《3.1.2 特征值与特征向量的求法》习题1

《3.1.2 特征值与特征向量的求法》教案3教学目标1. 让学生能够熟练的运用特征值和特征向量的求法2. 认真分析问题的方法，可以独立解决问题教学重难点掌握并且运用特征值和特征向量的求法教学过程1 特征值与特征向量的定义及性质定义1：设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。

若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE -A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。

定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。

性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。

证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-Aξ=ξ即有1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ+101111x a x a xa n n +++--证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 0111+++-- )ξ = n n A a ξ+ 11--n n Aa ξ+… +E a 0 ξ=nn a λξ+11--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明：设 A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则由题设条件知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111∴a 是A 的特征值2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=A λλ （ⅱ）求出A E -λ的全部根（ⅲ）把特征值i λ 逐个代入齐次线性方程组()0=A -E χλi 并求它的基础解系，即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量。

矩阵特征值与特征向量的求法1. 什么是矩阵的特征值和特征向量？矩阵是线性代数中的一种重要概念，它由行和列组成的二维数组。

在矩阵运算中，特征值和特征向量是非常重要的概念。

特征值（eigenvalue）是一个标量，表示线性变换在某个方向上的缩放因子。

一个方针的特征值是该线性变换在该方向上对原始向量进行缩放或拉伸的倍数。

特征向量（eigenvector）是与特定特征值相关联的非零向量。

它表示在某个方向上进行线性变换后不改变其方向，只改变其长度。

2. 特征值与特征向量的定义设A为n阶矩阵，如果存在数λ和非零列向量x使得Ax = λx则称λ为矩阵A的一个特征值，称x为对应于λ的一个特征向量。

3. 求解矩阵的特征值和特征向量要求解矩阵A的特征值和对应的特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤1：求解特征方程特征方程是一个关于λ的多项式方程，可以通过以下公式得到：det(A - λI) = 0其中，A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。

步骤2：解特征方程将特征方程化简后，可以得到一个关于λ的代数方程。

解这个方程即可得到矩阵A的特征值。

步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。

求解过程可以使用高斯消元法或其他方法。

4. 示例假设有一个2x2的矩阵A：A = [[a, b], [c, d]]我们想要求解这个矩阵的特征值和对应的特征向量。

步骤1：求解特征方程根据步骤1，我们需要计算det(A - λI) = 0。

其中，A - λI = [[a-λ, b], [c, d-λ]]det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = 0化简上述等式得到一个二次多项式关于λ：λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) = 0这就是特征方程。

步骤2：解特征方程通过求解特征方程，我们可以得到矩阵A的特征值。

步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。

第四章 矩阵的特征值和特征向量例1 求下列矩阵的特征值与特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，并判断它能否相似对角化。

若能，求可逆阵P ，使∧=-AP P 1（对角阵）。

例2 已知三阶方阵A 的三个特征值为4,3,2-，则1-A 的特征值为_______，TA 的特征值为_______，*A 的特征值为_______，E A A 232+-的特征值为_______例3 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，则y x ,应满足条件_______ 例5 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10200002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x 例6 设n 阶方阵A 满足0232=+-I A A ，求A 的特征值例7 已知向量T k )1,,1(=ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k例8 设A 为非零方阵，且0=mA (m 为某自然数)，证明：A 不能与对角阵相似 例9 设n 阶方阵A 满足01072=+-I A A ，求证：A 相似于一个对角矩阵结论 总结1 n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和(即A 的逆trA )，它们的乘积等于A 的行列式A2 如果mλλ,,1 是方阵A 的特征值，m P P ,,1 是与之对应的特征向量，如mλλ,,1 互不相等时，m P P ,,1 线性无关3 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4 如果n 阶方阵A 与对角阵∧相似，则∧的主对角线元素就是A 的n 个特征值5 n 阶方阵A 与对角阵∧相似，即A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量6 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似，即A 可相似对角化7 实对称矩阵的特征值全为实数8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9 对实对称矩阵n n A A ⨯=，必存在正交矩阵P ，使∧=-AP P 1，其中∧是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵A 可逆的充要条件是A 的特征值全不为零习 题一 填空题1 设A 为3阶矩阵，其特征值为2,1,3-，则A =________ 1-A 的特征值为________，E A A +-322的特征值为________2 如果二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231,127B x y A 相似，则 __________==y x 3 若n 阶可逆阵A 的每行元素之和是)0(≠a a ，则数________一定是E A +-12的特征值4 设三阶矩阵A 有3个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则______=A5 若E A =2，则A 的特征值为________6 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n ,,2,1 ，则_______=+I A7 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101120101A 2≥n ，则_______21=--n n A A 8 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=61000512141A 则 ______lim =∞→n n A二 选择题1 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A A 的特征值为3,2,1，则( ) A ）8,4,2===z y x B) R z y x ∈==,4,1 C) R z y x ∈=-=,2,2 D) 3,4,1===z y x2 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x 123022有一特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-35，则)(=xA) 18- B) 16- C) 14- D) 12-3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111x A A 有特征值2,621==λλ (二重 )，且A 有三个线性无关的特征向量，则______=xA) 2 B) 2- C) 4 D) 4-4 若B A ~(等价 )，则有( )A ）B I A I -=-λλ B) B A =C) 对于λ，矩阵A 与B 有相同的特征值与特征向量 D) A 与B 均与一对角矩阵相似 5 已知矩阵A 的各列元素之和为3，则( )A) A 有一个特征值为3，并对应一个特征向量T )1,,1,1( B) A 有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量T )1,,1,1( C) 3不一定是A 的特征值 D) A 是否有特征值不能确定 6 设A 是三阶矩阵,有特征值2,1,1-,则下列矩阵中可逆的是( ) A) A I - B) A I + C) A I -2 D) A I +2 三 解答题1. 设三阶矩阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ，对应的特征向量依次为：T )1,1,1(1=ξ，T )4,2,1(2=ξ，T )2,3,1(3=ξ，又向量T )3,1,1(=β1) 将β 用321,,ξξξ线性表示 2) 求βnA(n 为自然数)2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=06303012x A 有3个线性无关的特征向量，求100A3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 求A 的特征值与对应的特征向量，A 是否对角阵相似。

关于特征值与特征向量的求解方法与技巧摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。

本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。

文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。

关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。

1引言物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。

一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。

本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。

一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。

本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。

而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。

两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。

2 方法之一： 列行互逆变换法定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ↔，同时互换j 、i 两行()j i r r ↔ ；2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行()ijr kr -。