-2C.2D.45. 向量组α1，α2…，αS （s>2）线性无关的充分必要条件是（ ） A. α1，α2，…，αS 均不为零向量B. α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例C. α1，α2，…，αS 中任意s-1个向量线性无关D. α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 6. 设3元线性方程组Ax =b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解， η1+η2=(2,0,4)T ，η1+η3=（1，-2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax =b 的通解为（ ） A.(1,0,2)T +k (1,-2,1)T B.(1,-2,1)T +k (2,0,4)T C.(2,0,4)T +k (1,-2,1)TD.(1,0,2)T +k (1,2,3)T7. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A. E-A B. -E-A C. 2E-A D. -2E-A8. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于（ ） A.41B.21 C.2 D. 49. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111 10.二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分） 11. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =____ ______.12. 设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则AP T= . 13. 设A 是4×3矩阵，秩（A ）=2，若B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020201，则秩（AB ）=___ ___.14.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α2111，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α1212，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α113t 的秩为2，则数t =__ _____.15. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t =__ ______.16. 已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的2重特征值，则A 的另一特征值为____.17. 已知向量α=(2，1，0，3)T ，β=(1,-2,1,k )T , α与β的内积为2，则数k = .18. 设向量α=)21,21,(b T为单位向量，则数b=___ __.19. 二次型f (x 1,x 2,x 3)=32212322212452x x x x x x x +--+的矩阵为 .20. 已知二次型f (x 1,x 2,x 3)=(k +1)21x + (k -1)22x + (k -2)23x 正定，则数k 的取值范围为 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =401030100211111的值. 22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103， （1）求A 的逆矩阵A -1； （2）解矩阵方程AX=B .23. 设向量α=(1，-1，-1，1)，β=（-1，1，1，-1）,求（1）矩阵A =αT β; （2）A 2。

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。

<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。

<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。

则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。

<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。

< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。

<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。

<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。

则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。

<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。

< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。

( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。

< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。

2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。

答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。

答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。

答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。

答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。