《集合》教学中数形结合与分类讨论思想的渗透

课程篇数学思想在“集合”中的运用曹振财（陕西省商南县高级中学）一、数形结合思想用数形结合思想解题具有直观性、灵活性和深刻性的特点，有较强的综合性.在“集合”中加强这方面的学习和训练，是巩固数学知识、打好基础、提高能力的重要一环.例1.已知集合且U=｛x∈N+︳x≤10｝，A⫋U，B⫋U，且A∩B=｛4，5｝，（C U B）∩A=｛1，2，3｝，（C U A）∩（C U B）=｛6，7，8｝，求集合.分析：本题已知条件较多，用推理的方法求解不如用Venn图将已知条件尝试在图中标出，用填图的方法来解决，直观形象，易于理解.由上图可得：A=｛1，2，3，4，5｝，B｛4，5，9，10｝.点评：Venn图是集合的一种表示方法，在解决一些抽象集合或集合元素是离散的有限集合问题时，用Venn图形象直观、易于理解，要注意把握并善于运用这种数学思想.二、分类讨论思想分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到不重不漏，其实质是将整体问题转化为部分来解决，从而增加题设条件，实现化整为零，化繁为简的目的.例2.已知集合A=｛x︳ax2+2x+1=0，a∈R｝①若A中只有一个元素，求a的值.②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.分析：关键是要明确分类标准.解：①应根据a是否为0分两种情况进行讨论：i）当时a=0时，A=｛-12｝符合题意.ii）当时a≠0时，Δ=4-4a=0，即a=1∴a=0或a=1②A中至多只有一个元素,也包括两种情形：i）A中只有一个元素，由①知：a=0或a=1；ii）A中没有元素，此时应有a≠0Δ=4-4a<0，得a>1{∴a的取值范围是a≥1，或a=0点评：利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题，在“集合”里经常用到分类讨论思想.三、化归与转化思想化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题转化为简单问题，将较难问题转化为较易问题，将未解决问题转化为已解决问题.常用的转化方法有：一般与特殊的转化，繁与简的转化，命题的等价转化，构造转化等.例3.设集合求的值组成的集合A=｛x︳x2-3x+2=0｝，B=｛x︳2x2-ax+2=0，x∈Z｝，若A∪B=A，求a的值组成的集合.分析：由A∪B=A得B⊆A，分情况讨论求解.解：A=｛1，2｝，由A∪B=A得B⊆A，①当B=Ø时，满足B⊆A，此时方程2x2-ax+2=0无解，即Δ=a2-16<0解得-4<a<4②当B=Ø时，A=｛1，2｝.将x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4，此时B=｛1｝，符合题意；将x=2代入方程2x2-ax+2=0得a=5，此时B=｛2，12｝，不符合题意，应舍去.故a的值组成的集合为｛a︳-4<a≤4｝.点评：在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如A⊆B⇔A∩B =A⇔A∪B=B.四、交集思想、并集思想、补集思想1.交集思想：当一个数学问题是求同时满足若干个条件P1，P2，P3，…A n的解时，如果把满足各条件的对象表示成集合，则其交集M=A1∩A2∩A3∩…∩A n中的元素就同时满足问题的每个条件，就是这一数学问题的解集.2.并集思想：当一个数学问题需要分到若干种情况讨论时，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1∩A2∩A3…A n，则P=A1∪A2∪A3∪…∪A n就是这个问题的解集.3.补集思想：已知全集∪，求子集A时，若直接求困难，可先求C U，再由C U（C U A）=A求A.这种“正难则反”的解题方法，运用的就是补集的思想方法.例4.已知全集∪，集合H=｛x︳x2-4px+2p+6=0｝，Q=｛x∈R︳x<0｝全集U中p的取值可使集合H中的方程有两解.若H∩Q≠Ø，求实数p的取值范围.分析：若直接从H∩Q≠Ø入手，则集合H中的方程x2-4px+ 2p+6=0至少有一个负根，此时不易求解，故可从H∩Q≠Ø入手.解：设全集∪=｛p︳Δ=（-4p）2-4（2p+6）≥0｝=｛p︳p≤-1，或p≥32｝当H∩Q=Ø时，方程x2-4px+2p+6=0的两根x1，x2均非负，由韦达定理得：Δ≥0x1+x2=4p≥0解得p≥32x1x2=2p+6≥0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐因｛p︳p≥32｝关于∪的补集为｛p︳p≤-1｝.故所求实数p的取值范围是｛p︳p≤-1｝.点评：本题正是运用了“补集思想”，这种“正难则反”的解题原则，有时很有用.•编辑温雪莲193--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

数学思想之“集合思想”在小学数学教学中的渗透王艳日本数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。

”小学数学思想方法是对知识有本质的认识，从方法论的角度来研究小学数学中分析问题、思考问题的方法。

在小学数学教学中，教给学生数学知识的同时，要重视挖掘知识发生、形成和发展运用过程中所蕴藏的数学思想方法，不失时机地渗透数学思想方法，指导学生运用数学思想方法科学的思考问题，培养学生探索规律、解决问题的能力，从而促进学生数学素质的提高。

集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一，早已渗透至各国的基础数学教育中，同时也是当前新一轮基础教育改革的关于数学的指导性思想之一。

