椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解

偏微分方程中的边值问题偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，它描述了物理、工程、生物等学科中许多实际问题的数学模型。

在解决偏微分方程的过程中，边值问题（Boundary Value Problem，简称BVP）扮演着重要的角色。

本文将探讨在偏微分方程中的边值问题及其解决方法。

一、边值问题的定义在求解偏微分方程时，我们通常需要给定一些额外的条件，这些条件被称为边界条件或边值条件。

边值问题是指在解偏微分方程时，除了给出方程本身外，还给出了在某些边界上的条件限制。

通常边界包括定解区域的整个边界以及初始时刻的条件。

二、常见类型的边值问题1. 狄利克雷边值问题狄利克雷边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的函数值。

具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，狄利克雷边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上的值，即f(x)=g(x)，其中f(x)是方程的解，g(x)是边界条件给定的函数。

通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足狄利克雷边值问题的解。

2. 诺依曼边值问题诺依曼边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的法向导数。

具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，诺依曼边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上法向导数的值，即∂f/∂n = h(x)，其中f(x)是方程的解，h(x)是边界条件给定的函数。

通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足诺依曼边值问题的解。

3. 罗宾边值问题罗宾边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的线性组合形式，即同时给定了边界上的函数值和法向导数的线性组合。

具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，罗宾边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上函数值和法向导数的线性组合，即f(x) + ∂f/∂n = k(x)，其中f(x)是方程的解，k(x)是边界条件给定的函数。

通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足罗宾边值问题的解。

偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，其在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

然而，对于大多数偏微分方程而言，很难通过解析方法得到精确解，因此需要借助数值解法来求解。

本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常见且直观的偏微分方程数值解法。

其基本思想是将偏微分方程中的导数通过差分近似来表示，然后通过离散化的方式转化为代数方程组进行求解。

对于一维偏微分方程，可以通过将空间坐标离散化成一系列有限的格点，并使用中心差分格式来近似原方程中的导数项。

然后，将时间坐标离散化，利用差分格式逐步计算每个时间步的解。

最后，通过迭代计算所有时间步，可以得到整个时间域上的解。

对于二维或高维的偏微分方程，可以将空间坐标进行多重离散化，利用多维的中心差分格式进行近似，然后通过迭代计算得到整个空间域上的解。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种重要的偏微分方程数值解法。

