2.微积分基本定理
如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'
()()F x f x =，那么
()()()
b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
３.求定积分的方法
（1)利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.
例如:
2
30
(1-2sin
)2d π
θ
θ⎰注:3
2
2
()3x x '=,(-cos )sin x x '=
②分段函数，分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时,计算的
基本思路就是用分段函数表示被积函数,以去掉绝对值符号,然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算)
1．计算积分⎰---3
22|32|dx x x
解1. 由于在积分区间]3,2[-上,被积函数可表示为
⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.
31,)32(,
12,32|32|2
2
2x x x x x x x x 所以
⎰
---3
2
2|32|dx x x 13)32()32(3
1
212
2=-----=⎰⎰---dx x x dx x x ．
(２）利用定积分的几何意义求定积分
如定积分
1
20
14x dx π
-=
⎰
,其几何意义就是单位圆面积的1
4。
（课本Ｐ60 B 组第一题） (３）利用被积函数的奇偶性
ａ. 若()f x 为奇函数，则()0
a
a f x dx -=⎰；
b. 若()f x 为偶函数，则0()()a a
a f x dx f x dx
-=⎰⎰2；其中0a >。
例题:1.2
352
2(+5x )0
x dx -=⎰
（同步训练P ３2 第3题）
2.
a
a
a
(cos -5sin 2)(cos -5sin )24a
a
a
x x x dx x x x dx dx a
---+=+=⎰
⎰⎰
３） (2007枣庄模拟)已知f （ｘ)为偶函数,且6
()8
f x dx =⎰，则6
6
()f x dx
-⎰等于( B ）
A.0 Ｂ.4 Ｃ.8 D.16 (同步训练Ｐ3０ 第6题）
4.利用定积分求曲边多边形的面积
在直角坐标系中，要结合具体图形来定：
方法总结:求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1)画出图形,（2）求出交点的横坐标.定出积分的上、下限；
(1)();
(2)()();
(3)()()()();
(4)[()()]b
a
b
b
a
a c
b
c
b
a
c
a
c
b
a
S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx
==
=-=+=-=-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置；
（4)写出平面图形面积的定积分的表达式;(５）运用微积分基本定理计算定积分，求面积.
5.定积分在物理中的应用 （1）变速直线运动问题
如果作变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是()()()0v v t v t =>,那么物体从时刻()t a t b a b ==<到所经过的路程为:
()b
a s v t dt =⎰
（2）变力做功问题
()b
a
W F x dx =⎰
巩固练习：
1.由直线x y e x y 2,,0===及曲线x
y 2
=所围成的封闭的图形的面积为（ )
A.2ln 23+ B ．3 C ．322-e Ｄ.e 2.由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==所围成的平面图形（图中的阴影部分)的面积
是 .
3．在平面直角坐标系xOy 中，由直线0,1,0x x y ===与曲线x y e =围成的封闭图形的面积
是 . 4.曲线0,,2y y x y x ==
=-所围成的封闭图形的面积为 ．
５．由直线x=-
3π，x ＝3
π
，y=０与曲线y ＝cos ｘ所围成的封闭图形的面积为 ． 6.曲线1xy =与直线y x =和3y =所围成的平面图形的面积为____＿__＿_. 7.
2
20
4x dx -=⎰
.
８.曲线2
y ＝ｘ与y ＝2x 围成的图形的面积为＿_＿____＿_＿_＿＿_.
巩固练习答案:
1.B
1
21010
1
22|2ln |123e
e xdx dx x x x
+=+=+=⎰
⎰
，故选B ． ２.222-
故4400
222
(cos sin )2(sin cos )|2(
1)22222S x x dx x x π
π
=-=⋅+=⋅+-=-⎰
３.1e - ４．
10
3
4
4
33244
2
20
220
2
210(2)(2)423
233x S xdx x dx x
x =--=--=⨯-=⎰
⎰.
5.3
６．4ln3-
则所求区域面积为()131131334ln 3S dx x dx x ⎛⎫
=-+-=- ⎪⎝
⎭⎰⎰ 3,3()
13,3()
1,1()
O
y
x
y=3
y=
1x
y=x
