第八章二元一次方程组1. 知识总结一、二元一次方程组1．二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
2．二元一次方程组定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、二元一次方程组的解法1．一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决两种消元方法：代入消元法、加减消元法2．书中没有的几种解法(1) 加减-代入混合使用的方法.例: 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解: (2)-(1)，得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)，得13(y-1)+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以: x=1,y=2特点: 两方程相加减，出现单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元.(2) 换元法例：(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4解:令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6, n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1, y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程，这也是换元主要原因。
(3) 另类换元 例： x:y=1:45x+6y=29 解：令x=t, y=4t方程(2)可写为：5t+6*4t=2929t=29 t=1所以x=1,y=4三、二元一次方程组的应用 1．列方程（组）解应用题 具体步骤： (1)审题：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么. (2)设元（未知数）： ①直接未知数 ②间接未知数 一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解. (3)用含未知数的代数式表示相关的量.(4)寻找相等关系，列方程. 一般地，未知数个数与方程个数是相同的. (5)解方程及检验； (6)答.2．应用题的常见题型及数量关系： (1)行程问题：路程＝速度×时间 (2)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间 (3)浓度问题：溶质＝溶液×浓度(4)利率问题：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数 (5)利润问题：利润＝成本×利润率，利润＝售价－成本 (6)价格问题：总价＝单价×数量(7)水流问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度 此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、…2. 练习题一. 选择题1．在方程组⎩⎨⎧+==-1312z y y x 、⎩⎨⎧=-=132x y x 、⎩⎨⎧=-=+530y x y x 、⎩⎨⎧=+=321y x xy 、 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1111y x yx 、⎩⎨⎧==11y x 中，是二元一次方程组的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 2．若992213y x y x yx n n m m =⋅++-,则n m 43-的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.63．如图，中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2↑↓60cm4．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（ ）A. 400 cm 2B. 500 cm 2C. 600 cm 2D. 675 cm 25．三个二元一次方程2x+5y —6=0，3x —2y —9=0，y=kx —9有公共解的条件是k=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解, 则a c 与的关系是( )A.49a c +=B. 29a c +=C. 49a c -=D. 29a c -= 7．若x 、y 均为非负数，则方程6x =-7y 的解的情况是（ ） A.无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解D.不能确定8．已知方程组⎩⎨⎧-=+=-135b y ax y x 有无数多个解，则a 、b 的值等于（ ）A. a=-3,b=-14B. a=3,b=-7C. a=-1,b=9D. a=-3,b=149．若方程组 2313,3530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩ 的解是8.3,1.2,a b =⎧⎨=⎩ 则方程组2(2)3(1)13,3(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.3,2.2x y =⎧⎨=⎩ B.8.3,1.2x y =⎧⎨=⎩ C.10.3,2.2x y =⎧⎨=⎩D.10.3,0.2x y =⎧⎨=⎩10．解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，一学生把c 看错而得⎩⎨⎧=-=22y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==23y x 那么a 、b 、c 的值是（ ）A.不能确定B.a ＝4，b ＝5，c ＝－2C.a 、b 不能确定，c ＝－2D.a ＝4，b ＝7，c ＝2 二. 填空题 1．方程组()1602111x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解是 .2．如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = . 3．若x +y =a ，x -y =1同时成立，且x 、y 都是正整数，则a 的值为 . 4．方程|a |+|b |=2的自然数解是 .5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为63和36两部分，则它的腰长是_________，底边长为___________.6．若x 3m －3－2y n －1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．7．若方程组4311 3.x y ax a y +=⎧⎨+-=⎩，（）的解x 与y 相等，则a =________.8．孔明同学在解方程组2y kx by x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12=-⎧⎨=⎩x y ，又已知直线=+y kx b 过点（3，1），则b 的正确值应该是 ．9．一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍.根据这些信息，这群学生共有 人.10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文x y z ，，对应密文23343x y x y z ++，，．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为 ．三. 解答题1．a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x ay x 的解是正数？2．若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z+---的值.3．解方程组（1）⎩⎨⎧=+=+887.53.41127.43.5y x y x （2）⎩⎨⎧=--+=++-20)5(8)7.0(527)7.0(5)5(20x y y x（3）1:14:3)4(:)(:)6(=+-+-y x y x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+==8432523z y x zy x4．