其基本思想是将求解区域分割成有限数量的子区域（单元），然后通过求解子区域上的局部问题来逼近整个求解区域上的解。

在有限元法中，首先选择适当的形状函数，在每个单元上构建近似函数空间。

然后，通过构建变分问题，将原偏微分方程转化为一系列代数方程。

最后，通过求解这些代数方程，可以得到整个求解区域上的解。

有限元法适用于各种复杂的边界条件和几何构型，因此在实际工程问题中被广泛应用。

三、谱方法（Spectral Methods）谱方法是一种基于特定基函数（如切比雪夫多项式、勒让德多项式等）展开解的偏微分方程数值解法。

与有限差分法和有限元法不同，谱方法在整个求解区域上都具有高精度和快速收敛的特性。

在谱方法中，通过选择适当的基函数，并利用其正交性质，可以将解在整个求解区域上展开为基函数系数的线性组合。

偏微分方程是数学中的一大重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。

其求解方法可以分为解析解法和数值解法。

解析解法要求方程具有可积性，适用于一些简单的方程，但是对于复杂的方程往往无法得到解析解。

而数值解法通过将方程离散化，利用数值计算方法得到数值解，是一种弥补解析解法不足的重要手段。

在高等数学中，偏微分方程数值解法主要包括差分法、有限元法和有限差分法。

其中，差分法是最早应用于求解偏微分方程的数值方法之一。

差分法通过将偏微分方程中的导数用差商的形式来近似表示，将连续的问题转化为离散的问题，再通过计算机程序来进行求解。

差分法的优点是简单易懂、计算速度快，适用于一些较为简单的偏微分方程。

但是差分法的精度受到离散化步长的影响，不适用于一些对精度要求较高的问题。

有限元法是一种更为广泛应用的偏微分方程数值解法。

有限元法通过将求解区域分割成有限多个小区域，用简单形状的基函数来逼近真实解，再通过求解线性方程组得到数值解。

有限元法的优点在于适用于复杂的几何形状、能够处理不规则的边界条件，并且精度较高。

有限元法还具有较好的可扩展性，可以处理大规模的求解问题。

因此，有限元法在工程领域的应用非常广泛。

有限差分法是一种通过计算导数来逼近微分方程的数值解法。

有限差分法基于泰勒展开公式，将微分算子在某点处的展开为有限多个导数的差商的线性组合。

通过将微分算子离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，再通过求解方程组来得到数值解。

有限差分法的优点在于简单易懂，计算速度较快。

但是由于差商的导数逼近误差，有限差分法的精度受到离散化步长的影响，需要选择合适的步长来保证精度。

总的来说，高等数学中的偏微分方程数值解法是研究偏微分方程数值计算的一大热点和难点。

不同的数值方法适用于不同的问题，需要根据具体情况来选择适合的数值方法。

在求解偏微分方程时，还需要注意数值误差对结果的影响，并通过适当选择离散化步长和网格数量等参数来提高数值解的精度。

随着计算机技术的发展，偏微分方程数值解法将会越来越广泛地应用于实际问题的求解中。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名：学号：班级：2013年11月19日二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题.课本上已经给出了相应的差分方程。

而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式.以及对系数进行赋值。

解决完这个问题之后.我在利用matlab 解线性方程组时.又出现“out of memory ”的问题。

因为99*99阶的矩阵太大.超出了分配给matlab 的使用内存。

退而求其次.当n=10.h=1/10或n=70.h=1/70时.我都得出了很好的计算结果。

然而在解线性方程组时.无论是LU 分解法或高斯消去法.还是gauseidel 迭代法.都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程 差分方程 out of memory LU 分解 高斯消去法 gauseidel 迭代法一、题目重述解微分方程：()()2222((,))((,))()(,)()(,)(,)1y x x x y y x y yxxyxye u x y e u x y x y u x y x y u x y u x y y e x e e y x e--+++-+=-++++已知边界:(0,)1,(1,),(,0)1,(,1)y x u y u y e u x u x e ====求数值解, 把区域[0,1][0,1]G =?分成121/100,1/100h h ==.n =100 注：老师你给的题F 好像写错了.应该把22x y y e x e +改成22y x y e x e +。

二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明()()22221y x xy xy y e x e e y x e -++++2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为：举一个例子：当i=2,j=3时.；当i=3,j=3时.。

但是.显然这两个不是同一个数.其大小也不相等。

几何中完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题
完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题（Elliptic Boundary Value Problem,EBVP）是指给定一组椭圆偏微分方程与与之相对应的斜边式的边值问题，求其满足原问题的解。

完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题可以定义为：给定椭圆偏微分方程utt + f (u, ux, uxx) = 0，给定斜边式u(x,0) = φ(x)，uxt(x,0) = ψ(x)，求解u(x,t) 使其满足这一问题。

解答：
由椭圆偏微分方程及其斜边式的边值条件，可以建立一组完全非线性的非线性方程组，使其满足椭圆偏微分方程和斜边式的边值条件，然后利用定性理论来解决这一问题。

最终可以通过极值方法、Hausdorff方法、双缓存法或其他数值方法来求解解析解。

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称椭圆型方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级信计0902
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

有限元法与偏微分方程的数值解法在现代科学技术中，物理和工程问题通常涉及到方程的解析解。

然而，有很多复杂的问题，没有精确的解析解。

在这些情况下，我们可以使用数值方法来解决问题。

其中，有限元法（Finite Element Method，FEM）被广泛应用于求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的数值解法。