本文就以集合思想为重点，探究这一数学思想方法在小学数学教学中如何渗透，如何运用集合思想来解决数学问题。

一、集合思想的内涵和历史：把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想是由德国数学家康托在19世纪创立的，它成为现代数学的基础。

二、集合思想如何在小学数学教学中逐步渗透：集合是现代数学基本概念之一。

在小学数学教学中运用集合思想去分析问题，有利于学生加深对数学知识的理解和掌握。

教师适当讲授一些集合论的基本知识，加深学生对某些数学知识的理解，这对提高数学教学质量都是十分重要的。

但是，集合论毕竟是一门较为抽象的数学理论，如在小学阶段过多地讲授抽象的概念，势必对教学带来很大困难。

我国现行小学数学教材中采取“渗透”的方法，命题本身既体现了集合思想，又避免了教师过多地去讲，这对提高学生认识客观世界事物之间的基本数量关系，发展他们的认识能力、思维能力，都具有十分重要的现实意义。

例如：教材在认数前就出现了反映日常生活中一些常见事物的集合。

浅谈集合思想在小学数学教学中的渗透集合是数学中的一个重要基础概念，而“集合思想”是指在问题和事物处理过程中，先将其组织为一个集合，再进一步进行研究和分析的思考方式和方法。

在小学数学教学中，集合思想的渗透不仅可以提高学生的思维能力，还可以激发学生对数学学习的兴趣。

一、集合的基本概念集合是指无序的、互不相同的元素所组成的整体。

在数学上，用大括号{}将元素列出来表示一个集合，如A={1,2,3,4}。

利用集合，可以将不同的对象简单分类，使一些数学问题简单化，并且可以方便地表示对数学对象的各种操作。

在小学数学教学中，我们可以利用集合的概念，帮助学生区分数量概念，还可以利用集合的交、并、差、补等运算，来解决一些实际问题，提高学生的数学思维能力。

1.算术运算在小学数学教学中，我们常常要使用算术运算来解决实际问题，而使用集合可以帮助学生进行分类，简化问题，提高解题效率。

例如，有7个人吃水果，他们吃了苹果、香蕉、橙子三种水果中的一种或多种，若有5人吃了苹果，3人吃了香蕉，有2人既吃了苹果也吃了香蕉，则问吃了橙子的人数有多少个？我们可以使用集合的交、并、差运算进行分析，令A表示吃苹果的人数，B表示吃香蕉的人数，C表示吃橙子的人数。

根据题意，可得：A+B+C=7A=5，B=3，A∩B=2则有：C=7-(A+B)=7-5-3= -1显然，C<0。

意思是橙子既不在A集合中，也不在B集合中，所以我们可以用全集减去A、B集合的并集得到未吃橙子的人数，则有：AUB={1,2,3,4,5,6,7}；AUB-(A∩B)={1,2,3,4,6,7}则未吃橙子的人数为4个。

上述例题利用集合的运算，帮助学生简单对问题进行分类，避免了混乱的数据，提高了解题效率。

2.推理和思维集合思想的运用，可以提高学生的推理和思维能力。

例如让学生解决如下一道数学题目：小红家买了一箱爱国者牌脆饼干，这些饼干包装上标注有“海盗船形、星空图案、条纹图案、横杆形、十字路口形、蓝色大海图案”等图案，其中每个饼干包装都恰好标注一种图案。

小学数学教学中集合思想的有效渗透【摘要】小学数学教学中集合思想的有效渗透是提高学生数学思维能力和解决问题能力的重要途径。

本文从引言、正文和结论三个部分展开，首先介绍了集合思想在小学数学中的重要性和本文的目的。

在详细阐述了小学数学集合思想的内涵、引入方法、教学策略以及应用案例和实际效果。

结论部分再次强调了集合思想在小学数学教学中的重要性，并对未来教学实践提出启示，展望了集合思想在小学数学教学中的发展前景。

通过本文的阐述，读者可以深入了解集合思想在小学数学教学中的重要作用，为教学实践提供指导和启示。

【关键词】小学数学教学、集合思想、内涵、引入、教学方法、策略、应用案例、实际效果、重要性、未来教学实践、发展前景、启示、重要性再强调1. 引言1.1 小学数学教学中集合思想的重要性在小学数学教学中，集合思想是一种重要的数学思维方式，它有助于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和综合分析能力。

集合是数学中的一个基本概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在现实生活中有许多实际情景。

通过学习集合思想，小学生可以更好地理解数学概念，提高解决问题的能力，培养自己的逻辑思维和创造力，提高学习效率。

在小学数学教学中，引入集合思想不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们对数学的兴趣和热爱。

小学数学教学中集合思想的重要性不可忽视，它能够促进学生的全面发展，提高他们的综合素质，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。

1.2 本文的目的和意义本文的目的在于探讨小学数学教学中集合思想的有效渗透，帮助教师更好地理解和运用集合思想，提高教学质量。

集合思想是数学基础概念之一，对培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题能力具有重要作用。

通过深入研究和实践，可以帮助教师更好地指导学生，引导他们掌握数学知识的本质和规律，培养数学思维方式，提升数学学习的效果。

本文的意义在于深入挖掘集合思想在小学数学教学中的应用和价值，为教师提供有效的教学方法和策略，促进学生对数学的深层理解和掌握。