全等三角形培优竞赛训练题verygood
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全等三角形培优竞赛训练题
1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.
你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?
D 图1
D
图
2 图3
D
2、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF . 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A
D
F
C G
E B
图1
A
D
F C G
E B 图2 A
D
F
G
E B
图3
3、已知Rt ABC △中,90AC BC C D ==︒,∠,为AB 边的中点,90EDF ∠=°,
EDF ∠绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F . 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时(如图1),易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△.
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
A
E
C F B D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A D
B
C
E 图2
F
4、在ABC △中,2120AB BC ABC ==∠=,°,
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△,交AC 于点E ,11A C 分别交
AC BC 、于D F 、两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段1EA 与FC 有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,当α30=°时,试判断四边形1BC DA 的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求ED 的长.
A
D
B
E
C
F 1A
1C
A
D
B
E
C
F 1A
1C
5、如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,
△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(4分)
(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.(6分)
图9 图10 图11
6、点C 为线段AB 上一点,△ACM, △CBN 都是等边三角形,线段AN,MC 交于点E ,BM,CN 交于点F 。求证:
(1)AN=MB.
(2)△CEF 为等边三角形。
(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立?(只回答不证明),
(4)AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化,(只回答不证明)。
A B
A
B
7、问题:已知ABC △中,2BAC ACB ∠=∠,点D 是ABC △内的一点,且AD CD =,BD BA =.探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值. 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明. (1)当90BAC ∠=︒时,依问题中的条件补全右图. 观察图形,AB 与AC 得数量关系为________;
当退出15DAC ∠=︒时,可进一步推出DBC ∠的度数为_______; 可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________.
(2)当90BAC ∠≠︒时,请你画出图形,研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与(1)
中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
C B A
图1D C B A
8、直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠.
(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF
AF -(填“>”,“<”或“=”号);
②如图2,若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ;
(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明.
A
B C
E F
D
D
A B C
E F A
D
F
C E
B
图1
图2
图3