有限元法是一种数值解法，用于解决连续介质（如固体、液体和气体）的差分方程。

它通常涉及将整个计算域分成许多小区域，称为有限元。

这些有限元被视为形状简单的几何单元（如三角形、四边形、六边形等），并且为每个元素分配了未知值。

在有限元方法中，偏微分方程被转换为一个离散方程，其中未知数在局部有限元中定义。

该方法通常涉及将初始有限元网格粗略地分配到整个计算区域，以构建数值解的近似值。

我们可以使用数学方法，如高斯消元法或迭代方法，来求解这个离散的线性系统。

有限元方法在许多领域中发挥着重要作用，包括结构力学、流体力学、电磁学、信息学和生物工程等。

它可以用于求解几乎所有类型的PDE，例如：椭圆、双曲和抛物型等。

在有限元方法中，解取决于网格的精度。

对于较小的网格，精度较高，但计算时间较长；反之亦然。

因此，在选择网格时需要进行权衡。

此外，一个好的网格应该是稳定的，能够保证数值解的收敛性和精度。

一些常见的有限元方法包括：显式和隐式欧拉方法、二阶Runge-Kutta 方法和高阶方法等。

这些方法主要涉及将初始条件和边界条件应用到整个计算区域。

作为一种广泛使用的数值解法，有限元法已经成为许多计算机辅助工程计算软件的主要工具，例如有限元分析软件 ANSYS 等。

此外，计算机的性能提高了许多，使得我们能够处理更多的网格和更大的计算域。

结论有限元法是一种强大的数值解法，可用于求解广泛的物理和工程问题。

然而，对于不同的应用，有不同的适用条件和精度要求。

因此，在设计计算方案之前，需要进行仔细的分析和权衡，以确保最终的数值解具有良好的收敛性和精度。

偏微分方程的解析解与数值解分析偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具。

在处理偏微分方程时，我们通常需要找到其解析解或数值解。

本文将对偏微分方程的解析解和数值解进行分析。

解析解是指能够以某种符号表达形式表示的方程解。

对于某些简单的偏微分方程，我们可以使用变量分离、特征线等方法来求得其解析解。

解析解的优点是可以直接揭示物理现象背后的数学规律，能够提供深入的洞察和直观的解释。

通过解析解，我们可以获得解的性质、稳定性和渐近行为等重要信息。

然而，对于大多数偏微分方程而言，求解其解析解是非常困难甚至不可能的。

这时，我们就需要求解其数值解。

数值解是使用数值计算的方法来逼近偏微分方程的解。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。

有限差分法是最常用的数值方法之一。

它将偏微分方程的区域划分为网格，并在网格上用差分格式逼近偏微分方程的导数。

通过求解差分格式的代数方程组，可以得到数值解。

有限差分法具有简单易实现、适用范围广的特点，但也存在精度低、收敛慢等问题。

有限元法是另一种常用的数值方法。

它通过将偏微分方程的区域划分为有限个元素，并在每个元素上用插值函数逼近未知解。

通过构建元素刚度矩阵和载荷向量的代数方程组，可以求得数值解。

有限元法具有适用范围广、精度较高的特点，适用于处理具有复杂几何形状的问题。

谱方法是一种基于函数空间展开的数值方法。

它将偏微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，并通过求解系数来得到数值解。

谱方法具有高精度、快速收敛的特点，适用于处理光滑解的问题。

但需要注意的是，谱方法对问题的几何形状和边界条件要求较高。

除了以上几种数值方法外，还有许多其他的数值方法可以用来求解偏微分方程。

选择适当的数值方法需要考虑问题的性质和要求，以及计算的效率和精度等因素。

对于求解偏微分方程的数值方法，我们需要进行数值稳定性和收敛性的分析。

数值稳定性是指数值方法在计算过程中对误差和扰动的敏感性。

一个数值方法如果不稳定，即使初始条件和边界条件非常小的扰动也可能导致数值解的爆炸性增长。

偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。

然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。

本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。

一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。

例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。

将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。

有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。

二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。

例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。

数学中的偏微分方程数值求解偏微分方程（Partial Differential Equations，缩写为PDE）是描述物理世界中各种现象的基本方程，具有深刻的理论意义和广泛的应用价值。