解方程组5．如果方程组⎩⎨⎧=+=-b y ax y x 72和方程组⎩⎨⎧=+=+83y x aby x 有相同的解，求a ，b 的值6．对于ｋ、ｂ的哪些取值，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y bkx y 至少有一组解？7．已知方程12x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为41x y =⎧⎨=⎩．8．小明用8个一样大的矩形(长acm ，宽bcm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形；图案甲的中间留下了边长是2cm 的正方形小洞．求(a+2b)2－8ab 的值．9．某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．（1）一月份销售收入为 万元，二月份销售收入为 万元，三月份销售收入为 万元；（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？10．用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
把③带入②，得 6(5-y)+13y=89y=39/7 把y=59/7带入③,x=5-59/7 即 x=-24/7-*-x=-24/7二元一次方程组知识点归纳-解题技巧汇总-练习题及答案1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1.像这样的方程叫做二元 1次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组。
注意:一元一次方程组不一定都是由两个一元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或乡个二元一次方程^^独组成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2 •有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12@ 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作'方程有两个相等的实数根")，所以此类方程组有无数组解。
一般解法、消元：将方程组中的未知数个数由多化少•逐一解决。
消元的方法有两种:代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出來，再代入另 一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
例：解方程组x+y=5®6x+13y=89②解：由①得 x=5-y@1 •有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7为方程组的解3・无解 如方程组x+y=4①2x+2y=10②,相矛盾•所以此类方程组无解。
因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①解 2x=14 即 x=7 2为方程组的解把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2 x=7 yn用加减消元法解二元一次方程组的解6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适 当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即"乘” O7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即4’加 减” O8、 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“'解” °9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即 “回代”。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、知识点归纳在代数学中，二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的。
通常表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。
1. 方程组解的类型二元一次方程组的解可以分为以下三种类型：a) 有唯一解：方程组中的两个方程可以通过消元法或代入法得到唯一解。
b) 无解：方程组中的两个方程无法通过消元法或代入法得到一致的解，此时方程组为矛盾方程组。
c) 无穷解：方程组中的两个方程可以通过消元法或代入法得到多个解，此时方程组为同解方程组。
2. 消元法消元法是求解二元一次方程组的常用方法，它的基本思路是通过变换方程式，将两个方程中的一个未知数消去，从而得到只含有一个未知数的方程，再通过代入法求解。
以下是消元法的步骤：a) 将两个方程中的同一未知数系数相等，若系数不等，则可通过乘法变换，使其相等；b) 将两个方程式相减，将其中一个未知数消去，得到只含有另一个未知数的方程；c) 求解得到该未知数的值；d) 将求得的未知数的值带入其中一个方程，求解得到另一个未知数的值。
3. 代入法代入法也是求解二元一次方程组的有效方法，它的基本思路是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，再将其代入另一个方程进行求解。
以下是代入法的步骤：a) 选择一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，比如设x = g(y)；b) 将该式子代入另一个方程，得到只含有一个未知数的方程；c) 求解得到该未知数的值；d) 将求得的未知数的值带入其中一个方程，求解得到另一个未知数的值。
二、解题技巧1. 观察方程组特征：通过观察方程组的系数和常数项，判断方程组的解类型。
当系数和常数项满足某种特定条件时，可以直接判断方程组的解类型，避免不必要的计算。
例如，当两个方程的系数比例相同，而常数项不同时，方程组无解；当两个方程的系数和常数项都相等，方程组有无穷解。
初一数学二元一次方程知识点总结一、二元一次方程的概念。
1. 定义。
- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
例如：x + y=5，其中x、y是未知数，方程中x的次数是1，y的次数也是1，并且整个方程是整式方程。
2. 二元一次方程的一般形式。
- 一般形式为ax + by=c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。
例如2x - 3y = 8就是这种形式，这里a = 2，b=-3，c = 8。
二、二元一次方程组的概念。
1. 定义。
- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如x + y=3 2x - y = 1就是一个二元一次方程组。
2. 二元一次方程组的解。
- 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，通过求解可得x=(4)/(3)，y=(5)/(3)，((4)/(3),(5)/(3))就是这个方程组的解，即把x=(4)/(3)，y=(5)/(3)代入方程组中的两个方程都成立。
三、二元一次方程组的解法。
1. 代入消元法。
- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，由方程x + y=3可得x = 3 - y。
- 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
把x = 3 - y代入2x - y = 1，得到2(3 - y)-y = 1。
- 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
解2(3 - y)-y = 1，6-2y -y=1，- 3y=-5，y=(5)/(3)。
- 将求得的这个未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
把y=(5)/(3)代入x = 3 - y，得x=(4)/(3)。
2. 加减消元法。
- 步骤：- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