而PDE通常很难求出精确解，因此数值求解PDE的方法成为了研究的热点。

本文将介绍常见的PDE数值求解方法，并重点介绍有限元法和有限差分法这两种方法的基本原理和实现过程。

一、常见的PDE数值求解方法在数值求解PDE的方法中，常见的有：有限元法、有限体积法、有限差分法、谱方法等。

有限元法是一种通过将区域离散为多个小区域，按照一定规则选取形状简单的基函数，以线性方程组的形式求解的方法。

它的优点在于计算精度较高且适用于任意形状的区域。

有限元法在工程领域应用广泛，在结构分析、流体力学、电磁场等领域都有广泛的应用。

有限体积法则是对区域进行离散，将区域分成多个小体积，根据守恒原则以物质的通量为关键，对偏微分方程进行离散求解的方法。

它的优势在于准确地保持了守恒原理，不会因为离散误差而失去守恒性质，适用于非结构网格，尤其适用于具有多孔介质的流体动力学问题。

有限差分法将问题的解空间和时间直接离散化为网格点，把偏微分方程中的导数用差分代替，然后将差分方程组求解转化为线性方程组求解。

有限差分法是最古老和最简单的数值方法之一，但是它也有着广泛的应用领域，如热传导、流体力学、波动现象等。

谱方法将问题离散化为一组未知的函数系数，利用这些未知函数的生成规则和边界条件求解偏微分方程的方法。

谱方法最大的优点在于计算精度高且无须网格，适用于高维问题和非线性问题，但是计算速度相对较慢，实际应用上较少。

二、有限元法基本原理和实现过程有限元法是一种基于离散方法的数值分析工具，它利用局部基函数来近似解的形式，将解空间分为有限数量的部分进行离散化。

其基本思想是将区域划分为小的有限元，每个有限元内采用简单的基函数进行近似。

有限元方法在实际应用中，可以分为以下的六个步骤：1. 描述问题：从实际问题出发建立所求解的PDE方程，确定边界和初值条件等。

设计（20 届）椭圆型偏微分方程的求解及其应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：本文叙述了椭圆型偏微分方程的历史背景，阐述了相关概念，如什么是偏微分方程，椭圆型偏微分方程以及几种定解问题的概念。

弹性力学中的平衡问题，位势场问题，热传导中的温度分布等实际应用问题都可用椭圆型方程的定解问题来描述。

本文还讨论了求解椭圆型偏微分方程的定解问题的几种基本方法，如分离变量法、积分变换法、差分法，最后综述了这三种方法的适用性和特点。

关键字：偏微分方程；椭圆型；分离变量法；积分变换法；差分法Solution of Elliptic Partial Differential Equation and ItsApplicationAbstract: This thesis describes the historical background of elliptic partial differential equation and the related concepts, such as what partial differential equation and elliptic partial differential equation are and several concepts of the solution of problems. The balance of elasticity, the potential field problems and the temperature distribution of heat conduction in the practical application are available to the solution of elliptic equation to describe the practical problems. This thesis also discusses several basic ways to solve the solution of problems of the elliptic partial differential equation, for instance, the method of separation of variables, integral transformation method and difference method. And at the end of this thesis, it summarizes the applicability and features of the three methods above.Key Words: partial differential equation; elliptic; the method of separation of variables; integral transformation method; difference method目录1 引言 (1)2 基本概念的介绍 (2)2.1 偏微分方程的基本概念 (2)2.1.2 定解条件和定解问题 (3)2.2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简 (3)2.3 典型方程 (5)3 椭圆型偏微分定解问题的几种基本解法 (6)3.1 分离变量法 (6)3.1.1 预备知识 (6)3.1.2 分离变量法求解定解问题的具体步骤 (7)3.1.3 具体应用（用分离变量法求解） (7)3.2 积分变换法 (9)3.2.1 傅里叶积分变换 (9)3.2.2 具体应用（用积分变换法求解） (11)3.3 差分法 (13)3.3.1 化微分方程为差分方程 (13)3.3.2 边值问题的差分逼近 (16)3.3.3 差分解的存在、唯一性和收敛性 (18)3.3.4 椭圆型差分方程的求解——逐次超松弛法 (19)3.4 总结 (21)4 致谢 (22)参考文献 (23)1 引言数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分积分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系[1]。